直線參數(shù)方程的幾何意義.doc

紅旗數(shù)學(xué)，方法先行一、參數(shù)方程及參數(shù)等的幾何意義 若傾斜角為的直線過點(diǎn)，t為參數(shù)，則該直線的參數(shù)方程可寫為 若直線過點(diǎn)M，直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P、Q，則 |MP|、|MQ|的幾何意義就是：； |MP|+|MQ|的幾何意義就是：； |MP|MQ|的幾何意義就是：； |PQ|的幾何意義就是：.例1：已知直線l：與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的長和點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積。（1） 如何寫出直線l的參數(shù)方程解：因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)，且l的傾斜角為，所以它的參數(shù)方程是，（為參數(shù)），即，（為參數(shù)）（2） 如何求出交點(diǎn)A，B所對應(yīng)的參數(shù)？ 把代入拋物線的方程，得 ， （3） 與有什么關(guān)系？ 由參數(shù)方程的幾何意義可得： =2、 求弦的中點(diǎn)坐標(biāo) 若過點(diǎn)M、傾斜角為的直線l與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)公式為：或，為常數(shù)，均不為零(其中 中點(diǎn)M的相應(yīng)參數(shù)為t，而，所以中點(diǎn)坐標(biāo)也為： ) 若過點(diǎn)M、傾斜角為的直線l與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，且M恰為弦AB中點(diǎn)，則中點(diǎn)M的相應(yīng)參數(shù)：=0 （因?yàn)椋粸?，所以t=0）例2：直線l與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：把 直接代入中，可得：，即，則，所以M的橫坐標(biāo)為：,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：（注：這部分內(nèi)容在演草紙上顯示即可） 所以中點(diǎn)M的坐標(biāo)為3 應(yīng)用部分例3：經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直l的方程。 解：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)的直線l的參數(shù)方程為： 代入橢圓方程，整理得：由t的幾何意義可知，因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，所以.因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以于是直線l的斜率為，因此，直線l的方程是.例4：已知經(jīng)過點(diǎn)P(2，0)，斜率為的直線和拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的坐標(biāo).解：設(shè)過點(diǎn)P(2，0)的直線AB的傾斜角為，由已知可得：.所以，直線的參數(shù)方程為代入拋物線，整理得：，中點(diǎn)M的相應(yīng)參數(shù)為，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是例5：已知直線l：x+y-1=0與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長和點(diǎn)M(-1,2)到A、B兩點(diǎn)的距離之積.解法一：解：由可得：（*）由韋達(dá)定理可得：由(*)解得 記直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，則解法二： 解：因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)，且l的傾斜角為，所以它的參數(shù)方程是，