桿的扭轉(zhuǎn)定理和公式

圓截面桿的扭轉(zhuǎn) 外力與內(nèi)力 | 圓桿扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與強(qiáng)度條件 | 圓桿扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件 | 圓桿的非彈性扭轉(zhuǎn)1.外力與內(nèi)力 桿件扭轉(zhuǎn)的受力特點(diǎn)是在垂直于其軸線的平面內(nèi)作用有力偶（圖22-1a），其變形特點(diǎn)是在任意兩個(gè)截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。軸類構(gòu)件常有扭轉(zhuǎn)變形發(fā)生。作用在傳動軸上的外力偶矩m通常是根據(jù)軸所傳遞的功率N和轉(zhuǎn)速n(r/min)來計(jì)算。當(dāng)N的單位為千瓦（kW）時(shí)當(dāng)N的單位為馬力（HP）時(shí)扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力為扭矩T，用截面法求得。畫出的內(nèi)力圖稱為扭矩圖（或T圖），如圖22-1b所示圖22-1 圓桿的扭轉(zhuǎn)2.圓桿扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與強(qiáng)度條件 當(dāng)應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限r(nóng)p時(shí)，某橫截面上任意C點(diǎn)（圖22-2）的切應(yīng)力公式為式中TC 點(diǎn)所在橫截面上的扭矩pC點(diǎn)至圓心的距離Lp橫截面對圓心的極慣性矩，見表2-2-1 等直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的截面幾何性質(zhì)。圖22-2 切應(yīng)力分布圓桿橫截面上的切應(yīng)力r沿半徑呈線性分布，其方向垂直于半徑（圖23-2）。模截面上的最大切應(yīng)力在圓周各點(diǎn)上，其計(jì)算公式為等截面桿的最大切應(yīng)力發(fā)生在Tmax截面（危險(xiǎn)截面）的圓周各點(diǎn)（危險(xiǎn)點(diǎn)）上。其強(qiáng)度條件為式中，為許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，與許用拉應(yīng)力的關(guān)系為：=（0.50.6） (塑性材料)或=（0.50.6）（脆性材料）3.圓桿扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件 在比彈性范圍內(nèi)，圓桿在扭矩T作用下，相中為L的兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角為或式中G材料的切變模量單位扭轉(zhuǎn)角公式為或式中GLp抗扭剛度圓桿上與桿軸距離為p外（圖22-2）的切應(yīng)變r(jià)為圓桿表面處的最大切應(yīng)變?yōu)槭街?r圓桿的半徑等截面圓桿的最大單位扭轉(zhuǎn)角，發(fā)生在Tmax一段內(nèi)，其剛度條件為式中,為圓桿的許用單位扭轉(zhuǎn)角（）/m4.圓桿的非彈性扭轉(zhuǎn) 討論圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力超過材料的比例極限并進(jìn)入塑性狀態(tài)的情況。對于加工硬化材料，如果材料的應(yīng)力-應(yīng)變圖為已知（圖23-3a），則桿中任一點(diǎn)處的切應(yīng)力r就可以確定。位于橫截面邊緣處應(yīng)變?yōu)閞max，其相應(yīng)的切應(yīng)力rmax可以從應(yīng)力-應(yīng)變圖求得。整個(gè)橫截面上切應(yīng)力的（圖23-3b）與應(yīng)力-應(yīng)變圖的形狀相同。 使圓桿產(chǎn)生單位扭轉(zhuǎn)角所必需的扭矩T，可根據(jù)靜力學(xué)方程求得（見圖22-3b）為圖22-3 圓桿的非彈性扭轉(zhuǎn)將式(2-2-10)代入式(2-2-13)得式中 Rmax=r根據(jù)式（22-14），可以得到T與的關(guān)系曲線，根據(jù)該曲線，可以確定對給定T值的和Tmax。 如果圓桿的材料具有明顯的屈服極限r(nóng)s，則可使應(yīng)力-應(yīng)變圖理想化，如圖22-4a所示，此材料彈塑性材料。此時(shí)，只要桿中最大應(yīng)變小于rs 時(shí)，桿就屬于彈性的。當(dāng)橫截面邊緣處的應(yīng)變超過rs 時(shí)，橫截面上的應(yīng)力分布如圖22-4b所示，此圖表明屈服開始于邊緣，當(dāng)應(yīng)變增大時(shí)，屈服區(qū)例向里邊發(fā)展。