第三章 線性方程組.doc

第三章 線性方程組主要內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、體系線性方程組理論是線性代數(shù)最基本的內(nèi)容之一.它不僅是中學(xué)里一次方程組討論的最一般的推廣，而且稱得上是整個線性代數(shù)的一個縮影.學(xué)好本章對于學(xué)好以后各章起著關(guān)鍵性的作用.對于一般線性方程組，其主要理論問題有：1有沒有解？有解的條件是什么？2有解時，解的個數(shù)是多少？如何求出解？3解不止一個時，解之間有沒有聯(lián)系？圍繞這些問題，本章主要有四部分內(nèi)容.第一部分內(nèi)容是1介紹的消元法，它是中學(xué)里“加減消元法”的一般化，是解具體線性方程組的一個最基本和最有效的方法.第二部分內(nèi)容是介紹討論一般線性方程組所用的主要工具：n維向量與矩陣的秩（24）.首先，2把向量概念推廣到n維向量，并介紹了它的簡單性質(zhì).3詳細(xì)而深入地討論了n維向量的線性相關(guān)性.這些內(nèi)容，在本章雖然只是以討論線性方程組的工具的面目出現(xiàn)的，但其本身極端重要，在線性代數(shù)中將隨時用到它們.它是本章的重點之一，也是一個難點.在2，3討論的基礎(chǔ)上，4給出矩陣的概念及計算秩的方法.第三部分內(nèi)容全面回答了線性方程組的理論問題（56）. 5利用矩陣的秩給出了有解的充要條件及解的個數(shù)的結(jié)論，同時介紹了基于克蘭姆法則的又一個求解方法.6則研究了線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu).這部分內(nèi)容是本章的中心內(nèi)容.第四部分內(nèi)容（7）是介紹線性方程組理論的一個應(yīng)用給出二元高次方程組的一個一般解法，這對于指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的作用.知識點分類（必會、掌握、了解）理解維向量組的線性相關(guān)性、向量組和矩陣的秩、基礎(chǔ)解系等概念及性質(zhì)，掌握線性方程組有解判別定理，會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及一般線性方程組的所有解.難點疑點重點是向量組的線性相關(guān)性、線性方程組有解判別定理和解的結(jié)構(gòu)，難點是向量組的極大線性無關(guān)組和方程組解的結(jié)構(gòu).主要方法利用定義討論向量組的線性相關(guān)性，兩個向量組的等價和向量組極大線性無關(guān)組與秩. 利用初等行變換求矩陣的秩.運(yùn)用線性方程組有解判別定理判別方程組是否有解.求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和一般線性方程組解的結(jié)構(gòu).例1求矩陣的秩.解：用初等行變換將A化為階梯陣所以當(dāng)時，當(dāng)時，.例2 判斷向量能否由向量組線性表出，若能，寫出它的一個線性組合其中，.解：設(shè)，即有方程組（1）對方程組（1）的增廣矩陣作初等行變換化階梯陣所以方程組（1）有解（1）的一般解為令，得（1）的一個解（1,0，1），從而有例3已知向量組，（1）試求這個向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組；（2）寫出每個向量用（1）中求出的極大線性無關(guān)組線性表出的表達(dá)式.解：以為列向量作矩陣，并對矩陣進(jìn)行初等行變換.由于初等行變換不改變列向量組的線性關(guān)系，也不改變矩陣的秩，由B看出，秩（B）秩（A）2.B的前兩列是B的列向量組的一個極大線性無關(guān)組.（1）向量組的秩為2，且為這個向量組的一個極大線性無關(guān)組（極大線性無關(guān)組也可取或或或或）.（2）由矩陣B易得線性表達(dá)式，.例4求齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系解：對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A 進(jìn)行初等行變換： 則原方程組的解為： （其中為自由未知量）令，得；令，得從而原方程的基礎(chǔ)解系為：，原方程組的一般解為：例5求解方程組.解：可見，所以原方程組有解，并有，（其中為自由未知量）取，則 ，即得原方程組的一個特解下面求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：導(dǎo)出組與 同解取，得；取，得于是原方程組的通解為：例6問取何值時，齊次線性方程組有非零解?