2019-2020學(xué)年合肥市廬陽區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年安徽省合肥市廬陽區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1直線的傾斜角為( )ABCD【答案】D【解析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系，即可求解.【詳解】化為，直線的斜率為，傾斜角為.故選:D.【點睛】本題考查直線方程一般式化為斜截式，求直線的斜率、傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.2給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；存在每個面都是直角三角形的四面體；若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是( )ABCD【答案】C【解析】根據(jù)圓柱母線定義，錯誤；可以舉例說明滿足條件的三棱錐存在，正確；根據(jù)線線垂直關(guān)系，可證三側(cè)面兩兩垂直，正確；根據(jù)棱臺的定義，判斷錯誤.【詳解】圓柱的母線與上下底面垂直，而圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定垂直底面，錯誤；如圖正方體中，三棱錐，因為平面，所以，因為平面，所以，四個面都是直角三角形，正確；三棱錐中，平面，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，同理平面平面，所以三個側(cè)面兩兩互相垂直，正確；根據(jù)棱臺是由棱錐被平行底面的平面所截，截面和底面相似，而側(cè)棱不一定相等，錯誤.故選:C.【點睛】本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查線線、面面垂直的判定，注意空間垂直的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.3一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD（如圖所示），若，則這個平面圖形的面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】在直觀圖中，ABC=45，AB=AD=1，DCBCAD=1，BC=1+，原來的平面圖形上底長為1，下底為1+，高為2，平面圖形的面積為2=2+故選：B4已知直線平面，直線平面，有下列四個結(jié)論，其中正確結(jié)論是：( )；.A與B與C與D與【答案】B【解析】由面面平行的性質(zhì)和線面垂直的定義，可判斷的真假；由線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及空間關(guān)系，可判斷的真假；由線面垂直的判定定理，及面面垂直的判定定理，可判斷的真假；根據(jù)線面垂直、線線垂直的定義及幾何特征，可判斷的真假.【詳解】過直線做一平面，平面，正確；直線平面，若，則與可能平行，異面也可能相交，錯誤；直線平面，若，則平面，平面，正確；直線平面，若，則或，則與平行或相交，錯誤.故選:B.【點睛】本題以空間線面關(guān)系的判定為載體，考查了空間線面垂直，線面平行，面面垂直及面面平行的判定及性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于中檔題.5在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（ ）AB且C且D且【答案】D【解析】試題分析：結(jié)合其空間立體圖形易知，所以且，故選D【考點】空間直角坐標(biāo)系及點的坐標(biāo)的確定，正投影圖形的概念，三角形面積公式6已知直線和互相平行，則( )ABC，D，【答案】B【解析】由或重合直線方程的系數(shù)關(guān)系，求出，再代入直線方程驗證，排除重合，即可求解.【詳解】若或重合，即，解得或，當(dāng)時，重合，不合題意，舍去；當(dāng)，此時.故選:B.【點睛】本題考查直線的位置關(guān)系，要明確直線一般式方程與位置關(guān)系的充要條件，屬于中檔題.7一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）ABCD【答案】A【解析】由三視圖可知：該幾何體為三棱錐PABC，過點P作PD底面ABC，垂足D在AC的延長線上，且BDAD由題中數(shù)據(jù)及錐體體積公式即可得出【詳解】由三視圖可知：該幾何體為三棱錐（如圖），過點作底面，垂足在的延長線上，且，該幾何體的體積.故選A.【點睛】本題考查了三棱錐的三視圖、體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題8已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為( )ABCD【答案】A【解析】根據(jù)已知條件將直三棱柱補成長方體，作出異面直線所成的角，通過解三角形，即可求解.【詳解】如圖，將三棱柱補成以為鄰邊的長方體，連，在長方體中，所以四邊形是平行四邊形，所以（或補角）為異面直線與所成角，所以，取中點連，則，.故選:A.【點睛】本題考查異面直線所成的角，將幾何體補成特殊的圖形是解題的關(guān)鍵，用幾何法求空間角，要先作再證后計算，屬于中檔題.9已知圓，直線l：，若圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，則b的取值范圍為 ABCD【答案】D【解析】圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，所以圓心到直線l：的距離小于1，利用點到直線距離求出b的取值范圍.