如果材料的屈服極限為rs ，彈塑性邊界為PS =C 時(shí)，則扭矩為圖22-4 理想彈塑性材料桿的扭轉(zhuǎn)式中d圓桿的直徑 當(dāng)整個(gè)橫截面都面到屈服時(shí)，其應(yīng)力將接近均勻分布，如圖23-4c所示，相應(yīng)的扭矩為桿的塑性極限扭矩，其值為當(dāng)扭矩達(dá)到此值時(shí)，扭矩不再增加而桿將繼續(xù)變形桿中最初開始屈服時(shí)的彈性極限扭矩T s ，由式（22-3）得比較式（2-2-16）和式（2-2-17），可得塑性極限扭矩與彈性極限扭矩之比為由此可知，桿中開始屈服后，只要扭矩增大三分之一，就將使桿達(dá)到極限承載能力。非圓截面桿的摶轉(zhuǎn)與薄膜比擬 等直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形 | 薄膜比擬 | 非彈性扭轉(zhuǎn)桿 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面將產(chǎn)生曲。橫截面可以自由翹曲的扭轉(zhuǎn)，稱為自由扭轉(zhuǎn)。此時(shí)，由于各截面的翹曲程度相同，故橫截面收只在切而沒有正奕力。例如，圖22-5所示的工鋼薄壁桿件，在兩端作用一對扭轉(zhuǎn)偶矩，桿的兩個(gè)翼緣將相對轉(zhuǎn)動，但翼緣的軸線仍為直線，不發(fā)生彎曲變形，也不產(chǎn)生正。圖22-5 自由扭轉(zhuǎn) 若由于約束或受力條件的限制，造成桿件各截面的翹曲程度不同時(shí)，則橫截面上除有切應(yīng)力外還有正應(yīng)力。這種情況稱為約束扭轉(zhuǎn)。例如，圖22-6a，所示的工字鋼桿，一端固定，另一端作用扭轉(zhuǎn)力偶矩。在固定端截面為平面，不能翹曲，但它限制了相鄰截面的翹曲 ，離固定越遠(yuǎn)，翹曲受到的限制也越小，到自由端變成了可以自由翹曲。由于相鄰兩截面的翹曲不同，則引起這兩個(gè)截面間縱向纖維長度的改變，于是橫截面上產(chǎn)生正應(yīng)力。又如圖22-6b抽示兩端簡支工字鋼桿，在跨度中點(diǎn)截面上作用一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩。兩端鉸支座不允許端截面繞桿軸旋轉(zhuǎn)，但可自由翹曲。由于對稱，跨度中點(diǎn)截面應(yīng)保持為平面，離中點(diǎn)截面越遠(yuǎn)，翹曲越大。對于象工字鋼、槽鋼等薄壁桿件，在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上的正應(yīng)力往往很大剛愎自用厙以考慮。但對于一些袂體桿件，如截面為矩形、橢圓形等桿件，因約束扭轉(zhuǎn)而引起的正應(yīng)力數(shù)值很小，可忽略不計(jì)。圖22-6 約束扭轉(zhuǎn)1.等直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形 具有任意形狀的無限長等截面直桿，在繞扭轉(zhuǎn)時(shí)，在與Z軸正交的截面上，要產(chǎn)生切應(yīng)力rxz 和 rxz（圖22-7）。為了確定應(yīng)力和變形，設(shè)應(yīng)力函數(shù) （X，Y），使其滿足下列各式，即s=C1（對單聯(lián)域截面，可取C10）式中C、C1常數(shù) s沿截面周邊上的值 AI多聯(lián)域時(shí)各孔的面積，單聯(lián)域時(shí)，AI=0切應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系為等直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)最大切應(yīng)力為單位長度扭轉(zhuǎn)角為式中，Jk 、 Wk為截面抗幾何特性，見表2-2-1 等直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的截面幾何性質(zhì)。圖22-7 等值桿的扭轉(zhuǎn) 對于任意實(shí)體截面（參見表2-2-2 任意實(shí)心截面的Jk公式），最大切應(yīng)力位于或非常接近于最大內(nèi)切圓與邊界的切點(diǎn)之一（除非在邊界的其他點(diǎn)上有引起很高局部應(yīng)力的尖銳凹角），以及位于邊界曲率代數(shù)值為最小的點(diǎn)上。對于凸面 ，邊界曲率為正：對于凹面，邊界曲率為負(fù)（圖22-8）。最大切應(yīng)力可近似地用下式計(jì)算，即圖22-8 任意實(shí)體截面式中的C分下列兩種情形求得： (1)在曲率為正（截面邊界是直或凸的）的點(diǎn)上式中D最大內(nèi)切圓直徑r該點(diǎn)上的邊界曲率半徑（此時(shí)為正）A截面面積 (2)在曲率為負(fù)（截面邊界是凹的）的點(diǎn)上式中，為邊界切線繞過凹部時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度，（見圖2-2-8），其單位為弧度（這里的r為負(fù)）而D、r和A的含義同前。