剛體轉動慣量計算方法.doc

剛體繞軸轉動慣性的度量。其數(shù)值為J= mi*ri2， 式中mi表示剛體的某個質點的質量，ri表示該質點到轉軸的垂直距離。 ；求和號（或積分號）遍及整個剛體。轉動慣量只決定于剛體的形狀、質量分布和轉軸的位置，而同剛體繞軸的轉動狀態(tài)（如角速度的大?。o關。規(guī)則形狀的均質剛體，其轉動慣量可直接計得。不規(guī)則剛體或非均質剛體的轉動慣量，一般用實驗法測定。轉動慣量應用于剛體各種運動的動力學計算中。 描述剛體繞互相平行諸轉軸的轉動慣量之間的關系，有如下的平行軸定理：剛體對一軸的轉動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質心之軸的轉動慣量加上該剛體的質量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項恒大于零，因此剛體繞過質量中心之軸的轉動慣量是繞該束平行軸諸轉動慣量中的最小者。 還有垂直軸定理：垂直軸定理 一個平面剛體薄板對于垂直它的平面軸的轉動慣量，等于繞平面內與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉動慣量之和。 表達式:Iz=Ix+Iy 剛體對一軸的轉動慣量，可折算成質量等于剛體質量的單個質點對該軸所形成的轉動慣量。由此折算所得的質點到轉軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉半徑，其公式為_，式中M為剛體質量；I為轉動慣量。 轉動慣量的量綱為L2M，在SI單位制中，它的單位是kgm2。 剛體繞某一點轉動的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉動慣量的大小。 補充對轉動慣量的詳細解釋及其物理意義： 先說轉動慣量的由來，先從動能說起大家都知道動能E=(1/2)mv2，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統(tǒng)（選定一個參考系）運動的實際能量，（P勢能實際意義則是物體相對某個系統(tǒng)運動的可能轉化為運動的實際能量的大?。?。 E=(1/2)mv2 （v2為v的2次方） 把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個質點，質點與運動整體的重心的距離為r,而再把不同質點積分化得到實際等效的r) 得到E=(1/2)m(wr)2 由于某一個對象物體在運動當中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關于m、r的變量用一個變量K代替, K=mr2 得到E=(1/2)Kw2 K就是轉動慣量，分析實際情況中的作用相當于牛頓運動平動分析中的質量的作用，都是一般不輕易變的量。 這樣分析一個轉動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運動角度分析轉動問題。 為什么變換一下公式就可以從能量角度分析轉動問題呢？ 1、E=(1/2)Kw2本身代表研究對象的運動能量 2、之所以用E=(1/2)mv2不好分析轉動物體的問題，是因為其中不包含轉動物體的任何轉動信息。 3、E=(1/2)mv2除了不包含轉動信息，而且還不包含體現(xiàn)局部運動的信息，因為里面的速度v只代表那個物體的質 心運動情況。 4、E=(1/2)Kw2之所以利于分析，是因為包含了一個物體的所有轉動信息，因為轉動慣量K=mr2本身就是一種積 分得到的數(shù)，更細一些講就是綜合了轉動物體的轉動不變的信息的等效結果K= mr2 （這里的K和上樓的J一樣） 所以，就是因為發(fā)現(xiàn)了轉動慣量，從能量的角度分析轉動問題，就有了價值。 若剛體的質量是連續(xù)分布的，則轉動慣量的計算公式可寫成K= mr2=r2dm=r2dV 其中dV表示dm的體積元，表示該處的密度，r表示該體積元到轉軸的距離。 補充轉動慣量的計算公式 轉動慣量和質量一樣，是回轉物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性，用字母J表示。 