11 特殊值法——教師版.doc

第11講 特殊值法一、方法技巧特殊值法 （一）定義又叫特值法，即通過設(shè)題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法這個特殊值必須滿足無論這個量的值是多少，對最終結(jié)果所要求的量的值沒有影響；（二）使用條件有些選擇題或填空題，用常規(guī)方法求解比較困難，若根據(jù)已知或答案所提供信息，選擇某些特殊值進行分析或計算，把一般形式變?yōu)樘厥庑问?，再進行判斷往往比較簡單（三）專題目標通過訓練，能迅速作出判斷并能用特殊值法解決問題（四）解題思路1一定要按照題目所給的具體條件取值2所取的數(shù)值一般最大不超過，最小不超過這樣的整數(shù)，例如、最常用3將所取的特殊值代入題干直接判斷或逐一代入題支判斷即可得出正確答案（四）應用類型類型一 已知中具體數(shù)量關(guān)系較少的問題類型二 化簡與求值的問題類型三 恒等式問題類型四 解以“不論為何值時”為條件的問題類型五 驗證結(jié)論的正確性的問題類型六 比較大小的問題類型七 幾何問題二、應用舉例類型一 已知中具體數(shù)量關(guān)系較少的問題【例題1】有兩只相同的大桶和一只空杯子，甲桶裝牛奶，乙桶裝糖水先從甲桶內(nèi)取出一杯牛奶倒入乙桶，再從乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶請問此時甲桶內(nèi)糖水多還是乙桶內(nèi)的牛奶多？A甲桶多 B乙桶多 C一樣多 D無法判斷【答案】C【解析】題干全部為文字敘述，沒有具體數(shù)據(jù)，可采用特值法解：令甲桶牛奶量=乙桶牛奶量=，空杯子體積為，第一次取一杯牛奶即將甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合，此時乙桶內(nèi)牛奶和糖水的比例為：，乙桶有，甲桶， 又從乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此時甲桶溶液量=乙桶溶液量=，且牛奶和糖水各占一半即甲桶內(nèi)糖水=乙桶內(nèi)糖水故選C【難度】一般類型二 化簡與求值的問題【例題2】已知、滿足，則 A B C D【答案】B【解析】滿足題干條件的、的數(shù)據(jù)很多，但結(jié)果是唯一的，所以可以對、特殊化，令，則，故選擇B【難度】一般類型三 恒等式問題【例題3】若實數(shù)、滿足，則下列式子一定成立的是（ ）A B C D【答案】D【解析】本題三個未知數(shù)，一個方程，如果不用特值法很難解答取特殊值：，滿足，A,BCD故選擇D【難度】一般類型四 解以“不論為何值時”為條件的問題【例題4】不論參數(shù)取什么值，直線總通過一個定點，這個定點坐標為（ ）A B C D【答案】C【解析】由條件“不論參數(shù)取什么值”，可知的取值不影響直線通過定點，故簡單的方法是將選項直接代入來驗證將選項代入直線，可以看出只有C選項代入時恒等成立，故選C【難度】容易類型五 驗證結(jié)論的正確性的問題【例題5】已知有理數(shù)、滿足，則下列式子正確的是（ ）A B C D【答案】C【解析】由有理數(shù)、滿足，取，那么A：，成立，B：，成立，C： ，成立，D：，不成立，故排除D取，那么A：，不成立，B：，不成立，C： ，成立，故選C點評：特殊值法將抽象的字母換成形象的數(shù)字，使解題更為方便【難度】一般類型六 比較大小的問題【例題6】當，與的大小關(guān)系為（ ）A B C D無法確定【答案】B【解析】因為，取，則，因，故，故選B【難度】較易類型七 幾何問題【例題7】 如圖，過軸上任意一點，作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點和點若為軸上任意一點，連接、，則的面積為 【答案】 【解析】因為為軸上任意一點且為軸上任意一點，本題為填空題，故選擇特殊值法比較適合解：令，則， 即， 【難度】較易三、實戰(zhàn)演練類型一 已知中具體數(shù)量關(guān)系較少的問題1一個圓柱的半徑比原來的圓柱的半徑多倍，高是原來的，則這個圓柱的體積是原來圓柱體積的（ ）A一樣多 B倍 C倍 D倍【答案】D【解析】此題若不用特殊值法解答，勢必要去尋找兩者的數(shù)量關(guān)系，而這個數(shù)量關(guān)系還要靠字母來體現(xiàn)，若用特殊值法，數(shù)量關(guān)系明了，能輕松順利的解答解：令原來的圓柱半徑是,高是，則體積是新圓柱半徑是,高是，則體積是則這個圓柱的體積是原來的倍，故選D【難度】一般2老王前幾年投資的一套藝術(shù)品市價上漲了，為盡快出手，老王將該藝術(shù)品按市價的八折出售，扣除成交價的交易費后，發(fā)現(xiàn)與買進時相比賺了萬元問老王買進該藝術(shù)品花了多少元？