1數(shù)學(xué)建模過(guò)程說(shuō)明.ppt

第一章建立數(shù)學(xué)模型 1 1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1 2數(shù)學(xué)建模的重要意義1 3數(shù)學(xué)建模示例1 4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1 5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1 6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模 玩具 照片 飛機(jī) 火箭模型 實(shí)物模型 水箱中的艦艇 風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型 地圖 電路圖 分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型 模型是為了一定目的 對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮 抽象 提煉出來(lái)的原型的替代物 模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征 1 1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 我們常見(jiàn)的模型 你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型 航行問(wèn)題 用x表示船速 y表示水速 列出方程 答 船速每小時(shí)20千米 小時(shí) 甲乙兩地相距750千米 船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí) 從乙到甲逆水航行需50小時(shí) 問(wèn)船的速度是多少 x 20y 5 航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè) 船速 水速為常數(shù) 用符號(hào)表示有關(guān)量 x y表示船速和水速 用物理定律 勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間 列出數(shù)學(xué)式子 二元一次方程 求解得到數(shù)學(xué)解答 x 20 y 5 回答原問(wèn)題 船速每小時(shí)20千米 小時(shí) 數(shù)學(xué)模型 MathematicalModel 和數(shù)學(xué)建模 MathematicalModeling 對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象 為了一個(gè)特定目的 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律 作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè) 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具 得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程 包括表述 求解 解釋 檢驗(yàn)等 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模 1 2數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透 數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步 越來(lái)越受到人們的重視 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域 為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地 數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理 數(shù)學(xué)建模 計(jì)算機(jī)技術(shù) 知識(shí)經(jīng)濟(jì) 1 3數(shù)學(xué)建模示例 1 3 1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問(wèn)題分析 模型假設(shè) 通常 三只腳著地 放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng) 椅腳與地面點(diǎn)接觸 四腳連線呈正方形 地面高度連續(xù)變化 可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面 地面相對(duì)平坦 使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地 模型構(gòu)成 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置 利用正方形 椅腳連線 的對(duì)稱性 用 對(duì)角線與x軸的夾角 表示椅子位置 四只腳著地 距離是 的函數(shù) 四個(gè)距離 四只腳 A C兩腳與地面距離之和 f B D兩腳與地面距離之和 g 兩個(gè)距離 椅腳與地面距離為零 正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) f g 是連續(xù)函數(shù) 對(duì)任意 f g 至少一個(gè)為0 數(shù)學(xué)問(wèn)題 已知 f g 是連續(xù)函數(shù) 對(duì)任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 證明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型構(gòu)成 地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地 模型求解 給出一種簡(jiǎn)單 粗糙的證明方法 將椅子旋轉(zhuǎn)900 對(duì)角線AC和BD互換 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 則h 0 0和h 2 0 由f g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù) 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因?yàn)閒 g 0 所以f 0 g 0 0 評(píng)注和思考 建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子 和f g 的確定 1 3 2商人們?cè)鯓影踩^(guò)河 問(wèn)題 智力游戲 3名商人 3名隨從 隨從們密約 在河的任一岸 一旦隨從的人數(shù)比商人多 就殺人越貨 但是乘船渡河的方案由商人決定 商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河 問(wèn)題分析 多步?jīng)Q策過(guò)程 決策 每一步 此岸到彼岸或彼岸到此岸 船上的人員 要求 在安全的前提下 兩岸的隨從數(shù)不比商人多 經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河 模型構(gòu)成 xk 第k次渡河前此岸的商人數(shù) yk 第k次渡河前此岸的隨從數(shù) xk yk 0 1 2 3 k 1 2 sk xk yk 過(guò)程的狀態(tài) S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 S 允許狀態(tài)集合 uk 第k次渡船上的商人數(shù) vk 第k次渡船上的隨從數(shù) dk uk vk 決策 D u v u v 1 2 允許決策集合 uk vk 0 1 2 k 1 2 sk 1 skdk 1 k 狀態(tài)轉(zhuǎn)移律 求dk D k 1 2 n 使sk S 并按轉(zhuǎn)移律由s1 3 3 到達(dá)sn 1 0 0 多步?jīng)Q策問(wèn)題 模型求解 窮舉法 編程上機(jī) 圖解法 狀態(tài)s x y 16個(gè)格點(diǎn) 允許決策 移動(dòng)1或2格 k奇 左下移 k偶 右上移 s1 sn 1 d1 d11給出安全渡河方案 評(píng)注和思考 規(guī)格化方法 易于推廣 考慮4名商人各帶一隨從的情況 允許狀態(tài) S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 背景 世界人口增長(zhǎng)概況 中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 研究人口變化規(guī)律 控制人口過(guò)快增長(zhǎng) 1 3 3如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng) 指數(shù)增長(zhǎng)模型 馬爾薩斯提出 1798 常用的計(jì)算公式 x t 時(shí)刻t的人口 基本假設(shè) 人口 相對(duì) 增長(zhǎng)率r是常數(shù) 今年人口x0 年增長(zhǎng)率r k年后人口 隨著時(shí)間增加 人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng) 指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程 19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù) 阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后 增長(zhǎng)率下降的原因 資源 環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 假設(shè) r 固有增長(zhǎng)率 x很小時(shí) xm 人口容量 資源 環(huán)境能容納的最大數(shù)量 x t S形曲線 x增加先快后慢 阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 參數(shù)估計(jì) 用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào) 必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合 例 美國(guó)人口數(shù)據(jù) 單位 百萬(wàn) 專家估計(jì) 阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 模型檢驗(yàn) 用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口 與實(shí)際數(shù)據(jù)比較 實(shí)際為281 4 百萬(wàn) 模型應(yīng)用 預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口 加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù) Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用 如耐用消費(fèi)品的售量 阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 數(shù)學(xué)建模的基本方法 機(jī)理分析 測(cè)試分析 根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí) 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律 將對(duì)象看作 黑箱 通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法 主要通過(guò)實(shí)例研究 CaseStudies 來(lái)學(xué)習(xí) 以下建模主要指機(jī)理分析 二者結(jié)合 用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu) 用測(cè)試分析確定模型參數(shù) 1 4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型準(zhǔn)備 了解實(shí)際背景 明確建模目的 搜集有關(guān)信息 掌握對(duì)象特征 形成一個(gè)比較清晰的 問(wèn)題 模型假設(shè) 針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的 作出合理的 簡(jiǎn)化的假設(shè) 在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中 模型構(gòu)成 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言 符號(hào)描述問(wèn)題 發(fā)揮想像力 使用類比法 盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型求解 各種數(shù)學(xué)方法 軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù) 如結(jié)果的誤差分析 統(tǒng)計(jì)分析 模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析 模型分析 模型檢驗(yàn) 與實(shí)際現(xiàn)象 數(shù)據(jù)比較 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?適用性 模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程 現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息 數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答 數(shù)學(xué)模型的解答 歸納 演繹 表述 求解 解釋 驗(yàn)證 根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題 翻譯 成數(shù)學(xué)問(wèn)題 選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答 將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答 翻譯 回實(shí)際對(duì)象 用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答 實(shí)踐 現(xiàn)實(shí)世界 數(shù)學(xué)世界 1 5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類 模型的逼真性和可行性 模型的漸進(jìn)性 模型的強(qiáng)健性 模型的可轉(zhuǎn)移性 模型的非預(yù)制性 模型的條理性 模型的技藝性 模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn) 數(shù)學(xué)模型的分類 應(yīng)用領(lǐng)域 人口 交通 經(jīng)濟(jì) 生態(tài) 數(shù)學(xué)方法 初等數(shù)學(xué) 微