95學(xué)基礎(chǔ)題題庫(二)(立體幾何).doc

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家基礎(chǔ)題題庫二立體幾何101. 是ABC在平面上的射影，那么和ABC的大小關(guān)系是( )(A) ABC(C) ABC(D) 不能確定解析：D一個(gè)直角，當(dāng)有一條直角邊平行于平面時(shí)，則射影角可以等于原角大小，但一般情況不等102. 已知: 如圖, ABC中, ACB = 90, CD平面, AD, BD和平面所成的角分別為30和45, CD = h, 求: D點(diǎn)到直線AB的距離。解析：1、先找出點(diǎn)D到直線AB的距離, 即過D點(diǎn)作 DEAB, 從圖形以及條件可知, 若把DE放在ABD中不易求解。2、由于CD平面, 把DE轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解, 從而轉(zhuǎn)化為先求DE在平面內(nèi)的射影長。解: 連AC, BC, 過D作DEAB, 連CE, 則DE為D到直線AB的距離。CDAC, BC分別是AD, BD在內(nèi)的射影。DAC, DBC分別是AD和BD與平面所成的角DAC = 30, DBC = 45 在RtACD中,CD = h, DAC = 30AC = 在RtBCD中CD = h, DBC = 45 BC = hCD, DEABCEAB在RtACB中在RtDCE中,點(diǎn)D到直線AB的距離為。103. 已知a、b、c是平面內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和相交，并且和a、b、c三條直線成等角求證：l證法一：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO = BO = CO設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點(diǎn)P，在POA、POB、POC中， PO公用，AO = BO = CO，POA =POB=POC， POAPOBPOC PA = PB = PC取AB中點(diǎn)D連結(jié)OD、PD，則ODAB，PDAB， AB平面POD PO平面POD POAB同理可證 POBC ， PO，即l若l不經(jīng)過O時(shí)，可經(jīng)過O作l用上述方法證明， l證法二：采用反證法假設(shè)l不和垂直，則l和斜交于O同證法一，得到PA = PB = PC過P作于，則，O是ABC的外心因?yàn)镺也是ABC的外心，這樣，ABC有兩個(gè)外心，這是不可能的 假設(shè)l不和垂直是不成立的 l若l不經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)，過O作l，用上述同樣的方法可證， l評(píng)述：（1）證明線面垂直時(shí)，一般都采用直接證法（如證法一），有時(shí)也采用反證法（如證法二）或同一法104. P是ABC所在平面外一點(diǎn)，O是點(diǎn)P在平面上的射影（1）若PA = PB = PC，則O是ABC的_心（2）若點(diǎn)P到ABC的三邊的距離相等，則O是ABC_心（3）若PA 、PB、PC兩兩垂直，則O是ABC_心（4）若ABC是直角三角形，且PA = PB = PC則O是ABC的_心（5）若ABC是等腰三角形，且PA = PB = PC，則O是ABC的_心（6）若PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等，則O是ABC的_心；解析：（1）外心 PA=PB=PC， OA=OB=OC， O是ABC的外心（2）內(nèi)心（或旁心）作ODAB于D，OEBC于E，OFAC于F，連結(jié)PD、PE、PF PO平面ABC， OD、OE、OF分別為PD、PE、PF在平面ABC內(nèi)的射影，由三垂線定理可知，PDAB，PEBC，PFAC由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF， O是ABC的內(nèi)心（如圖答9-23）（3）垂心（4）外心（5）外心 （6）外心PA與平面ABC所成的角為PAO，在PAO、PBO、PCO中，PO是公共邊，POA=POB=POC=90，PAO=PBO=PCO， PAOPBOPCO， OA=OB=OC， O為ABC的外心（此外心又在等腰三角形的底邊高線上）105. 將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折起來，使點(diǎn)C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上求證：分析：欲證，只須證與所在平面垂直；而要證平面，只須證且AD因此，如何利用三垂線定理證明線線垂直就成為關(guān)鍵步驟了證明：由題意，又斜線在平面ABCD上的射影是BA， BAAD，由三垂線定理，得， 平面，而平面 106. 