解: 當(dāng)時，所以由Cramer法則得方程組有非零解例7設(shè)線性方程組，(1)試求的兩個特解；(2)用的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系與的特解表出的全部解.解 (1)對的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，由此，得的一般解（其中為自由未知量）.令，得一個解為，令，得一個解為.(2) 為求的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，只要把上面得到的的最簡階梯陣的最后一列劃去，得矩陣這就是的導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變換而得的最簡階梯陣，從而可得導(dǎo)出組的一般解：（其中為自由未知量）.令，得一個解為，令，得一個解為，即為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系.故的全部解為 （其中為任意常數(shù)）.例8如果向量可由向量組線性表出，證明：表示法唯一的充要條件是線性無關(guān).證明：必要性由題設(shè)知 用反證法. 設(shè)線性相關(guān)，那么存在一組不全為零的數(shù)，使 將與相加，得由于不全為零，這樣就得到了的兩種不同的表示法，這與題設(shè)矛盾，所以線性無關(guān). 充分性設(shè)有兩種表示方法： 將兩式相減，得由于線性無關(guān)，所以此即，唯一性得證.例9設(shè)向量可由向量組線性表出，但不能由線性表出，證明：（1）不能由線性表出；（2）能由線性表出.證明：（1）反設(shè)能由線性表出： 由題設(shè)向量可由向量組線性表出，設(shè)為 將代入，得這與不能由線性表出的題設(shè)矛盾，故得不能由線性表出.（2）由于題設(shè)不能由線性表出，故上面的式中，從而這就是說，能由線性表出.經(jīng)典例題分析例10解線性方程組 解：方程組的系數(shù)行列式 ，所以由Cramer法則得方程組有唯一解（1，2，3，1）.例11 取什么值時，線性方程組有解？當(dāng)有解時，求一般解.解 對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，化為最簡階梯陣由此可見，當(dāng)且僅當(dāng)且時，原方程組有解.這時原方程組與方程組同解.其一般解為（其中為自由未知量）.例12 對的不同取值，討論線性方程組的解的情況.解法一 (1)當(dāng)即時，則 ，從而原方程組無解.(2) 當(dāng)時， (i)當(dāng)時，原方程組與同解.此時，一般解為（為自由未知量），一個基礎(chǔ)解系為，.(ii) 當(dāng)時，結(jié)論：(1) 當(dāng)時，原方程組無解.(2) 當(dāng)時，原方程組有無窮多解，其一般解為（為自由未知量），一個基礎(chǔ)解系為，.(3) 當(dāng)且時，原方程組有唯一解，.解法二 原方程組的系數(shù)矩陣行列式為(1) 當(dāng)時，原方程組為，由得：，所以原方程組無解.(2) 當(dāng)時，原方程組為，所以原方程組為齊次線性方程組，其一般解為（為自由未知量），一個基礎(chǔ)解系為，.(3) 當(dāng)且時，所以原方程組有唯一解，.例13 證明線性方程組有解.證法一 對線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，得所以 所以線性方程組有解.證法二：必要性設(shè)線性方程組有解為，則有 . 充分性 如果，則可取，則，即線性方程組有解為.例14 設(shè)為矩陣，是在中劃去第列所得的子式.證明：齊次線性方程組的解為.證明：因為，所以的每一個基礎(chǔ)解系僅有個非零解，從而的任一個非零解都構(gòu)成的一個基礎(chǔ)解系. 下面我們證明是的一個非零解.令 ，則，所以 ，所以 ，故是的一個解.因為，故至少有一個，故是的一個非零解.例15證明線性方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)齊次方程組的每一個解有，其中.證明： 必要性 設(shè)有解，則，設(shè)是的任一解，則. 充分性 考察齊次方程組因為的每一個解滿足，所以式與同解，從而 ，故線性方程組有解.