A B C D【答案】D【解析】本題是選擇題，已知的數(shù)量關(guān)系是百分數(shù)，因此把購入價格看作比較快捷、準確的解答此題解：令該藝術(shù)品兩年前價格為則現(xiàn)在市價為八折售價為交易費用為實際售價為利潤為因?qū)嶋H賺了萬元，則，故購買價格為萬元選擇D點評:本題若列方程，可設(shè)買進價格為萬元，則，求解容易出錯，這樣題型特值法較好【難度】一般3若有一個因式為，求的值【答案】【解析】根據(jù)大綱要求這部分知識難度已降低，因此不采用特殊值法將無從下手因式已定，故已定，故不變的，適合使用特值法令，把代入可求得【難度】較難類型二 化簡與求值問題4如果，則的值是（ ）A B C D不確定【答案】C【解析】試題分析：本題已知條件只給了，因此令，即可迅速得出答案試題解析：解：（方法一）令，則（方法二） 點評：顯然特值法對這樣條件較少，但題目很繁冗復雜的問題很快捷【難度】較難5已知，則的值為_【答案】【解析】因為，所以令，原式，即值為點評：由于選擇題、填空題不需要寫出解題的過程，只要求出正確答案即可，解答選擇題，填空題時運用特殊值法能提高解題的速度和準確性【難度】較易6若，則的最后結(jié)果是（ ）A B C D【答案】B【解析】本題若用常規(guī)的方法應根據(jù)，先討論的正負，進而討論的正負，最后得出最終答案，相比較選擇題中此題特值法比較好用解：（法一），故，即 ，則（法二）由于，故令，則故選B【難度】一般7已知一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過第三象限，則化簡的結(jié)果是（ ）A B C D【答案】D【解析】我們不妨從已知，即一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過第三象限這一條件入手，因為的圖像必經(jīng)過這點，而經(jīng)過這點的圖像要想不經(jīng)過第三象限，只有當，即，我們?nèi)〈爰纯傻玫酱鸢附猓阂淮魏瘮?shù)的圖像不經(jīng)過第三象限，即取代入，顯然答案A、B錯，答案C為，由，故，故C錯答案D為，由，故，故D正確故選擇D【難度】一般類型三 恒等式問題8若，求的值【答案】【解析】對于恒等式問題，當?shù)仁街械牡淖帜溉∈沟仁接幸饬x的任何一個特殊值時，等式都成立，根據(jù)恒等式這個性質(zhì)，可以用特殊值法求恒等式中參數(shù)的值令時，令時，所以 【難度】較難類型四 解以“不論為何值時”為條件的問題9求證：不論為何值時，一次函數(shù)的圖像恒過一定點【答案】證明：條件為不論為何值時，故可取特殊值 令時， 令時， 把聯(lián)立成方程組 解得： 當，時，成立 所以不論為何值時，一次函數(shù)的圖像恒過定點【解析】因為條件為“不論為何值時”，即定義范圍內(nèi)的所有數(shù)值都會使圖象經(jīng)過定點，故取兩個數(shù)值即可確定這個定點證明：條件為不論為何值時，故可取特殊值 令時， 令時， 把聯(lián)立成方程組 解得： 當，時，成立 所以不論為何值時，一次函數(shù)的圖像恒過定點點評：解決以“不論為何值時或為任意實數(shù)時”為條件的問題，可以取特殊值法，探求出定點，然后加以驗證即可【難度】較難10若點在第一象限，則點在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】按題目要求取，即，則，故點為顯而易見在第二象限故選B【難度】容易11當時，點在第（ ）象限A 一 B 二 C 三 D 四【答案】D【解析】由于數(shù)學選擇題的唯一性，因此取滿足條件的特殊值，通過計算點的坐標為，在第四象限內(nèi)，故選D【難度】較易12二次函數(shù)，若當取、時函數(shù)值相等，當取時函數(shù)值等于_【答案】【解析】本題在解答時需根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點，二次函數(shù)的對稱軸為軸，則可得，從而得時，取代入中得【難度】一般類型五 驗證結(jié)論的正確性問題13“如果兩個三角形的三個內(nèi)角與三條邊六個元素中有五個元素分別相等，那么這兩個三角形一定全等”，這個命題正確嗎？說明理由【答案】不正確【解析】兩個三角形的三邊長分別取特殊值為、或、因為，所以兩個三角形相似，所以兩個三角形三個內(nèi)角分別相等，又有兩條邊分別相等，即五個元素相等，但這兩個三角形不全等，所以這個命題是假命題點評：要想說明一個命題是假命題，只需舉出一個符合條件但不符合結(jié)論的特殊值反例即可【難度】較易14如果、是不全相等的實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）A、都不小于 B、都不大于C 、至少一個小于 D、至少一個大于【答案】D【解析】本題若不用特值法將無從下手，、是不全相等的實數(shù)，可取范圍較大，故令，則，排除B、C故令，則，排除A故選D【難度】較難15如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）A B C D 【答案】B【解析】此題直接解比較困難，可采用特值法，由選項可知的取值將實數(shù)分為三部分，即、，故可取三個特殊值來驗證令，變形得，有兩個不相等的實數(shù)根令，變形得，有兩個不相等的實數(shù)根令，變形得，沒有實數(shù)根故排除D，選擇B【難度】較難類型六 比較大小問題16若，且，則 若，且，則 【答案】，【解析】因為，且，所以設(shè)，則，所以因為，且，所以設(shè)，則，所以點評：此題若不用特殊值法，就要考慮絕對值的性質(zhì)，會顯得繁瑣，現(xiàn)在用特殊值法，會使表達更清晰直觀【難度】一般17如圖，數(shù)軸上的點、分別對應實數(shù)、，下列結(jié)論中正確的是（ ）A B C D【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)軸確定出、的正負情況以及絕對值的大小，也可得到答案，使用特值法更快捷根據(jù)數(shù)軸，且，因此，令，則A,應為，故本選項錯誤；B,應為，故本選項錯誤；C，故本選項正確；D,應為故本選項錯誤故選C【難度】較易類型七 幾何問題 18正方形中，對角線的長為，點是上任意