18、數(shù)學(xué)試卷質(zhì)量分析的數(shù)理統(tǒng)計方法淺議.pdf

數(shù)學(xué)試卷質(zhì)量分析的數(shù)理統(tǒng)計方法淺議 方政蕊 南平師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)系 福建 武夷山354300 摘 要 本文主要應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計方法 通過探討試卷的難度 區(qū)分度 信度 效度和覆蓋度等質(zhì)量指標(biāo)分析數(shù)學(xué)試卷的 質(zhì)量 并用實例來說明對試卷質(zhì)量分析的方法 關(guān)鍵詞 試卷 質(zhì)量 效度 難度 信度 中圖分類號 O212 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1008 5963 2006 02 0012 04 Study on the Ways of Mathematical Statistics in the Quality Analysis on the Mathematics Test FANG Zhengrui The Mathematics Department of Nanping Teachers College Wuyishan Fujian 354300 Abstract This article mainly uses the ways of mathematical statistics to analyze the quality of the mathematics examination paper through exploring the degree of difficulty distinction reliability and validity of the examination paper and illustrates the ways of the quality analysis of the examination paper by means of concrete examples Key words the examination paper quality the degree of validity the degree of difficulty the degree of reliability 評價試卷的質(zhì)量是教育科學(xué)中一個很重要的環(huán)節(jié) 試卷質(zhì)量的高低直接影響著測試的成績 而測試的 成績又是檢查教學(xué)質(zhì)量的重要依據(jù) 對考試結(jié)果的分析與評價 有助于教師總結(jié)經(jīng)驗 發(fā)現(xiàn)問題 改進(jìn)教 學(xué)方法 根據(jù)目前我校的實際情況 試卷多為任課教師憑自己的經(jīng)驗 并依據(jù)教學(xué)大綱要求及課堂教學(xué)的實際 情況 由不同題型 不同難易程度的試題組成的 因此它或多或少帶有主觀隨意性 可能會造成對學(xué)生成績 評價的主觀性 因此 對學(xué)生考試的成績及試卷的分析是課堂教學(xué)的繼續(xù) 是每一位教師必須認(rèn)真對待的 任務(wù) 通過分析 一方面可及時對試卷中反映出的帶有普遍性的問題進(jìn)行歸納和梳理 減少教師出試題的 盲目性和隨意性 為以后進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)工作提供信息 另一方面通過試卷分析可以提高和改進(jìn)試卷的質(zhì) 量 使之真實地反映教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況 1 考試成績分析 通過對考試成績的分析 可以了解平均成績及標(biāo)準(zhǔn)差 最高分與最低分 及格率和不及格率等信息 1 1 考試成績的分布 一份合理的試卷 學(xué)生考試成績應(yīng)服從正態(tài)分布 即有68 的學(xué)生分?jǐn)?shù)位于一個均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍 內(nèi) 95 的學(xué)生分?jǐn)?shù)都位于正負(fù)兩個均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi) 檢驗成績是否服從正態(tài)分布 通?？