高考命題中的“心”趨勢.doc

高考命題中的“心”趨勢 -例談平面向量在三角形中常見的“心”問題平面向量是教材中新增內(nèi)容,從近幾年各地新課程試卷、上海高考卷、全國高考卷來看對平面向量的簡單應(yīng)用逐漸成為考查的熱點(diǎn).而有關(guān)三角形的知識是高考的常青樹,三角形的“心”貫穿高考的始終.以下筆者就平面向量在三角形中常見的“心” （重心、垂心、內(nèi)心、外心）問題談?wù)勛约旱恼J(rèn)識，供讀者參考.1.向量與三角形的“重心”.ACP例1.(06連云港模擬測試題)在內(nèi)求一點(diǎn)P，使取得最小值，該點(diǎn)是三角形的 （ ）A、 垂心 B、內(nèi)心 C、重心 D、外心解析:如圖，設(shè)a，b，x .則B xa, xb. = (xa)+ (xb)+ x =3 x2(a+b) x + a+ b =3x( a+b) + a+ b(a+b) 根據(jù)向量運(yùn)算的意義可知當(dāng)x=( a+b) 時(shí), 有最小值.設(shè)為中點(diǎn),易知a+b=,此時(shí)為的重心. 故選(C).評注:本題的關(guān)鍵在于聯(lián)系重心的性質(zhì),構(gòu)建一個(gè)以向量為變量的二次函數(shù),因此,在解題中應(yīng)消除只能以實(shí)數(shù)為變量的原有定勢,只要任何一個(gè)量是變化的,不管量的性質(zhì)如何,就可以作為變量,從而建立以這個(gè)量為變量的函數(shù).DCBGEA例2. 已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，若0,則是的 ( )A 、垂心 B、重心 C、內(nèi)心 D、外心解析:0, .以為鄰邊作平行四邊形,則.又在中,交于.是的邊的中線,且.是的重心.故選(B).評注:本題聯(lián)系重心的性質(zhì)和向量加法的定義,把平面幾何知識和向量結(jié)合起來解決問題.大家通過此題還應(yīng)知道若是的重心,則有0.2. 向量與三角形的“垂心”.例3.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足取得最小值，該點(diǎn)是的 （ ）A、 外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心解析:設(shè)a，b，c .則由得a+ (cb)= b+(ac)=c+(ab)所以cb= ac 即(ab)c=0即.故同理，.故是的垂心. 故選(D).例4.(05湖南卷) 已知是所在平面上一點(diǎn)，若,則是的 ( )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心解析:由得.即,即.同理 ,.所以是的垂心.故選(D).評注:例4、例5主要考察平面向量的運(yùn)算,對已知條件進(jìn)行變形,但是要注意兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是數(shù)量積為0.3.向量與三角形的“內(nèi)心”.例5.已知是平面上的一定點(diǎn)，、是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿 ，則的軌跡一定過的（ ）A、 外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心解析:解法1 (從分析已知條件入手)設(shè)為上的單位向量,為上的單位向量. 則四邊形為菱形.xOyBACD(P)B/C/的方向?yàn)榈慕瞧椒志€的方向.又的方向與的方向相同.而點(diǎn)在上移動(dòng).的軌跡一定通過的內(nèi)心.故選(B).解法2 (特值意識)設(shè),則.易知在的平分線上,軌跡過內(nèi)心. 故選(B).評注:此題立意新穎,題眼是理解的幾何意義,結(jié)合向量的運(yùn)算法則即可求解.4. 向量與三角形的“外心”.例6.設(shè)是的外心, , ,若,則 .解析:建立以中點(diǎn)為原點(diǎn)且、在軸上的平面直角坐標(biāo)系,由題意知:yxOACDO/B=，.而= 4.,.設(shè)外接圓的半徑為.由正弦定理得.作于.在中, .又由題知而. 解得 .評注:本題涉及三角形的外心,必須了解三角形外心的性質(zhì),結(jié)合已知條件將其性質(zhì)用向量表示即可.例7.(2005全國卷I理科15題) 的外接圓的圓心為,兩條邊上的高為交點(diǎn)為,OBAC(H)則實(shí)數(shù) .解析:解法1 (特值意識)當(dāng)為以為直角的直角三角形時(shí),如圖1,與直角三角形頂點(diǎn)重合, ,0,故,ABOEDC所以解法2(從等式的右邊入手)設(shè),由為的外心,則有,如圖2.這樣.再設(shè)由平行四邊形法則知: ,故在邊的高上,同理在邊的高上,OCBADH故為的垂心與重合,所以解法3(從等式的左邊入手)作的外接圓的直徑,連如圖3,因?yàn)闉榈耐庑?有,又為垂心,有.所以.同理.因此四邊形為平行四邊形,= ,所以解法4(從向量垂直定義入手)從的定義可以得到,ABCO由于,因此.同理.由于與是不共線向量,因此(1)若不是等邊三角