已知異面直線l1和l2，l1l2，MN是l1和l2的公垂線，MN = 4，Al1，Bl2，AM = BN = 2，O是MN中點(diǎn) 求l1與OB的成角求A點(diǎn)到OB距離分析：本題若將條件放入立方體的“原型”中，抓住“一個(gè)平面四條線”的圖形特征及“直線平面垂直”的關(guān)鍵性條件，問題就顯得簡單明了解析：（1）如圖，畫兩個(gè)相連的正方體，將題目條件一一標(biāo)在圖中OB在底面上射影NBCD，由三垂線定理，OBCD，又CDMA， OBMA 即OB與l1成90（2）連結(jié)BO并延長交上底面于E點(diǎn)ME = BN， ME = 2，又 ON = 2 作AQBE，連結(jié)MQ對(duì)于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分別為垂線、斜線、斜線在平面內(nèi)的射影，由三垂線逆定理得MQEO在RtMEO中，評(píng)述：又在RtAMQ中，本題通過補(bǔ)形法使較困難的問題變得明顯易解；求點(diǎn)到直線的距離，仍然是利用直線與平面垂直的關(guān)鍵條件，抓住“一個(gè)面四條線”的圖形特征來解決的107. 已知各棱長均為a的正四面體ABCD，E是AD邊的中點(diǎn)，連結(jié)CE求CE與底面BCD所成角的正弦值解析：作AH底面BCD，垂足H是正BCD中心，連DH延長交BC于F，則平面AHD平面BCD，作EOHD于O，連結(jié)EC，則ECO是EC與底面BCD所成的角則EO底面BCD， 108. 已知四面體SABC中，SA底面ABC，ABC是銳角三角形，H是點(diǎn)A在面SBC上的射影求證：H不可能是SBC的垂心分析：本題因不易直接證明，故采用反證法證明：假設(shè)H是SBC的垂心，連結(jié)BH，并延長交SC于D點(diǎn)，則BHSC AH平面SBC， BH是AB在平面SBC內(nèi)的射影 SCAB（三垂線定理）又 SA底面ABC，AC是SC在面內(nèi)的射影 ABAC（三垂線定理的逆定理） ABC是Rt與已知ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設(shè)不成立故H不可能是SBC的垂心109. 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求點(diǎn)B到平面EFG的距離解析：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O 因?yàn)锳BCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EFBD，H為AO的中點(diǎn)BD不在平面EFG上否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點(diǎn)G在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾由直線和平面平行的判定定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離 4分 BDAC， EFHC GC平面ABCD， EFGC， EF平面HCG 平面EFG平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線 6分作OKHG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK平面EFG，所以線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離 8分 正方形ABCD的邊長為4，GC=2， AC=4，HO=，HC=3 在RtHCG中，HG=由于RtHKO和RtHCG有一個(gè)銳角是公共的，故RtHKOHCG OK=即點(diǎn)B到平面EFG的距離為 10分注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分110. 已知：AB與CD為異面直線，ACBC，ADBD求證：ABCD說明：（1）應(yīng)用判定定理，掌握線線垂直的一般思路（2）思路：欲證線線垂直，只需證線面垂直，再證線線垂直，而由已知構(gòu)造線線垂直是關(guān)鍵（3）教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生分析等腰三角形三線合一的性質(zhì)構(gòu)造圖形，找到證明方法證明：如圖，取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DEACBC，E為AB中點(diǎn)CEAB同理DEAB，又CEDEE，且CE平面CDE，DE平面CDEAB平面CDE又CD平面CDEABCD111. 