對于桿： 當回轉軸過桿的中點并垂直于軸時；J=mL2/12 其中m是桿的質量，L是桿的長度。 當回轉軸過桿的端點并垂直于軸時：J=mL2/3 其中m是桿的質量，L是桿的長度。 對與圓柱體： 當回轉軸是圓柱體軸線時；J=mr2/2 其中m是圓柱體的質量，r是圓柱體的半徑。 轉動慣量定理： M=J 其中M是扭轉力矩 J是轉動慣量 是角加速度 例題： 現(xiàn)在已知：一個直徑是80的軸，長度為500，材料是鋼材。計算一下，當在0.1秒內使它達到500轉/分的速度時所需要的力矩？ 分析：知道軸的直徑和長度，以及材料，我們可以查到鋼材的密度，進而計算出這個軸的質量m，由公式=m/v可以推出m=v=r2L. 根據(jù)在0.1秒達到500轉/分的角速度，我們可以算出軸的角加速度=/t=500轉/分/0.1s 電機軸我們可以認為是圓柱體過軸線，所以J=mr2/2。 所以M=J =mr2/2/t =r2hr2/2/t =7.8*103 *3.14* 0.042 * 0.5 * 0.042 /2 * 500/60/0.1 =1.2786133332821888kg/m2 單位J=kgm2/s2=N*m剛體對軸轉動慣量的計算一、轉動慣量及回轉半徑在第一節(jié)中已經知道，剛體對某軸z的轉動慣量就是剛體內各質點與該點到z軸距離平方的乘積的總和，即。如果剛體質量連續(xù)分布，則轉動慣量可寫成 （18-11）由上面的公式可見，剛體對軸的轉動慣量決定于剛體質量的大小以及質量分布情況，而與剛體的運動狀態(tài)無關，它永遠是一個正的標量。如果不增加物體的質量但使質量分布離軸遠一些，就可以使轉動慣量增大。例如設計飛輪時把輪緣設計的厚一些，使得大部分質量集中在輪緣上，與轉軸距離較遠，從而增大轉動慣量。相反，某些儀器儀表中的轉動零件，為了提高靈敏度，要求零件的轉動慣量盡量小一些，設計時除了采用輕金屬、塑料以減輕質量外，還要盡量將材料多靠近轉軸。工程中常把轉動慣量寫成剛體總質量M與某一當量長度的平方的乘積 （18-12）稱為剛體對于z軸的回轉半徑（或慣性半徑），它的意義是，設想剛體的質量集中在與z軸相距為的點上，則此集中質量對z軸的轉動慣量與原剛體的轉動慣量相同。具有規(guī)則幾何形狀的均質剛體，其轉動慣量可以通過計算得到，形狀不規(guī)則物體的轉動慣量往往不是由計算得出，而是根據(jù)某些力學規(guī)律用實驗方法測得。二、簡單形狀物體轉動慣量的計算1. 均質細直桿如圖18-7所示，設桿長為l，質量為M。取桿上微段dx，其質量為，則此圖18-7桿對zc軸的轉動慣量為對應的回轉半徑2. 均質細圓環(huán)如圖18-8所示均質細圓環(huán)半徑為R，質量為M。任取圓環(huán)上一微段，其質量為，則對z軸的轉動慣量為圖18-8對應的回轉半徑3. 均質薄圓盤如圖18-9所示均質圓盤半徑為R，質量為M。在圓盤上取半徑為r的圓環(huán)，則此圓環(huán)的質量為，則圖18-9對z軸的轉動慣量為對應的回轉半徑常見簡單形狀的均質物體對通過質心轉軸的轉動慣量及回轉半徑可由表18-1或機械設計手冊中查得。表18-1 均質簡單形體的轉動慣量(m表示形體的質量)形體轉動慣量回轉半徑 三、平行移軸定理機械設計手冊給出的一般都是物體對于通過質心的軸（簡稱質心軸）的轉動慣量，而有時需要物體對于與質心軸平行的另一軸的轉動慣量。平行移軸定理闡明了同一物體對于上述兩軸的不同轉動慣量之間的關系。設剛體的質心為C，剛體對過質心的軸z的轉動慣量為，對與z軸平行的另外一軸z的轉動慣量為，兩軸間的距離為d，如圖18-10所示。分別以C、O兩點為原點建立直角圖18-10坐標系Cxyz和Oxyz，由圖可見其中代入得因質心C是坐標系Cxyz的坐標原點，故，又，所以上式簡化為 （18-13）上式表明：物體對于任一軸z的轉動慣量，等于物體對平行于z軸的質心軸的轉動慣量，加上物體質量與兩軸間距離平方的乘積。這就是轉動慣量的平行移軸定理。由公式（18-13）可知，在一組平行軸中，物體對于質心軸的轉動慣量為最小。例18-3 鐘擺簡化力學模型如圖18-11所示，已知均質桿質量m1、桿長l，圓盤質量m2、半徑R，求鐘擺對水平軸O的轉動慣量。圖18-11解 擺對水平軸O的轉動慣量等于桿1和圓盤2對軸O的轉動慣量之和，即由轉動慣量平行移軸定理