例16 設(shè)向量組 線性無關(guān)，向量可由向量組線性表出，向量不能由向量組線性表出.證明：線性無關(guān)，其中是任意數(shù).證明：設(shè)有數(shù)使 則必. 事實上，若，則由上式，可由線性表出，而又可由向量組線性表出，由此，可由向量組線性表出，與題設(shè)矛盾，故成立.由，式即為由于向量組 線性無關(guān)，所以，這樣得到式只有全為零才成立，這就證明了線性無關(guān).練習(xí)題（基本題，提高題，考研題）基本題1使向量組，線性無關(guān)的的值是 . 2設(shè)，則當(dāng) 時有唯一解，當(dāng) 時有無窮多解.3是某齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，是一組向量，當(dāng)且僅當(dāng) 與 等價時，也是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.4維向量組線性無關(guān)的充要條件是（ ）使.A存在不全為零的數(shù)；B存在全不為零的數(shù)；C不存在全不為零的數(shù)；D當(dāng)且僅當(dāng).5當(dāng)（ ）時維向量組線性相關(guān).A； B； C； D.6若，則（ ）.A的階子式不全為零； B的階子式（如有的話）全為零； C只有一個不為零的階子式； D的列向量組的秩為.7已知向量，.（1）試求用線性表出的表達(dá)式；（2）判斷能否有兩種方法用線性表出，并敘述理由.8已知，.（1）試求這個向量組的一個極大線性無關(guān)組與秩；（2）寫出每個向量用極大線性無關(guān)組線性表出的表達(dá)式.9計算下列矩陣的秩. （1）（2）（3）（4）10證明：若線性相關(guān)，而線性無關(guān)，則（1）可由線性表出；（2）不能由線性表出.11設(shè)向量組線性無關(guān)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n是奇數(shù)時，向量組：也線性無關(guān).12設(shè)有個向量：，且，證明：（1）若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；（2）若線性相關(guān)，則也線性相關(guān).13設(shè)向量組線性相關(guān)，且它們都不是零向量，證明：其中至少有兩個向量，這兩個向量的每一個都可由其余向量線性表出.14證明：向量組線性無關(guān)的充要條件是存在向量可由線性表出，但不能由其中的個向量線性表出.15設(shè)向量組線性無關(guān)，而線性相關(guān).證明：若與向量組不等價，則與中有且僅有一個向量可由線性表出.提高題1 設(shè)，且，則k= 2設(shè)，令，求的一個基礎(chǔ)解系.3設(shè)矩陣，證明矩陣方程有解當(dāng)且僅當(dāng).4設(shè)齊次線性方程組有非零解，證明存在使得無解.5設(shè)有向量組，其中，且每個都 不能被線性表出，證明：線性無關(guān).6設(shè)有兩個向量組：； . 證明：（1）若向量組線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；（2）若，且對任意的，向量組都線性無關(guān)，則也線性無關(guān).7設(shè)是一組n維向量，證明：線性無關(guān)的充要條件是任一n維向量都可被它們線性表出.8設(shè)是r個互不相同的數(shù)，證明：向量組 線性無關(guān).9設(shè)是n個互不相同的數(shù)，令證明: 任一n維向量都可由線性表出，且表法唯一.10已知向量組線性無關(guān)， 證明：線性無關(guān)的充要條件是.11設(shè)是線性方程組的一個解，是的導(dǎo)出方程組的一個基礎(chǔ)解系.令.證明：的任一解，都可表成，其中.考研題1設(shè)方程組的導(dǎo)出組為，(1)下列命題正確的一個是 有惟一解僅有零解有解有解有非零解有無窮多解有非零解有無窮多解(2) 設(shè)是的一個解，是的一個基礎(chǔ)解系，則下列命題錯誤的一個是 是的一組線性無關(guān)的解的每個解都可以表成的線性組合是的一個解的所有解都可以表成的線性組合2當(dāng)取何值(或滿足何種關(guān)系式)時，元線性方程組有解？有多少解？3設(shè)是s個線性無關(guān)的n維向量，證明：存在含n個未知量的齊次線性方程組，使是它的一個基礎(chǔ)解系.4設(shè) 是非齊次的線性方程組（即至少有一個），且系數(shù)陣A的秩為r.證明：若有解，則它有個線性無關(guān)的解向量，使