二次函數(shù)最值問題總結(jié).doc

.二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無最小值本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問題同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的簡單應(yīng)用二次函數(shù)求最值（一般范圍類）例1當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量的值 解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例2當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量的給定范圍內(nèi)，對應(yīng)的圖象是拋物線上的一段那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量的范圍的圖象形狀各異下面給出一些常見情況：例3當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍解：作出函數(shù)在內(nèi)的圖象可以看出：當(dāng)時(shí)，無最大值所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是例4當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置解：函數(shù)的對稱軸為畫出其草圖(1) 當(dāng)對稱軸在所給范圍左側(cè)即時(shí)：當(dāng)時(shí)，；(2) 當(dāng)對稱軸在所給范圍之間即時(shí)：當(dāng)時(shí)，；(3) 當(dāng)對稱軸在所給范圍右側(cè)即時(shí)：當(dāng)時(shí)，綜上所述：在實(shí)際生活中，我們也會遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問題：二次函數(shù)求最值(經(jīng)濟(jì)類問題)例1為了擴(kuò)大內(nèi)需，讓惠于農(nóng)民，豐富農(nóng)民的業(yè)余生活，鼓勵(lì)送彩電下鄉(xiāng)，國家決定對購買彩電的農(nóng)戶實(shí)行政府補(bǔ)貼規(guī)定每購買一臺彩電，政府補(bǔ)貼若干元，經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電臺數(shù)（臺）與補(bǔ)貼款額（元）之間大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系隨著補(bǔ)貼款額的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺彩電的收益（元）會相應(yīng)降低且與之間也大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系（1）在政府未出臺補(bǔ)貼措施前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元？（2）在政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，分別求出該商場銷售彩電臺數(shù)和每臺家電的收益與政府補(bǔ)貼款額之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使該商場銷售彩電的總收益（元）最大，政府應(yīng)將每臺補(bǔ)貼款額定為多少？并求出總收益的最大值分析：（1）政府未出臺補(bǔ)貼措施前，商場銷售彩電臺數(shù)為800臺，每臺彩電的收益為200元；（2）利用兩個(gè)圖像中提供的點(diǎn)的坐標(biāo)求各自的解析式；（3）商場銷售彩電的總收益商場銷售彩電臺數(shù)每臺家電的收益，將（2）中的關(guān)系式代入得到二次函數(shù)，再求二次函數(shù)的最大值.解：（1）該商場銷售家電的總收益為（元）；（2）依題意可設(shè)，有，解得所以，（3），政府應(yīng)將每臺補(bǔ)貼款額定為100元，總收益有最大值，其最大值為元說明：本題中有兩個(gè)函數(shù)圖像，在解題時(shí)要結(jié)合起來思考，不可顧此失彼. 例2凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業(yè)時(shí)間，每間包房收包房費(fèi)100元時(shí)，包房便可全部租出；若每間包房收費(fèi)提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費(fèi)再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去.（1）設(shè)每間包房收費(fèi)提高x（元），則每間包房的收入為y1（元），但會減少y2間包房租出，請分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設(shè)酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出每間包房每天晚餐應(yīng)提高多少元可獲得最大包房費(fèi)收入，并說明理由.分析：（1）提價(jià)后每間包房的收入原每間包房收包房費(fèi)+每間包房收包房提高費(fèi)，包房減少數(shù)每間包房收包房提高費(fèi)數(shù)量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房總收入提價(jià)后每間包房的收入每天包房租出的數(shù)量，得到二次函數(shù)后再求y取得最大值時(shí)x的值.解：（1），；（2）y，因?yàn)樘醿r(jià)前包房費(fèi)總收入為100100=10000，當(dāng)x=50時(shí)，可獲最大包房收入11250元，因?yàn)?125010000又因?yàn)槊看翁醿r(jià)為20元，所以每間包房晚餐應(yīng)提高40元或60元.說明：本題的答案有兩個(gè)，但從“投資少而利潤大”的角度來看，因盡量少租出包房，所以每間包房晚餐應(yīng)提高60元應(yīng)該更好.例3某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，對歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進(jìn)行了調(diào)查調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價(jià)（元）與銷售月份（月）滿足關(guān)系式，而其每千克成本（元）與銷售月份（月）滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示2524y2（元）x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O（1）試確定的值；（2）求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤（元）與銷售月份（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）“五一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？分析：（1）將點(diǎn)（3，25），（4，24）代入求b、c的值；（2）y-；（3）將（2）中的二次函數(shù)配方為頂點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的增減性，在滿足“五一”之前的前提下求最大值. 解：（1）由題意：，解得；（2）；（3） .，拋物線開口向下在對稱軸左側(cè)隨的增大而增大由題意，所以在4月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大最大利潤（元）說明：本題在x6，即6月份時(shí)取得最大值，但題目要求在“五一”之前，所以要將二次函數(shù)配方為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的增減性來求解.例4.某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(jià)(元)滿足一次函數(shù)(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件銷售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？解：(1) 由已知得每件商品的銷售利潤為元，那么件的銷售利潤為，又(2) 由(1)知對稱軸為，位于的范圍內(nèi)，另拋物線開口向下當(dāng)時(shí)，當(dāng)每件商品的售價(jià)定為42元時(shí)每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元二次函數(shù)求最值(面積最值問題)例1.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cms的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cms的速度移動(dòng)，如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)（1）運(yùn)動(dòng)第t秒時(shí)，PBQ的面積y(cm)是多少？（2）此時(shí)五邊形APQCD的面積是S(cm)，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍（3）t為何值時(shí)s最小，最小值時(shí)多少？答案：例2.小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個(gè)1米寬的門（木質(zhì)）花圃的長與寬如何設(shè)計(jì)才能使花圃的面積最大？解：設(shè)花圃的寬為米，面積為平方米則長為：(米)則： ，與的二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，(平方米)答：可設(shè)計(jì)成寬米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大例3.已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積 解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y過點(diǎn)B作BHPN于點(diǎn)H則有AFBBHP，即，此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5，當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)值隨的增大而增大，對于來說，當(dāng)x=4時(shí)，【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間例4.某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最??？解：(1) 四邊形EFGH是正方形圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點(diǎn)按順(逆)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形 (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4x，每塊地磚的費(fèi)用為y元那么：y=x3