數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)最短路徑.doc

134 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說(shuō)理 (設(shè)計(jì)者：閆芝坤)一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標(biāo)如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”二、自主學(xué)習(xí)，指向目標(biāo)自學(xué)教材第85 頁(yè)至87 頁(yè)，思考下列問(wèn)題：1求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求，其依據(jù)是兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短2求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求3在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變化把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇三、合作探究，達(dá)成目標(biāo)探索最短路徑問(wèn)題活動(dòng)一：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？追問(wèn)1這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？答：將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 答：(1)從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； (2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地到飲馬地，再回到B 地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小(如圖)問(wèn)題2：如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？ 追問(wèn)1：對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB的長(zhǎng)度相等？追問(wèn)2：你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B嗎？展示點(diǎn)評(píng)：作法：(1)作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)B；(2)連接AB，與直線l 交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C 即為所求問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C 不重合)，連接AC，BC，BC.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC BC，BCBC. AC BC AC BC AB， ACBC ACBC. 在ABC中， ABACBC， AC BCACBC.即 AC BC 最短. 小組討論：證明AC BC 最短時(shí)，為什么要在直線l 上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C 不重合)，證明AC BC ACBC？這里的“C”的作用是什么？反思小結(jié)：運(yùn)用軸對(duì)稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問(wèn)題利用三角形的三邊關(guān)系，若直線l上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)C 不重合)與A，B 兩點(diǎn)的距離和都大于AC BC，就說(shuō)明AC BC 最小. C的代表的是除點(diǎn)C以外直線l上的任意一點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練：1如圖， A、B是河流 同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)抽水站向兩村供水，問(wèn)抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請(qǐng)?jiān)趫D中表示出來(lái)答：如下圖，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求2如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑 答：作Q關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ交BC于R，旅游船線路：PQRP. 選址造橋問(wèn)題活動(dòng)二：(造橋選址問(wèn)題)如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)展示點(diǎn)評(píng)：從A到B要走的路線是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可解：在直線a上取任意一點(diǎn)M，作MNb于點(diǎn)N，平移AM，使點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N的位置，點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A的位置，連接AB交直線b于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MNa于點(diǎn)M，則路徑AMNB最短理由如下：如圖，點(diǎn)M為直線a上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)M重合)，線段AN是線段AM平移得到的AAMN，ANAMAMMNBNANAABNMN平行AA且MNAAMN可以看作是AA經(jīng)過(guò)平移得到的ANAMAMNBANNB根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得ANNBABANBNAMNBANNB根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得ANNBABANBNAMNBAMBNMNMNAMMNNBAMMNNB，即路徑AMNB最短小組討論：回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？反思小結(jié)：解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法將河的寬度為零，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問(wèn)題，就是運(yùn)用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法(如利用軸對(duì)稱或平移等)轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個(gè)問(wèn)題針對(duì)訓(xùn)練：3如圖，臺(tái)球桌上有一個(gè)黑球，一個(gè)白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球？ 答：4某中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？解：如圖b.(1)作C點(diǎn)關(guān)于OA的 對(duì)稱點(diǎn)C1，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D1，(2)連接C1D1，分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路線行走，所走的總路程最短四、總結(jié)梳理，內(nèi)化目標(biāo)1本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？ 2軸對(duì)稱在所研究問(wèn)題中起什么作用？五、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，反思目標(biāo)1要在河邊修建一個(gè)水泵，分別向張村、李莊送水，修在河邊什么地方，可使所用水管最短？2.如圖，四邊形ABCD中，BAD120，BD90，在BC，CD上分別找一點(diǎn)F，使AEF周長(zhǎng)最小，求AEFAFE的度數(shù)答案：如圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于CD、BC