兩個(gè)相交平面a、b 都垂直于第三個(gè)平面g ，那么它們的交線a一定和第三個(gè)平面垂直證明：在g 內(nèi)取一點(diǎn)P，過P作PA垂直a 與g 的交線；過P作PB垂直b 與g 的交線 ag 且bg PAa且PBb PAa且PBa ag112. 在立體圖形PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，Q是PC中點(diǎn)AC，BD交于O點(diǎn)（）求二面角QBDC的大?。海ǎ┣蠖娼荁QDC的大小解析：（）解：連QO，則QOPA且QOPAAB PA面ABCD QO面ABCD面QBD過QO， 面QBD面ABCD故二面角QBDC等于90（）解：過O作OHQD，垂足為H，連CH 面QBD面BCD，又 COBDCO面QBDCH在面QBD內(nèi)的射影是OH OHQD CHQD于是OHC是二面角的平面角設(shè)正方形ABCD邊長2，則OQ1，OD，QD OHQDOQOD OH又OC在RtCOH中：tanOHC OHC60故二面角BQDC等于60113. 如圖在ABC中， ADBC， ED=2AE， 過E作FGBC， 且將AFG沿FG折起，使AED=60，求證:AE平面ABC解析：弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。解： FGBC，ADBCAEFGAEBC設(shè)AE=a，則ED=2a由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60 =3a2ED2=AD2+AE2ADAEAE平面ABC114. 、是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：mn，n，m以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，并證明它解析：m，n，mn（或mn，m，n）證明如下：過不在、內(nèi)的任一點(diǎn)P，作PMm，PNn過PM、PN作平面r交于MQ，交于NQ，同理PNNQ因此MPNMQN = 180，故MQN = 90MPN = 90即mn115. 已知：，b，b 求證：a且b解析：在a上任取一點(diǎn)P，過P作PQr r， ， r， ， PQ與a重合，故ar過b和點(diǎn)P作平面S，則S和交于PQ1，S和交于PQ2， b，b bPQ1，且bPQ2于是PQ1和PQ2與a重合，故ba， 而ar， br116. 已知PA矩形ABCD所在平面，且AB3，BC4，PA3，求點(diǎn)P到CD和BD的距離解析： PA平面ABCD，ADCD，且CD平面ABCD PDCD（三垂線定理）在RtPAD中，PD5又作PHBD于H，連結(jié)AH，由三垂線定理的逆定理，有AHBD這里，PH為點(diǎn)P到BD的距離在RtABD中，AH在RtPAH中，PH117. 點(diǎn)P在平面ABC的射影為O，且PA、PB、PC兩兩垂直，那么O是ABC的( )(A) 內(nèi)心(B) 外心(C) 垂心(D) 重心解析：由于PCPA，PCPB，所以PC平面PAB， PCAB又P在平面ABC的射影為O，連CO，則CO是PC在平面ABC的射影，根據(jù)三垂線定理的逆定理，得：COAB，同理可證AOBC，O是ABC的垂心，答案選C118. 如圖02，在長方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱AA1、BB1、BC上的點(diǎn)，PQAB，C1QPR，求證：D1QR=90證明： PQAB，AB平面BC1， PQ平面BC1，QR是PR在平面BC1的射影根據(jù)三垂線定理的逆定理，由C1QPR得C1QQR又因D1C1平面BC1，則C1Q是D1Q在平面B1C的射影，根據(jù)三垂線定理，由C1QQR得QRD1Q D1QR=90119. 在空間四邊形ABCD中, 已知ACBD, ADBC, 求證: ABCD。解析：1、條件ACBD, ADBC, 可以看作斜線AD, AC與平面BCD內(nèi)的直線的位置關(guān)系, 從而聯(lián)想到用三垂線定理或其逆定理證明命題。2、如何找斜線在平面內(nèi)的射影, 顯然是過A點(diǎn)作直線垂直于平面BCD, 這樣斜線與直線的位置關(guān)系, 通過射影與直線的位置關(guān)系判定。證明: 過A點(diǎn)作AO垂直于平面BCD于O連BO, CO, DOAO平面BCD, ACBDCOBDAO平面BCD, ADBC DOBCO為BCD的垂心BOCDABCD120. 如圖, 在空間四邊形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求證: ANBC; SC平面ANM解析： 要證ANBC, 轉(zhuǎn)證, BC平面SAB。