【詳解】因為圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，所以圓心到直線l：的距離小于1，因此有，故本題選D.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想.10設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】試題分析：因為直線與圓相切,所以，即，所以，所以的取值范圍是?！究键c】圓的簡單性質(zhì)；點到直線的距離公式；基本不等式。點評：做本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用基本不等式，注意基本不等式應(yīng)用的前提條件：一正二定三相等。11在平面直角坐標(biāo)系中，若圓與直線交于，兩點，且，求的值為( )A，B，CD【答案】C【解析】將圓方程與直線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系，得出關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，即可求解.【詳解】由，消去得，設(shè)，此時.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓的相交問題，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求，方程思想是解題的關(guān)鍵，考查垂直關(guān)系的運用，屬于中檔題.12如圖，在三棱錐中，兩兩互相垂直，點，分別在側(cè)面、棱上運動，為線段中點，當(dāng)，運動時，點的軌跡把三棱錐分成上、下兩部分的體積之比等于( )ABCD【答案】A【解析】，兩兩互相垂直，可證平面平面，若重合，,若不重合，則，點的軌跡以為球心，半徑為的球面被三棱錐三個側(cè)面所截的球面的，分別求出三棱錐體積、球的體積，即可求解.【詳解】，兩兩互相垂直，所以平面，平面，若重合，,點軌跡是以為圓心半徑為在平面上的圓弧，若不重合，則，當(dāng)在或上移動時，的軌跡是以為圓心半徑為1分別在平面上或平面上的圓弧，當(dāng)在平面內(nèi)移動時，點的軌跡是夾在上面三個圓弧之間的球面上的點，該部分為球面的，球面的上部分體積為，所以上下兩部分體積比為.故選:A.【點睛】本題考查棱錐的體積以及球的體積，其中判斷出點軌跡是在以為球心1為半徑的球面上是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.二、填空題13過點的直線與軸、軸分別交于、兩點，若恰為線段的中點，則直線的方程為_.【答案】【解析】根據(jù)條件以及中點坐標(biāo)公式可得，即可求解.【詳解】過點的直線與軸、軸分別交于、兩點，恰為線段的中點，則，所以方程為，即.故答案為: .【點睛】本題考查求直線方程，屬于基礎(chǔ)題.14在梯形中，.將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_.【答案】【解析】畫出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為2的圓柱，挖去一個相同底面高為1的倒圓錐，幾何體的體積為：故答案為：【點睛】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵15在三棱錐中，平面，且三棱錐的最長的棱長為，則此三棱錐的外接球體積為_.【答案】【解析】根據(jù)題意可得，平面，所以，得出為三棱錐的最長邊，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，邊的中點到三棱錐的各頂點距離都相等，所以為球心，球直徑即為.【詳解】平面，平面，,平面，所以三棱錐中最長邊為，設(shè)中點為，在中，所以三棱錐的外接球的球心為，半徑為.故答案為:.【點睛】本題考查幾何體的“切”“接”球問題，確定球心是解題的關(guān)鍵，考查空間垂直的應(yīng)用，屬于中檔題.16已知直線交圓于，兩點，則的取值范圍為_.【答案】【解析】轉(zhuǎn)化為，表示，兩點到直線的距離和，設(shè)中點為，則到直線的距離和為點到直線距離和的2倍，只需求出點到直線距離范圍，根據(jù)已知條件求出點的軌跡，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)中點為，圓，圓心，化為，過定點，所以由，所以點的軌跡為以為直徑的圓在圓內(nèi)的圓弧，其方程為，聯(lián)立，解得，所以的軌跡為，圓心到直線的距離為，過與直線垂直的直線方程為，與圓的交點為，在點軌跡上，不在點軌跡上，所以到直線距離的最大值為，點到直線的距離為，設(shè)點到直線的距離為，.故答案為:.【點睛】本題考查直線與圓的關(guān)系，考查相交弦的中點軌跡，要注意軌跡的范圍，考查圓弧上點到直線的距離，解題的關(guān)鍵要利用點到直線的距離的幾何意義，屬于較難題.三、解答題17已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點.