數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊(cè)最短路線.docx

最短路線問(wèn)題教學(xué)分析一、教學(xué)任務(wù)分析1、學(xué)生起點(diǎn)分析從心理特征來(lái)說(shuō)，初中階段的學(xué)生思維能力、觀察能力和想象能力正在快速發(fā)展，但同時(shí)，這一階段的學(xué)生更好動(dòng)，注意力容易分散，愛(ài)發(fā)表見(jiàn)解，希望得到老師的肯定，所以在教學(xué)中應(yīng)充分抓住這些特點(diǎn)，一方面運(yùn)用直觀有趣的現(xiàn)象，來(lái)引發(fā)學(xué)生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上，另一方面，要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性積極性。從認(rèn)知狀況上，學(xué)生在此學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱等有關(guān)知識(shí)，這為完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)奠定了基礎(chǔ)，但對(duì)于如何將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題有一定的難度，因此本節(jié)課主要采用教師引導(dǎo)下學(xué)生自主探索合作交流加深對(duì)轉(zhuǎn)化的理解，讓學(xué)生從學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化成會(huì)學(xué)。2. 教材中的地位和作用 本節(jié)課是北師大版九年級(jí)中考專題復(fù)習(xí)的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)在七年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線、角平分線、軸對(duì)稱圖形，并對(duì)最短路程問(wèn)題進(jìn)行了初步的探索，積累了一定的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。此后學(xué)生還學(xué)習(xí)了三角形、平行四邊形、圓等有關(guān)內(nèi)容，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。本節(jié)課的學(xué)習(xí)從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型，在解決實(shí)際問(wèn)題中培養(yǎng)了學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力，這為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，對(duì)于已經(jīng)學(xué)過(guò)軸對(duì)稱性質(zhì)的知識(shí)是一個(gè)很好的實(shí)際應(yīng)用機(jī)會(huì)，其中涉及了軸對(duì)稱性質(zhì)（或垂直平分線性質(zhì)），兩點(diǎn)之間線段最短，等線段的轉(zhuǎn)化等知識(shí)點(diǎn)，滲透了數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)了學(xué)生大膽猜想和嚴(yán)謹(jǐn)證明的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。二、教學(xué)目標(biāo)分析1、知識(shí)與技能讓學(xué)生進(jìn)一步掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)等線段的位置轉(zhuǎn)換，從而“化曲為直”并利用“兩點(diǎn)之間線段最短”達(dá)到解決問(wèn)題的目的2、過(guò)程與方法通過(guò)實(shí)際操作，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直覺(jué)、對(duì)于此類問(wèn)題既能從定性上進(jìn)行理論的幾何圖形探索，又能從定量上進(jìn)行代數(shù)解析方法的具體求值3、情感與價(jià)值觀讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)探索，交流，成功與提升喜悅，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并充分體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，解釋生活又服務(wù)于生活的道理，引發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)學(xué)科，熱愛(ài)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)教材的重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)等線段的位置轉(zhuǎn)換難點(diǎn)：用“任意取點(diǎn)法”對(duì)最值問(wèn)題的證明三、教法、學(xué)法根據(jù)以上學(xué)生的認(rèn)知水平和心理特征，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，主要采用啟發(fā)式、引導(dǎo)式的教學(xué)方法與講練法相結(jié)合。注重“邊講邊練”，及時(shí)鞏固，真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)理念。 教學(xué)過(guò)程：一、 創(chuàng)設(shè)情境：如圖，有A、B兩個(gè)村莊，他們想在河流的邊上建立一個(gè)水泵站，已知每米的管道費(fèi)用是100元，A到河流的距離AD是1km，B到河流的距離BE是3km，DE長(zhǎng)3km。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水泵站應(yīng)該建立在哪里使得費(fèi)用最少，為多少？ “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”這是唐朝詩(shī)人李頎在詩(shī)古從軍行開(kāi)頭兩句，其實(shí)詩(shī)中就隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。回顧復(fù)習(xí)兩條重要的幾何結(jié)論。二、索新知：現(xiàn)在讓我們來(lái)看如何解決這個(gè)問(wèn)題1.已知：如圖,點(diǎn)A 、點(diǎn)B在直線L的同側(cè)求作： L上一點(diǎn)P，使得PA+PB最小分析：要使得PA+PB最小，實(shí)際上就是如何把PA、PB兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可解決。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化，我們從點(diǎn)B出發(fā)向L引垂線，垂足為D，在AD的延長(zhǎng)線上，取B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn) B，連結(jié)AB，與直線L相交于P，則P點(diǎn)就是滿足PA+PB最小的點(diǎn)。證明：在直線上任取一點(diǎn)M，連接MA ，MB，構(gòu)成三角形AMB，我們可以得到，又因?yàn)镻B=PB,所以MA+MBPA+PB ,這樣我們就證明了這個(gè)點(diǎn)就是滿足PA+PB最小的點(diǎn)。三、牛刀小試：例1. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DNMN的最小值為 _。分析：當(dāng)線段DN和MN的長(zhǎng)度恰好能夠轉(zhuǎn)化在一條線段上時(shí)，DN+MN最小。那如何轉(zhuǎn)化呢？根據(jù)前面的模型，即可解決。例2.現(xiàn)在讓我們看先前那個(gè)問(wèn)題，水泵站修建哪里費(fèi)用最少？解：（略） 四、布置作業(yè)：建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問(wèn)橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？