要證SC平面ANM, 轉(zhuǎn)證, SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線, 即證SCAM, SCAN。要證SCAN, 轉(zhuǎn)證AN平面SBC, 就可以了。證明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = A BC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM121. 已知如圖，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求證：平面ABC平面PBC解析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內(nèi)找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點(diǎn)D，證明AD垂直平PBC即可證明： 取BC中點(diǎn)D 連結(jié)AD、PD PA=PB；APB=60 PAB為正三角形 同理PAC為正三角形 設(shè)PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD為直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC122. 如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于這個(gè)平面。已知：，=a求證：a解析：利用線面垂直的性質(zhì)定理證明：設(shè)=AB，=CD 在平面內(nèi)作L1AB， 在平面內(nèi)作L1CD， L1 同理L2 L1/L2 L1/ L1/a a113. 已知SA、SB、SC是共點(diǎn)于S的且不共面的三條射線，BSA=ASC=45,BSC=60，求證：平面BSA平面SAC解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根據(jù)給定的條件，在棱S上取一點(diǎn)P，分別是在兩個(gè)平面內(nèi)作直線與棱垂直證明：在SA上取一點(diǎn)P過P作PRSA交SC于R過P作PQSA交SB于QQPR為二面角B-SA-C的平面角設(shè)PS=aPSQ=45，SPQ=90PQ=a，SQ=a同理PR= a，SR= aPSQ=60，SR=SQ= aRSQ為正三角形則RQ= aPR2+PQ2=2a2=QR2QPQ=90二面角B-SA-C為90 平面BSA平面SAC114. 設(shè)S為平面外的一點(diǎn)，SA=SB=SC，若，求證：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系（2）利用棱錐的性質(zhì)（三棱錐的側(cè)棱相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的外心）證明：設(shè)D為AB的中點(diǎn) 同理且即為且S在平面上的射影O為的外心 則O在斜邊AC的中點(diǎn)。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC115. 兩個(gè)正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，求異面直線AC和BF所成角的大小解析：作BPAC交DC延長線于P，則FBP(或補(bǔ)角)就是異面直線BF和AC所成的角，設(shè)正方形邊長為a，在BPF中，由余弦定理得，異面直線AC和BF成60角116. 二面角a的值為(0180)，直線l，判斷直線l與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解析： 分兩種情況，=90，90當(dāng)=90時(shí)，l或l，這個(gè)結(jié)論可用反證法證明；當(dāng)90時(shí)，l必與相交，也可用反證法證明117. 已知平面平面，交線為AB，C，D，E為BC的中點(diǎn)，ACBD，BD=8求證：BD平面；求證：平面AED平面BCD；求二面角BACD的正切值解析：AB是AC在平面上的射影，由ACBD得ABBD DB由AB=AC，且E是BC中點(diǎn)，得AEBC，又AEDB，故AE平面BCD，因此可證得平面AED平面BCD設(shè)F是AC中點(diǎn)，連BF，DF由于ABC是正三角形，故BFAC又由DB平面，則DFAC，BFD是二面角BACD的平面角，在RtBFD中，118. 