2015年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(全國(guó)新課標(biāo)ⅱ).doc

2015年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)新課標(biāo)）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）已知集合A=2，1，0，1，2，B=x|（x1）（x+2）0，則AB=（）A1，0B0，1C1，0，1D0，1，22（5分）若a為實(shí)數(shù)，且（2+ai）（a2i）=4i，則a=（）A1B0C1D23（5分）根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)4（5分）已知等比數(shù)列an滿足a1=3，a1+a3+a5=21，則a3+a5+a7=（）A21B42C63D845（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（2）+f（log212）=（）A3B6C9D126（5分）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）ABCD7（5分）過(guò)三點(diǎn)A（1，3），B（4，2），C（1，7）的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|=（）A2B8C4D108（5分）程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=（）A0B2C4D149（5分）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A36B64C144D25610（5分）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記BOP=x將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖象大致為（）ABCD11（5分）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，頂角為120，則E的離心率為（）AB2CD12（5分）設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)f（x）（xR）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x0時(shí)，xf（x）f（x）0，則使得f（x）0成立的x的取值范圍是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）設(shè)向量，不平行，向量+與+2平行，則實(shí)數(shù)= 14（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為 15（5分）（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a= 16（5分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，an+1=Sn+1Sn，則Sn= 三、解答題（共5小題，滿分60分）17（12分）ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長(zhǎng)18（12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（2）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率19（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面所成角的正弦值20（12分）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m0），直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過(guò)點(diǎn)（，m），延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由21（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2mx（1）證明：f（x）在（，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范圍四、選做題.選修4-1：幾何證明選講22（10分）如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，O與ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（1）證明：EFBC；（2）若AG等于O的半徑，且AE=MN=2，求四邊形EBCF的面積選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（t為參數(shù)，t0），其中0，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：=2sin，C3：=2cos（1）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值選修4-5：不等式選講24設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：（1）若abcd，則+；（2）+是|ab|cd|的充要條件2015年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)新課標(biāo)）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）已知集合A=2，1，0，1，2，B=x|（x1）（x+2）0，則AB=（）A1，0B0，1C1，0，1D0，1，2【解答】解：B=x|2x1，A=2，1，0，1，2；AB=1，0故選：A2（5分）若a為實(shí)數(shù)，且（2+ai）（a2i）=4i，則a=（）A1B0C1D2【解答】解：因?yàn)椋?+ai）（a2i）=4i，所以4a+（a24）i=4i，4a=0，并且a24=4，所以a=0；故選：B3（5分）根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【解答】解：A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；B20042006年二氧化硫排放量越來(lái)越多，從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；C從圖中看出，2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，故C正確；D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，而不是與年份正相關(guān)，故D錯(cuò)誤故選：D4（5分）已知等比數(shù)列an滿足a1=3，a1+a3+a5=21，則a3+a5+a7=（）A21B42C63D84【解答】解：a1=3，a1+a3+a5=21，q4+q2+1=7，q4+q26=0，q2=2，a3+a5+a7=3（2+4+8）=42故選：B5（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（2）+f（log212）=（）A3B6C9D12【解答】解：函數(shù)f（x）=，即有f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）=2=12=6，則有f（2）+f（log212）=3+6=9故選C6（5分）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）ABCD【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，正方體切掉部分的體積為111=，剩余部分體積為1=，截去部分體積與剩余部分體積的比值為故選：D7（5分）過(guò)三點(diǎn)A（1，3），B（4，2），C（1，7）的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|=（）A2B8C4D10【解答】解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，D=2，E=4，F(xiàn)=20，x2+y22x+4y20=0，令x=0，可得y2+4y20=0，y=22，|MN|=4故選：C8（5分）程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=（）A0B2C4D14【解答】解：由a=14，b=18，ab，則b變?yōu)?814=4，由ab，則a變?yōu)?44=10，由ab，則a變?yōu)?04=6，由ab，則a變?yōu)?4=2，由ab，則b變?yōu)?2=2，由a=b=2，則輸出的a=2故選：B9（5分）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A36B64C144D256【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐OABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VOABC=VCAOB=36，故R=6，則球O的表面積為4R2=144，故選C10（5分）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記BOP=x將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖象大致為（）ABCD【解答】解：當(dāng)0x時(shí)，BP=tanx，AP=，此時(shí)f（x）=+tanx，0x，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x且x時(shí)，如圖所示，tanPOB=tan（POQ）=tanx=tanPOQ=，OQ=，PD=AOOQ=1+，PC=BO+OQ=1，PA+PB=，當(dāng)x=時(shí)，PA+PB=2，當(dāng)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x，PA+PB=tanx，由對(duì)稱性可知函數(shù)f（x）關(guān)于x=對(duì)稱，且f（）f（），且軌跡為非線型，排除A，C，D，故選：B11（5分）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，頂角為120，則E的離心率為（）AB2CD【解答】解：設(shè)M在雙曲線=1的左支上，且MA=AB=2a，MAB=120，則M的坐標(biāo)為（2a，a），代入雙曲線方程可得，=1，可得a=b，c=a，即有e=故選：D12（5分）設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)f（x）（xR）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x0時(shí)，xf（x）f（x）0，則使得f（x）0成立的x的取值范圍是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g（x）=，當(dāng)x0時(shí)總有xf（x）f（x）成立，即當(dāng)x0時(shí)，g（x）恒小于0，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，又g（x）=g（x），函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)又g（1）=0，函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故選：A二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）設(shè)向量，不平行，向量+與+2平行，則實(shí)數(shù)=【解答】解：向量，不平行，向量+與+2平行，+=t（+2）=，解得實(shí)數(shù)=故答案為：14（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值為1+；故答案為：15（5分）（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a=3【解答】解：設(shè)f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+a5x5，令x=1，則a0+a1+a2+a5=f（1）=16（a+1），令x=1，則a0a1+a2a5=f（1）=0得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以232=16（a+1），所以a=3故答案為：316（5分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，an+1=Sn+1Sn，則Sn=【解答】解：an+1=Sn+1Sn，Sn+1Sn=Sn+1Sn，=1，又a1=1，即=1，數(shù)列是以首項(xiàng)是1、公差為1的等差數(shù)列，=n，Sn=，故答案為：三、解答題（共5小題，滿分60分）17（12分）ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長(zhǎng)【解答】解：（1）如圖，過(guò)A作AEBC于E，=2BD=2DC，AD平分BACBAD=DAC在ABD中，=，sinB=在ADC中，=，sinC=；=6分（2）由（1）知，BD=2DC=2=過(guò)D作DMAB于M，作DNAC于N，AD平分BAC，DM=DN，=2，AB=2AC，令A(yù)C=x，則AB=2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得：=，x=1，AC=1，BD的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為118（12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（2）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率【解答】解：（1）兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下通過(guò)莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意評(píng)分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散；（2）記CA1表示事件“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”，記CA2表示事件“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為非常滿意”，記CB1表示事件“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為不滿意”，記CB2表示事件“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意”，則CA1與CB1獨(dú)立，CA2與CB2獨(dú)立，CB1與CB2互斥，則C=CA1CB1CA2CB2，P（C）=P（CA1CB1）+P（CA2CB2）=P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB2），由所給的數(shù)據(jù)CA1，CA2，CB1，CB2，發(fā)生的頻率為，所以P（CA1）=，P（CA2）=，P（CB1）=，P（CB2）=，所以P（C）=+=0.4819（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面所成角的正弦值【解答】解：（1）交線圍成的正方形EFGH如圖：（2）作EMAB，垂足為M，則：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；，AH=10；以邊DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F(xiàn)（0，4，8）；設(shè)為平面EFGH的法向量，則：，取z=3，則；若設(shè)直線AF和平面EFGH所成的角為，則：sin=；直線AF與平面所成角的正弦值為20（12分）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m0），直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過(guò)點(diǎn)（，m），延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由【解答】解：（1）設(shè)直線l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），將y=kx+b代入9x2+y2=m2（m0），得（k2+9）x2+2kbx+b2m2=0，則判別式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，則x1+x2=，則xM=，yM=kxM+b=，于是直線OM的斜率kOM=，即kOMk=9，直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值（2）四邊形OAPB能為平行四邊形直線l過(guò)點(diǎn)（，m），由判別式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，即k2m29b29m2，b=mm，k2m29（mm）29m2，即k2k26k，即6k0，則k0，l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k3，由（1）知OM的方程為y=x，設(shè)P的橫坐標(biāo)為xP，由得，即xP=，將點(diǎn)（，m）的坐標(biāo)代入l的方程得b=，即l的方程為y=kx+，將y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2，解得k1=4或k2=4+，ki0，ki3，i=1，2，當(dāng)l的斜率為4或4+時(shí)，四邊形OAPB能為平行四邊形21（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2mx（1）證明：f（x）在（，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范圍【解答】解：（1）證明：f（x）=m（emx1）+2x若m0，則當(dāng)x（，0）時(shí)，emx10，f（x）0；當(dāng)x（0，+）時(shí)，emx10，f（x）0若m0，則當(dāng)x（，0）時(shí)，emx10，f（x）0；當(dāng)x（0，+）時(shí)，emx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）時(shí)單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增（2）由（1）知，對(duì)任意的m，f（x）在1，0單調(diào)遞減，在0，1單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值所以對(duì)于任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|e1的充要條件是即設(shè)函數(shù)g（t）=ette+1，則g（t）=et1當(dāng)t0時(shí)，g（t）0；當(dāng)t0時(shí)，g（t）0故g（t）在（，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增又g（1）=0，g（1）=e1+2e0，故當(dāng)t1，1時(shí)，g（t）0當(dāng)m1，1時(shí)，g（m）0，g（m）0，即合式成立；當(dāng)m1時(shí)，由g（t）的單調(diào)性，g（m）0，即emme1當(dāng)m1時(shí)，g（m）0，即em+me1綜上，m的取值范圍是1，1四、選做題.選修4-1：幾何證明選講22（10分）如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，O與ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（1）證明：EFBC；（2）若AG等于O的半徑，且AE=MN=2，求四邊形EBCF的面積【解答】（1）證明：ABC為等腰三角形，ADBC，AD是CAB的角平