最短路線問(wèn)題設(shè)計(jì)思路最短路線問(wèn)題是中考的一個(gè)考點(diǎn)，如何有效的把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和課程重難點(diǎn)，使學(xué)生能在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題中積累經(jīng)驗(yàn)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是我們?cè)O(shè)計(jì)微課的重要依據(jù)。本微課首先從一個(gè)A村、B村建水泵站的問(wèn)題引入，水泵站建在哪里管道鋪設(shè)的最短，費(fèi)用最少？讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂。接著挖掘問(wèn)題的深度，這樣的問(wèn)題在我國(guó)古代就已經(jīng)有研究，唐朝詩(shī)人李頎古從軍行前兩句就對(duì)這個(gè)問(wèn)題有描述，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情感以及感悟我國(guó)古詩(shī)詞的博大精深。然后引導(dǎo)學(xué)生為了解決這個(gè)問(wèn)題我們要回顧復(fù)習(xí)兩條重要的幾何結(jié)論，為解決前面提出的問(wèn)題做必要的準(zhǔn)備。目的在于調(diào)動(dòng)學(xué)生的元認(rèn)知，創(chuàng)設(shè)新知的固著點(diǎn)，為后面建模解決問(wèn)題打好基礎(chǔ)。然后從問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，著重引導(dǎo)學(xué)生利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題，尤其是如何實(shí)現(xiàn)將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，學(xué)生不容易想到作對(duì)稱點(diǎn)，因此在教學(xué)時(shí)，要給學(xué)生一定的時(shí)間啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生充分的理解作對(duì)稱點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段。就可以應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題，進(jìn)而求解問(wèn)題。有了這個(gè)模型，接著就給出一個(gè)具體的問(wèn)題練習(xí)，正方形的特殊性，找D點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)恰好是B點(diǎn)，因此可以直接連接BD，交AC的點(diǎn)就是將來(lái)N點(diǎn)的所在位置，問(wèn)題得到解決。通過(guò)這個(gè)具體問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步感知模型的重要性，符合模型特征即可利用模型求解問(wèn)題，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)模型的認(rèn)識(shí)。接著給出具體的問(wèn)題，如何求解我們?cè)陂_(kāi)始提出的建水泵站的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生利用已有模型求解問(wèn)題，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。最后布置一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生課后思考，嘗試解決結(jié)束本節(jié)課。最短路線問(wèn)題內(nèi)容實(shí)錄同學(xué)們，大家好，今天我們學(xué)習(xí)最短路線問(wèn)題，首先讓我們來(lái)看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，A、B兩個(gè)村莊在河流的邊上建一個(gè)水泵站，已知每米的管道費(fèi)用100元，村莊A到河流的距離AD是1千米，村莊B到河流的距離BE是3千米，DE長(zhǎng)3千米，問(wèn)水泵站建在哪里費(fèi)用最少，為多少？這個(gè)問(wèn)題在我國(guó)古代就有了，白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，這是唐朝詩(shī)人李頎在古從軍行中的前兩句，詩(shī)中就隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將軍在觀望烽火后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬，再到B點(diǎn)宿營(yíng)，怎樣走路程最近？這就是著名的將軍飲馬問(wèn)題。同學(xué)們，你知道如何求解這個(gè)問(wèn)題？為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面讓我們回顧兩條重要的幾何結(jié)論。如圖所示，A地到B地有三條路線可供選擇，選擇哪條路線最近呢？顯然我們會(huì)選擇號(hào)線路，理由是兩點(diǎn)之間線段最短?，F(xiàn)在讓我們?cè)倏戳硪粭l重要的幾何結(jié)論，連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有連線段中，哪條線段最短？顯然，我們會(huì)選擇OC線段，理由是點(diǎn)到直線，垂線段最短。有了這兩條重要的幾何結(jié)論，讓我們看如何解決這個(gè)問(wèn)題。如果，A點(diǎn)B點(diǎn)在直線的同側(cè)，求作一動(dòng)點(diǎn)，使得PA+PB最小。首先，讓我們分析一下，要使得PA+PB最小，即就是將PA、PB兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短即可求解。問(wèn)題是如何實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化呢？做B點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B點(diǎn)，連接A B,交直線L于P點(diǎn) 。P點(diǎn)就是滿足PA+PB最小的點(diǎn)。有些同學(xué)會(huì)有疑問(wèn)，可不可以做A點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)呢？這個(gè)問(wèn)題留作課后思考，請(qǐng)大家嘗試解決。還有些同學(xué)會(huì)有疑問(wèn)，為什么這樣的P點(diǎn)就是滿足PA+PB最小的點(diǎn)。我們就來(lái)證明一下。在直線L上任取與P點(diǎn)不同的點(diǎn)M點(diǎn)，連接MA、M B，在三角形MA B中，由三角形兩邊之和大于第三邊，我們可以知道MA+M B大于PA+P B,而由作圖可知，PB=P B,這我們就證明P點(diǎn)就是滿足PA+PB最小的點(diǎn)。下面讓我進(jìn)行動(dòng)畫演示，容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，PA+PB最小。有了這個(gè)模型，讓我們看如何解決這個(gè)問(wèn)題。如圖所示，正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為8，M在DC邊上，且DM=2，N是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)DN+MN的最小值為多少？還是讓我們先來(lái)分析一下，要使的DN+MN值最小，即就是將DN+MN兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可求解，如何實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化呢？根據(jù)上面的模型，作D點(diǎn)關(guān)于線段AC的對(duì)稱點(diǎn)，而我們知道，正方形是很特殊的點(diǎn)，D點(diǎn)關(guān)于線段AC的對(duì)稱點(diǎn)恰好是P點(diǎn)。因此我們可以連接BM，交AC于N點(diǎn)，如何計(jì)算呢？在直角三角形BCM中，容易知道，CM=6,BC=8,根據(jù)勾股定理即可知道BM=10，即DN+MN的最小值為10。現(xiàn)在讓我們回過(guò)頭來(lái)看如何解決前面的問(wèn)題，水泵站建在哪里呢？如圖，做B點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B點(diǎn)，連接A B，交直