如圖，ABC和DBC所在的兩個(gè)平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求(1) A、D連線和直線BC所成角的大小；(2) 二面角ABDC的大小解析：在平面ADC內(nèi)作AHBC，H是垂足，連HD因?yàn)槠矫鍭BC平面BDC所以AH平面BDCHD是AD在平面BDC的射影依題設(shè)條件可證得HDBC，由三垂線定理得ADBC，即異面直線AD和BC形成的角為90在平面BDC內(nèi)作HRBD，R是垂足，連ARHR是AR在平面BDC的射影， ARBD，ARH是二面角ABDC的平面角的補(bǔ)角，設(shè)AB=a，可得， 二面角ABDC的大小為arctg2119. 正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CC1的中點(diǎn)，求異面直線AE和BF所成角的大小解析：取DD1的中點(diǎn)G，可證四邊形ABFG是平行四邊形，得出BFAG，則GAE是異面直線AE與BF所成的角連GF，設(shè)正方體棱長為a，在AEG中，由余弦定理得 120. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值在RtAAO中，AAO=90，121. 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個(gè)平面的交線解：因?yàn)?ABCD，CD 平面CPD，AB 平面CPD所以 AB平面CPD又 P平面APB，且P平面CPD，因此 平面APB平面CPD=l，且Pl所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角因?yàn)?AB平面CPD，AB 平面APB，平面CPD平面APB=l，所以 ABl過P作PEAB，PECD因?yàn)?lABCD，因此 PEl，PFl，所以 EPF是二面角B-l-C的平面角因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a在EFP中，122. 在四面體ABCD中，ABADBD2，BCDC4，二面角ABDC的大小為60，求AC的長解析：作出二面角ABDC的平面角在棱BD上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)ABAD，BCDC解：取BD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，EC ABAD，BCDC AEBD，ECBD AEC為二面角ABDC的平面角 AEC60 AD2，DC4 AE，EC 據(jù)余弦定理得：AC123. 河堤斜面與水平面所成角為60，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30，沿著這條直道從堤角向上行走到10米時(shí)，人升高了多少（精確到0.1米）？解析： 已知 所求河堤斜面與水平面所成角為60 E到地面的距離利用E或G構(gòu)造棱上一點(diǎn)F 以EG為邊構(gòu)造三角形解：取CD上一點(diǎn)E，設(shè)CE10 m，過點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長就是所求的高度在河堤斜面內(nèi)，作EFAB垂足為F，連接FG，由三垂線定理的逆定理，知FGAB因此，EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成的二面角的平面角，EFG60由此得：EGEFsin60CE sin30sin60104.3（m）答：沿著直道向上行走到10米時(shí)，人升高了約4.3米124. 二面角a是120的二面角，P是該角內(nèi)的一點(diǎn)P到、的距離分別為a，b求：P到棱a的距離解析：設(shè)PA于A，PB于B過PA與PB作平面r與交于AO，與交于OB， PA，PB， aPA，且aPB a面r， aPO，PO的長為P到棱a的距離且AOB是二面角之平面角，AOB =120 APB = 60，PA = a，PB = b ， 125. 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值是( )(A) (B) (C) (D) 解析：選哪一點(diǎn)，如何作平行線是解決本題的關(guān)鍵，顯然在EF上選一點(diǎn)作AC的平行線要簡單易行，觀察圖形，看出F與A1C確定的平面A1CC1恰是正方體的對(duì)角面，在這個(gè)面內(nèi)，只要找出A1C1的中點(diǎn)O，連結(jié)OF，這條平行線就作出了，這樣，EFO即為異面直線A1C與EF所成的角容易算出這個(gè)角的余弦值是，答案選B 126在60的二面角MaN內(nèi)有一點(diǎn)P，P到平面M、平面N的距離分別為1和2，求P點(diǎn)到直線a的距離解析：本題涉及點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到直線的距離，二面角的平面角等概念，圖中都沒有表示，按怎樣的順序先后作出相應(yīng)的圖形是解決本題的關(guān)鍵可以有不同的作法，下面僅以一個(gè)作法為例，說明這些概念的特點(diǎn)，分別作PAM，M是垂足，PBN，N是垂足，先作了兩條垂線，找出P點(diǎn)到兩個(gè)平面的距離，其余概念要通過推理得出：于是PA、PB確定平面，設(shè)M=AC，N=BC，ca由于PAM，則PAa，同理PBa，因此a平面，得aPC這樣，ACB是二面角的平面角，PC是P點(diǎn)到直線a的距離，下面只要在四邊形ACBP內(nèi)，利用平面幾何的知識(shí)在PAB中求出AB，再在ABC中利用正弦定理求外接圓直徑2R，即為P點(diǎn)到直線a的距離，為127. 