一些任意實(shí)體截面的Jh值，見表2-2-2 任意實(shí)心截面的Jk公式2.薄膜比擬 應(yīng)用薄膜理論與彈性扭轉(zhuǎn)理論的數(shù)學(xué)相似性，通過實(shí)驗(yàn)確定扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力是比較方便的。用一塊均勻薄膜，張?jiān)谂c截面相似的邊界上，然后從薄膜的一側(cè)施加微小的氣體壓力，使薄膜鼓成曲面，如圖2-2-9所示。該曲面與扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力等有著下述關(guān)系，即圖2-2-9 薄膜比擬 (1)薄膜曲面上任一點(diǎn)的斜率，與截面相應(yīng)點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的大小成正比。 (2)曲面的等高線即這切應(yīng)力線 (3)薄臘鼓起的體積的兩倍相當(dāng)于扭矩。由薄膜比擬可知，一般情況下切應(yīng)力分布有的規(guī)律為 (1)實(shí)心軸最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，必發(fā)生在外周邊上，且在最大內(nèi)切圓切點(diǎn)或其附近，或有凹角處。 (2)內(nèi)外周邊上的切應(yīng)力都是沿周邊切線方向作用。 (3)在凸角的頂點(diǎn)上切應(yīng)力為零。3.非彈性扭轉(zhuǎn)桿 當(dāng)桿的一部分材料的應(yīng)力超過彈性極限而產(chǎn)生塑性變形時(shí)，即在彈塑性變形情況下，如仍引用與前一節(jié)情況相同應(yīng)力函數(shù) ，則對于非硬化材料，在塑性區(qū)域要滿足。由上式可知，在塑性區(qū)域內(nèi)，曲面斜率為一常數(shù)。在彈塑性區(qū)的交界處， 是連續(xù)的。 當(dāng)達(dá)到極限狀態(tài)即發(fā)生全面塑性變形時(shí)，則可由截面邊界上筑起具有等傾角為rs 的“屋頂”（自然傾斜表面即砂堆比擬法）。由該“屋頂”與底面所圍成的體積即等于塑性極限扭矩的一半。例如，圖2-2-10所示邊長這2a的方形截面，其應(yīng)力函數(shù)是高為ars 的角錐體。當(dāng)發(fā)生全面塑性變形時(shí)，其極限扭矩的一半等于角錐體的體積，其大小等于底面積乘以高度的1/3。因此可得圖2-2-10 方形截面的全塑性應(yīng)力函數(shù)曲面表2-2-3 常用截面的s、Ts、Tp和Tp/Ts列出了幾種常用的塑性極限扭矩，并與彈性極限扭矩進(jìn)行比較。由表看出，若使屈服擴(kuò)展至整個(gè)截面，則桿件的承 載能力將大大提高。表2-2-4 常用組合截面的Tp列出了某些常用組合截面的塑性極限扭矩近似公式。表中末列出彈性極限據(jù)矩，是因?yàn)榘冀翘幒芨叩膽?yīng)力集中系數(shù)對初始屈服有影響。計(jì)算空心截面扭桿的塑性極限扭矩時(shí)，對于等壁厚的空心扭桿，其極限據(jù)矩Tp等于具有外截面邊界的實(shí)心扭桿的極限扭矩Tps 減去與空心內(nèi)截面的實(shí)心扭桿的極限扭矩 MpH 即薄壁截面桿的自由扭轉(zhuǎn) 開口截面 | 閉口截面 | 多閉室閉口截面.開口截面 薄壁截面可分為開口截面和閉口截面。軋制的型鋼或擠壓成形的型材，如工字鋼 、槽鋼、角鋼或T形、Z形等為“開口”截。這種截面可看成是由一些等寬度的狹矩形組成。狹矩形可能是直的或是彎的，如圖2-2-11所示。在對一個(gè)彎的開口狹矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)進(jìn)行應(yīng)力和變形計(jì)算時(shí)，可用同寬同長的直的狹矩形截面桿來代替。圖2-2-11 開口截面單位長度扭有角的變化為式中T扭矩G切變模量Jk自由扭轉(zhuǎn)的截面抗幾何特性其中a截面形狀修正系數(shù)，見表2-2-5ti每個(gè)狹矩形的厚度或平均厚度di每個(gè)狹矩形的長度表2-2-5 截面形狀系數(shù)的平均值截面形狀系數(shù)工字鋼槽鋼角鋼T型鋼Z型鋼1.201.121.101.151.14每個(gè)狹矩形長邊中點(diǎn)附近的切應(yīng)力最大切應(yīng)力式中，tmax為最大厚度。2.閉口截面 閉口截面可分為單閉室和多閉室截面。薄壁管和空心矩形截面桿等屬于單閉室截面。它們在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，單位長度扭轉(zhuǎn)角的變化為應(yīng)力