捎闷栠d 檢驗法 并不是所有的考試成績都會服從正態(tài)分布 有時也出現(xiàn)偏態(tài)分布 在試題難度大 學(xué)生學(xué)習(xí)不努力 的情況下 出現(xiàn)正偏態(tài)分布 指大多數(shù)學(xué)生成績偏低 在試題難度偏低 教學(xué)質(zhì)量較好或評分較寬松的情況 下 出現(xiàn)負(fù)偏態(tài)分布 指大多數(shù)學(xué)生成績偏高 2 試卷的質(zhì)量指標(biāo) 根據(jù) 教育測量學(xué) 評價試卷質(zhì)量的指標(biāo)主要有效度 難度 信度 區(qū)分度和覆蓋度 一份好的試卷應(yīng) 是難度適中 區(qū)分度較大 能分辨出學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況 并且具有較高的信度 效度和覆蓋度 2 1 效度 效度是試卷質(zhì)量中最基本的指標(biāo) 是考試結(jié)果的正確性程度 是衡量試卷能否準(zhǔn)確測出學(xué)生在某一學(xué) 科上真實水平的量 但往往被測對象在某一學(xué)科上的真實水平是無法通過一份試卷直接測量的 因此我 們就不在此多作解析 2 2 難度 難度是衡量試卷各題難易程度的質(zhì)量指標(biāo) 是反映試卷與學(xué)生知識水平適合度的一個量 即指一次 21 收稿日期 2006 01 30 作者簡介 方政蕊 1978 女 漢族 助教 第25卷2期 南平師專學(xué)報 Vol 25 No 2 2006年4月 JOURNAL OF NANPING TEACHERS COLL EGE Apr 2006 考試中未答對某道試題的考生數(shù)在其總體中所占的比例 顯然試卷各題的難度可以用該題的平均失分和 該題滿分之比來度量 即如果用Hi表示第i題的難度 Wi表示第i題的滿分值 xi表示被測對象第i題的 平均得分 則用公式Hi 1 xi Wi來表示試卷的難度 難度最大為 1 最小為0 試卷的命題過難過偏 會造 成考生成績過低 命題過易 沒有達(dá)到教學(xué)大綱所規(guī)定的目標(biāo) 會使考生很容易得高分 不但不能區(qū)別學(xué)生 學(xué)習(xí)的優(yōu)劣 而且也不能暴露出教學(xué)上的問題所在 因此合理的難度分配是一套高質(zhì)量試題的重要方面 全套平均難度應(yīng)控制在0 5附近 一般難 中 易的比例應(yīng)為20 60 20 把握適當(dāng)?shù)脑囶}難度很重要 試題的難度直接影響考試成績的分布形態(tài)和離散度 如試題過難優(yōu)秀 生和差生均不會回答 考試成績偏低 呈正偏態(tài)分布 反之 試題過易優(yōu)秀生和差生均會回答 考試成績偏 高 呈負(fù)偏態(tài)分布 下面是本人對南平師專2005級機(jī)電一體化專業(yè)高等數(shù)學(xué)期末考試試卷難度作的分析 表1 高等數(shù)學(xué)期末考成績難度分析一覽表 題號一二三四五六七八九 分值151548810151213 平均分10 14510 41983 31304 38934 84735 97719 00767 51916 8397 難度值0 32370 30530 17180 45130 39410 52000 39950 37340 4739 對于本次試卷難度的分析表可以看出難度 0 5的偏難 題為第六題 這一題是考導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 幾乎覆蓋整個章節(jié)的內(nèi)容 大部分學(xué)生只答對一部分 得分較低 本 試卷總體平均難度為0 3754 難題和較難題僅占11 1 說明試題總體偏容易 2 3 信度 信度是試卷質(zhì)量中的重要指標(biāo) 信度指的是測量結(jié)果的穩(wěn)定性或可靠性的程度 亦即測量的結(jié)果是否 真實 客觀地反映了考生的實際水平 我們把一份試卷對同一對象前后測試結(jié)果的相關(guān)程度稱為試卷的信 度 信度可以用前后測試結(jié)果的相關(guān)系數(shù)來度量 信度按其估計方法分為 再測信度 等價形式 信度 分半信度 系數(shù)法 分半法雖然是求試卷信度的 常用方法 但由于分半法的分法多種多樣 因此所得的信度的估計值常有差異 在此我們利用系數(shù)法來來 求解試卷的信度 用克朗巴赫系數(shù)計算公式 a n n 1 1 i2 2 其中 i2為第i題的測試方差 2為試卷測試的方差 n為試卷題目的個數(shù) 試卷的信度最大值為1 最小 值為 1 顯然一份質(zhì)量好的試卷 應(yīng)具有較高的信度 對高等數(shù)學(xué)試卷的信度作分析如下 標(biāo)準(zhǔn)差 1 n n i 1 x ij xj x