已知空間四邊形ABCD中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，（1）求證：EF 為AB和CD的公垂線（2）求異面直線AB和CD的距離解析：構(gòu)造等腰三角形證明EF 與AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF解；連接BD和AC，AF和BF，DE和CE設(shè)四邊形的邊長為a AD = CD = AC = a ABC為正三角形 DF = FC AF DC 且AF =同理 BF = A即 AFB為等腰三角形在 AFB中， AE = BE FE AB同理在 DEC中EF DC EF為異面直線AB和CD的公垂線在 AFB中 EF AB且 EF為異面直線AB和CD的距離 AB和CD的距離為128. 正方形ABCD中，以對(duì)角線BD為折線，把ABD折起，使二面角A-BD-C 為60，求二面角B-AC-D的余弦值解析：要求二面角B-AC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住圖形中AB=BC，AD=DC的關(guān)系，采用定義法作出平面角BED（E為AC的中點(diǎn)）然后利用余弦定理求解解：連BD、AC交于O點(diǎn)則AOBD，COBDAOC為二面角A-BD-C的平面角AOC=60設(shè)正方形ABCD的邊長為aAO=OC=1/2AC=AOC=60AOC為正三角形則AC=取AC的中點(diǎn)，連DE、BEAB=BCBEAC同理DEACDEB為二面角B-AC-D的平面角在BAC中BE=同理DE=在BED中，BD= cosBED= = =-二面角B-AC-D的余弦值為-129. 如圖平面SAC平面ACB，SAC是邊長為4的等邊三角形，ACB為直角三角形，ACB=90，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得線面垂直，作SD平面ACB，然后利用三垂線定理作出二面角的平面角解：過S點(diǎn)作SDAC于D，過D作DMAB于M，連SM平面SAC平面ACBSD平面ACBSMAB又DMABDMS為二面角S-AB-C的平面角在SAC中SD=4在ACB中過C作CHAB于HAC=4，BC=AB=S=1/2ABCH=1/2ACBCCH=DMCH且AD=DCDM=1/2CH=SD平面ACB DM平面ACBSDDM在RTSDM中SM= = =cosDMS= = =130. 已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，DABC所在平面外的一點(diǎn)P到三角形三頂點(diǎn)的距離都等于4，求直線PC與平面ABC所成的角。解析：解：設(shè)點(diǎn)P在底面上的射影為O，連OB、OC，則OC是PC在平面ABC內(nèi)的射影，PCO是PC與面ABC所成的角。 PA = PB = PC，點(diǎn)P在底面的射影是DABC的外心，注意到DABC為鈍角三角形，點(diǎn)O在DABC的外部，AC = BC，O是DABC的外心，OCAB在DOBC中，OC = OB， OCB = 60，DOBC為等邊三角形，OC = 2 在RtDPOC中，PCO = 60 。131. 如圖在二面角- l-中，A、B，C、Dl，ABCD為矩形，P，PA，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中點(diǎn) 求二面角- l-的大小 求證明：MNAB 求異面直線PA與MN所成角的大小解析： 用垂線法作二面角的平面角 只要證明AB垂直于過MN的一個(gè)平面即可 過點(diǎn)A作MN的平行線，轉(zhuǎn)化為平面角求解解： 連PD PA，ADl PDl PDA為二面角- l-的平面角 在RTPAD中 PA=PD PDA=45 二面角- l-為45 設(shè)E是DC的中點(diǎn)，連ME、NEM、N、E分別為AB、PC、D的中點(diǎn)MEAD，NEPDMEl，NEll平面MENABlAB平面MENMN平面MNEMNAB 設(shè)Q是DP聽中點(diǎn)，連NQ、AQ 則NQDC，且NQ=1/2DC AMDC，且AM=1/2AB=1/2DC QNAM，QN=AM QNMQ為平行四邊形 AQMN PAQ為PA與MN所成的角 PAQ為等腰直角三角形，AQ為斜邊上的中線 PAQ=45 即PA與MN所成角的大小為45132. 