（1）求圓的標(biāo)準方程；（2）過點的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)的中點為，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，由直線的點斜式方程分析可得答案，設(shè)圓的標(biāo)準方程為，由圓心的位置分析可得的值，進而計算可得的值，據(jù)此分析可得答案；（2）設(shè)為的中點，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)的中點為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，得，所以線段的垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡得，所以圓心，所以圓的標(biāo)準方程為；（2）由（1）設(shè)為中點，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程，此時，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18如圖所示，四棱錐中，底面為正方形，平面，分別為、的中點（1）求證：/平面；（2）求三棱錐的體積【答案】(1)見解析；(2) .【解析】【詳解】(1) 取的中點,連接,由于,所以,即四點共面.根據(jù)三角形的中位線得,所以平面.(2)由于平面,所以,而,所以平面,故.【點睛】本小題主要考查空間直線與平面平行的證明,考查空間幾何體體積的求法,考查了平面延伸的方法.由于平面范圍較小,故需要將平面擴展開來,擴展的方法就是構(gòu)造線線平行來擴展,即利用來擴展這個平面,再結(jié)合三角形的中位線即可證得線面平行.19 已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，的角平分線所在直線方程為（I）求頂點的坐標(biāo)；（II）求直線的方程【答案】（1）.（2）.【解析】分析：（I）設(shè)頂點的坐標(biāo)為；由頂點在直線上，所以 在直線上， 列方程組求解即可；（II）設(shè)頂點關(guān)于直線的對稱點為，根據(jù)中點在對稱軸上,以及直線垂直斜率之積為，列方程組求得的值，利用兩點式可得結(jié)果.詳解：（I）設(shè)頂點的坐標(biāo)為；因為頂點在直線上，所以 由題意知的坐標(biāo)為，因為中點在直線上，所以，即； 聯(lián)立方程組，解得頂點的坐標(biāo)為 （II）設(shè)頂點關(guān)于直線的對稱點為，由于線段的中點在在直線上，得方程，即 由直線與直線垂直，得方程，即； 聯(lián)立方程組，得 顯然在直線上，且頂點的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，整理得.點睛：本題主要考查直線的方程以及解析幾何中的軸對稱問題，屬于中檔題. 解析幾何中點對稱問題，主要有以下三種題型：（1）點關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線的對稱點，利用，且 點 在對稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對稱，利用已知直線與對稱軸的交點以及直線上特殊點的對稱點（利用（1）求解），兩點式求對稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.20如圖1，矩形中，、分別為、邊上的點，且，將沿折起至位置（如圖2所示）連結(jié)、，其中.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）由已知條件求出，在中，用勾股定理的逆定理可證，即可證明結(jié)論；（2）過作交于，結(jié)合（1）可證，可得為二面角平面角，解直角，即可求解.【詳解】(1)連結(jié)，由翻折不變性可知：，在中：，在圖1中利用勾股定理得：，在中：，又，平面，平面，平面；(2)解：由(1)知平面，過作交于，則面.，為所求二面角的平面角.又，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，注意條件中隱含垂直關(guān)系的挖掘，考查求空間角，要體現(xiàn)“作”“證”“算”三步驟，屬于中檔題.21如圖，三棱錐中，平面，點，分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)是線段上的點，且平面.確定點的位置；求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)為靠近的的一個三等分點；.【解析】（1）由已知條件可證，即可證明結(jié)論；（2）連結(jié)，交于，則是的重心，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可證，結(jié)合重心的性質(zhì)，即可確定點位置；作于，有，從而有平面，得到是直線與平面所成的角，解直角，即可得出結(jié)論.【詳解】(1)，為中點，平面，平面，平面.(2)連結(jié)，交于，則是的重心，且，平面，平面，平面平面，即為靠近的的一個三等分點.作于，則，平面，是直線與平面所成的角，且，直線與平面所成角的正弦值是.【點睛】本題考查線面垂直的證明，以及線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間角，要注意角“作”“證”不要遺漏，屬于中檔題.22已知圓，直線的方程為，點是直線上一動點，過點作圓的切線、，切點為、.(1)當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為時，求的大??；(2)求四邊形面積的最小值；(3)求證：經(jīng)過、三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，【解析】（1）由已知求出