i表示被測對象第i題的平均得分 xj表示第j題的得分 n表示學(xué)生人 數(shù) 表2 高等數(shù)學(xué)期末考各題標(biāo)準(zhǔn)差一覽表 題號一二三四五六七八九 標(biāo)準(zhǔn)差2 73682 68990 81727 81462 48392 23304 02293 16683 5042 i2 2 73682 2 68992 0 81722 7 81462 2 48392 2 23302 4 02292 3 16682 3 50422 126 1093 a n n 1 1 i2 2 9 8 1 126 1093 290 4298 0 6365 有許多種因素可影響考試的信度 首先是試卷的難度和題量 題目的難度過高或過低 都會造成考試 31 方政蕊 數(shù)學(xué)試卷質(zhì)量分析的數(shù)理統(tǒng)計方法淺議 分?jǐn)?shù)的分布變窄 降低試卷的信度 而加大題量可提高試卷的信度 其次是考場的紀(jì)律松緊 學(xué)生對待考試 的態(tài)度 考試本身的重要程度等可影響考生的緊張度和發(fā)揮的因素及考前是否有老師復(fù)習(xí)或答疑 上述因 素均可影響試卷的信度 考試的信度要求校內(nèi)自行考試一般不低于0 60 有人提出 O 50 標(biāo)準(zhǔn)化考試 要求 0 90 本次試卷的信度系數(shù)為0 6365 對于自編試題 此信度系數(shù)能較好地反映學(xué)生掌握知識的 程度 2 4 區(qū)分度 區(qū)分度是衡量試卷各題在區(qū)別測試對象不同水平程度上的指標(biāo) 它反映試題對考生水平的鑒別能力 該值可用于衡量每一試題在多大程度上能測出整個考試所要衡量的知識 技術(shù)或能力 如果每道題學(xué)習(xí) 好的同學(xué)得分高 學(xué)習(xí)差的同學(xué)得分低 說明該試題的區(qū)分度高 反之 如果每道題學(xué)習(xí)好的同學(xué)和學(xué)習(xí)差 的同學(xué)得分差不多 則區(qū)分度低 如果難題學(xué)習(xí)好的不會做 而學(xué)習(xí)差的會做 則為偏題 怪題 這時區(qū)分 度為負(fù)值 我們用E表示數(shù)學(xué)期望 為試卷得分的標(biāo)準(zhǔn)差 i為第i題得分的標(biāo)準(zhǔn)差 Di為第i題的區(qū) 分度 則有計算區(qū)分度公式Di E xi Exi x Ex i Di值越大 區(qū)分度越高 區(qū)分度指數(shù)的范圍在 1至 1之間 根據(jù)艾伯爾提出的評價標(biāo)準(zhǔn) Di 0 4 質(zhì)量非常好 0 3 Di 0 39 質(zhì)量良好 0 20 Di 0 29 質(zhì)量尚可 但仍需修改 Di 0 20 質(zhì)量差 必須淘汰 對試卷的區(qū)分度作分析得出下表中所列結(jié)果 表3 高等數(shù)學(xué)期末考成績區(qū)分度一覽表 17 0420 題號一二三四五六七八九 標(biāo)準(zhǔn)差2 73682 68990 81727 81462 48392 23304 02293 16683 5042 協(xié)方差19 6537 20 25504 027785 0139 20 0844 21 3217 47 5301 31 5353 37 8148 區(qū)分度0 42140 44170 28920 63840 47450 56030 69330 58430 6332 區(qū)分度是試題質(zhì)量的另一重要方面 由上表可見區(qū)分度是以測試對象在該題上的得分與試卷總得分 的相關(guān)系數(shù)來度量的 我們可以看出它的值介于0 1之間 沒有出現(xiàn)負(fù)值 雖然在同一份試卷內(nèi)其各題 的區(qū)分度有明顯的差距 但總體上還是比較合理的 基本能區(qū)分學(xué)生的實際水平 總體看來本套試卷的質(zhì) 量屬于良好 2 5 覆蓋度 試卷的覆蓋度 是基于試卷的覆蓋面程度 根據(jù)教育學(xué)的觀點(diǎn) 學(xué)生能力的差異主要反映在知識面和 知識的積累上 試題質(zhì)量的四個指標(biāo)與試題的覆蓋面有密切關(guān)系 覆蓋面大 指標(biāo)的性能較好 覆蓋面小 指標(biāo)的性能較差 通常用各題目之間的相關(guān)系數(shù)矩陣rij表示覆蓋面的大小 其中 rij 1 n N k 1 x ki xi x kj xi si sj xki表示第k個學(xué)生第i題的得分 si表示第i題的得分的均方差 xi表示考生在第i題上所得的分?jǐn)?shù)平均 值 N表示考生數(shù) 