如圖: ABC的ABC= 90, V是平面ABC外的一點(diǎn), VA = VB = VC = AC, 求VB與平面ABC所成的角。解析：1、要求VB與平面ABC所成的角, 應(yīng)作出它們所成的角。2、要作出VB與平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC內(nèi)的射影就可以了。3、作斜線在平面內(nèi)的射影, 只要在斜線上找一點(diǎn)作直線 垂直于平面, 即找此點(diǎn)在平面內(nèi)的射影, 顯然找V點(diǎn), V點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在何處？由條件可知, 射影為ABC的外心。解: 作VO平面ABC于O, 則OB為VB在平面ABC內(nèi)的射影,VBO為VB與平面ABC所成的角。連OA、OB、OC, 則OA、OB、OC分別為斜線段VA、VB、VC在平面ABC內(nèi)的射影。VA = VB = VCOA = OB = OCO為ABC為外心ABC為直角三角形, 且AC為斜邊O為AC的中點(diǎn)設(shè)VA = a, 則VA = VC = AC = a, 在RtVOB中, VBO = 60VB與平面ABC所成的角為60。133. 已知：平面平面=直線a，同垂直于平面，又同平行于直線b求證：()a；()b證明：證法一()設(shè)=AB，=AC在內(nèi)任取一點(diǎn)P并于內(nèi)作直線PMAB，PNAC 1分 ， PM而 a， PMa同理PNa 4分又 PM，PN， a 6分()于a上任取點(diǎn)Q，過b與Q作一平面交于直線a1，交于直線a2 7分 b， ba1同理ba2 8分 a1，a2同過Q且平行于b， a1，a2重合又 a1，a2， a1，a2都是、的交線，即都重合于a 10分 ba1， ba而a， b 12分注：在第部分未證明ba而直接斷定b的，該部分不給分證法二()在a上任取一點(diǎn)P，過P作直線a 1分 ，P， a同理a 3分可見a是，的交線因而a重合于a 5分又 a， a 6分()于內(nèi)任取不在a上的一點(diǎn)，過b和該點(diǎn)作平面與交于直線c同法過b作平面與交于直線d 7分 b，b bc，bd 8分又 c，d，可見c與d不重合因而cd于是c 9分 c，c，=a， ca 10分 bc，ac，b與a不重合(b，a)， ba 11分而 a， b 12分注：在第部分未證明ba而直接斷定b的，該部分不給分134. 設(shè)S為平面外的一點(diǎn)，SA=SB=SC，若，求證：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系（2）利用棱錐的性質(zhì)（三棱錐的側(cè)棱相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的外心）證明：設(shè)D為AB的中點(diǎn) 同理且即為且S在平面上的射影O為的外心 則O在斜邊AC的中點(diǎn)。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC135. 已知如圖，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求證：平面ABC平面PBC解析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內(nèi)找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點(diǎn)D，證明AD垂直平PBC即可證明： 取BC中點(diǎn)D 連結(jié)AD、PD PA=PB；APB=60 PAB為正三角形 同理PAC為正三角形 設(shè)PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD為直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC136. 如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是 解析：137. 如圖，M、N、P分別是正方體ABCDA1B1C1D1的三個(gè)側(cè)面ABCD、CC1D1D、BCC1B1的中心，則A1M與NP所成的角是( )(A) 30(B) 45(C) 60(D) 90解析：D如圖所示 138. 相交成90的兩條直線和一個(gè)平面所成的角分別是30和45，則這兩條直線在該平面內(nèi)的射影所成的銳角是（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：分析：設(shè)直角頂點(diǎn)到平面的距離是1，所求的角為，則139. 在三棱錐P-ABC中， ABCNMPQAPB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。GAH解析：在二面角的棱PB上任取一點(diǎn)Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，則由定義可知MQN即為二面角的平面角。設(shè)PM=a,則在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由PQNPQM得PN=a,故在正PMN中MN=a,在MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值為。140. 三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。ABCB1C1A1NQ解析：可以知道，平面ABC與平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性質(zhì)來尋找從一個(gè)半平面到另一個(gè)半平面的垂線。解：由直三棱柱性質(zhì)得平面ABC平面BCC1B1，過A作AN平面BCC1B1，垂足為N，則AN平面BCC1B1，（AN即為我們要找的垂線）在平面BCB1內(nèi)過N作NQ棱B1C，垂足為Q，連QA，則NQA即為二面角的平面角。AB1在平面ABC內(nèi)的射影為AB，CAAB，CAB1A，AB=BB1=1，得AB1=。直線B1C與平面ABC成300角，B1CB=300，B1C=2，RtB1AC中，由勾股定理得AC=，AQ=1。在RtBAC中，AB=1，AC=，得AN=。sinAQN=。即二面角B-B1C-A的正弦值為。141. 已知菱形ABCD邊長為a，且其一條對(duì)角線BDa，沿對(duì)角線BD將折起所在平面成直二面角，點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)。 (1)求AC與平面AEF所成的角的余弦值 (2)求二面角AEFB的正切值。 (1) 解析：菱形ABCD的對(duì)角線，中位線EF/BD，可知面AOC，故面，這樣AC在面AEF內(nèi)的射影就是AG，就是AC與平面AEF的成角，解三角形AOC可得。 (2)分析：由前一小問的分析可知，就是二面角AEFB的平面角，在中，。 142. 如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，E是CC1的中點(diǎn)，求二面角B-B1E-D的余弦值。解析：圖中二面角的二個(gè)半平面分別為DEB1所在的半平面和BEB1所在的半平面，即正方體的右側(cè)面，它們的交線即二面角的棱B1E。不難找到DC即為從其中的一個(gè)半平面出發(fā)，并且垂直于另一個(gè)半平面的直線。BCC1B1EF解： 由題意可得直線DC平面BEB1，且垂足為C，過C作CFB1E于F（如圖，F(xiàn)在B1E的延長線上），連DF，則由三垂線定理可得DFC即二面角的平面角。B1C1ECFE，CF=；DF=BACDD1A1B1C1EFcosDFC=。即二面角的平面角的余弦值為。143. PEDCl如圖，在平面角為600的二面角-l-內(nèi)有一點(diǎn)P，P到、分別為PC=2cm,PD=3cm,則垂足的連線CD等于多少？（2）P到棱l的距離為多少？ 解析：對(duì)于本題若這么做：過C在平面內(nèi)作棱l的垂線，垂足為E，連DE，則CED即為二面角的平面角。這么作輔助線看似簡單，實(shí)際上在證明CED為二面角的平面角時(shí)會(huì)有一個(gè)很麻煩的問題，需要證明P、D、E、C四點(diǎn)共面。這兒，可以通過作垂面的方法來作二面角的平面角。解：PC、PD是兩條相交直線，PC、PD確定一個(gè)平面，設(shè)交棱l于E，連CE、DE。PC， PCl,又PD，PDl。l平面，則lCE、DE，故CED即為二面角的平面角，即CED=600。CPD=1200，PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得CD=cm。由PDDE，PCCE可得P、D、E、C四點(diǎn)共圓，且PE為直徑，由正弦定理得PE=2R=cm。說明：三垂線定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重視。144. 如圖，梯形ABCD中，BAAD，CDAD，AB=2，CD=4，P為平面ABCD外一點(diǎn)，平面PAD平面ABCD，PBC是邊長為10的正三角形，求平面PAD與面PBC所成的角.解法一：如圖，延長DA、CB交于E，AB是ECD的中位線，CBBE10.又PCB為正，易證PCE為直角三角形，PEPC.又平面PDA平面ABCD，且CD交線DA，CD平面PDE.PE是PC在平面