試卷的覆蓋面越廣 則各題之間的交叉相關(guān)性就越小 反之 則越大 相關(guān)系數(shù)矩陣 的實質(zhì)就是反映試題的覆蓋面大小的 通常以rij 0 2為覆蓋面大 覆蓋面大試卷有效性就高 一份好的試卷其試題的選擇一定要有覆蓋面 對課程的主要內(nèi)容一定要覆蓋到 這樣的抽樣才具有代 表性 3 幾個指標(biāo)之間的關(guān)系 3 1 信度 難度與區(qū)分度的關(guān)系 測驗的信度是反映測驗穩(wěn)定性和可靠性的指標(biāo) 如果試題的難度值小 試題過難 則造成考生答題時 猜測的可能性大 這就引起測驗的不穩(wěn)定性 因此 一份試卷中過難的題目越多 考生猜測答題的可能性越 大 試卷的信度越低 而如果一份試卷中過易的題目占較大比例 又會造成考生得分容易 從而使得分?jǐn)?shù)的 離差偏小 也使信度偏低 因此 一份試卷中難度適中的題應(yīng)占比較大的比例 適當(dāng)搭配較難 過難 較易 過易的題目 將取得好的信度 區(qū)分度是指測驗對考生實際水平的區(qū)分程度 區(qū)分度越高 越能反映考生 41 南平師專學(xué)報 2006年第2期 之間的水平差異 使優(yōu)等生 差等生越能真實地體現(xiàn)自己的水平 因此 區(qū)分度高的試卷的信度大 3 2 難度與區(qū)分度的關(guān)系 試卷的難度和區(qū)分度是兩個不同的概念 但兩者存在著一定的聯(lián)系 難度的高低直接影響考生的得 分 難度過高或過低的試題 或試卷 考生的得分都比較集中 從而使區(qū)分度降低 難度適中的試題 或試 卷 不同水平的考生將有較大差異的得分反應(yīng) 從而有較高的區(qū)分度 4 結(jié)論 由上面的幾個表的分析我們得出以下幾個結(jié)論以供參考 1 對于學(xué)生方面我們可以看出學(xué)生可能對于所學(xué)的課程的學(xué)習(xí)方法 學(xué)習(xí)動機(jī)不明確 對本課程的 基礎(chǔ)知識不牢固 報有一種 六十分萬歲 多一分浪費(fèi) 的思想 2 對于老師方面在教學(xué)工作中應(yīng)更多采用啟發(fā)式教學(xué)方法 使學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法 適當(dāng)增加試 題難度 進(jìn)一步提高試題質(zhì)量 嘗試建立高等數(shù)學(xué)考試題庫 不斷將區(qū)分度差的試題淘汰出局 將新的好試 題補(bǔ)充進(jìn)來 從而建立科學(xué)規(guī)范的試題庫 3 從對試卷的難度和學(xué)生的考試成績也可反應(yīng)出學(xué)校的學(xué)習(xí)風(fēng)氣和學(xué)生的素質(zhì) 綜上所述 對試卷進(jìn)行科學(xué)化的評價和量化分析 是提高試卷質(zhì)量 試題科學(xué)性與客觀性的重要途徑 之一 其根本目的是為了提高命題的質(zhì)量和科學(xué)性 因此作為教師都必須加強(qiáng)有關(guān)考試?yán)碚摵头椒ǖ膶W(xué) 習(xí) 掌握命題的技巧 學(xué)習(xí)有關(guān)試卷評價的方法 為逐漸形成考試的標(biāo)準(zhǔn)化體系作好試題的篩選和積累工 作 總之 我們應(yīng)當(dāng)不斷的總結(jié)經(jīng)驗 找出差距 改進(jìn)工作 充分發(fā)揮考試這一指揮捧在保證教學(xué)效果 提 高教學(xué)質(zhì)量方面的調(diào)控作用 參考文獻(xiàn) 1 駱振華 概率統(tǒng)計簡明教程 M 廈門大學(xué)出版社 1990 2 蕭樹鐵 數(shù)學(xué)實驗 M 高等教育出版社 1999 3 崔怡 MATLAB5 3實例詳解 M 工業(yè)出版社 1999 4 繆銓生 概率與數(shù)理統(tǒng)計 M 華東師范大學(xué)出版社 2000 5 郭述平 王景英 教育測量 M 長春 東北師范大學(xué)出版社 1987 下接第46頁 過錯 參考文獻(xiàn) 1 大哉 言數(shù) 馬志明院士 訪談錄 2004 2 5 元宵節(jié) 中央電視臺 科教頻道 CCTV 10 2 葉球?qū)O n位變進(jìn)數(shù)的研究與應(yīng)用 M 第三屆中南模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)術(shù)大會論文集 中國氣象 出版社 1995 10 Research Research Application On the Variable Carrying Numbers IEEE Internati