二次函數(shù)和根與系數(shù)的關(guān)系.doc

例1：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x22mx+m2+m的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y=kx+1的圖象交于兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1x2）（1）當(dāng)k=1，m=0，1時(shí)，求AB的長；（2）當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，猜想AB的長是否不變？并證明你的猜想（3）當(dāng)m=0，無論k為何值時(shí)，猜想AOB的形狀證明你的猜想（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）解：（1）當(dāng)k=1，m=0時(shí)，如圖由得x2x1=0，x1+x2=1，x1x2=1，過點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)C直線AB的解析式為y=x+1，BAC=45，ABC是等腰直角三角形，AB=AC=|x2x1|=；同理，當(dāng)k=1，m=1時(shí)，AB=；（2）猜想：當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，AB的長不變，即AB=理由如下：由，得x2（2m+1）x+m2+m1=0，x1+x2=2m+1，x1x2=m2+m1，AB=AC=|x2x1|=；（3）當(dāng)m=0，k為任意常數(shù)時(shí)，AOB為直角三角形，理由如下：當(dāng)k=0時(shí)，則函數(shù)的圖象為直線y=1，由，得A（1，1），B（1，1），顯然AOB為直角三角形；當(dāng)k=1時(shí)，則一次函數(shù)為直線y=x+1，由，得x2x1=0，x1+x2=1，x1x2=1，AB=AC=|x2x1|=，AB2=10，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+21+2=10，AB2=OA2+OB2，AOB是直角三角形；當(dāng)k為任意實(shí)數(shù)，AOB仍為直角三角形由，得x2kx1=0，x1+x2=k，x1x2=1，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2=（x1x2）2+（kx1kx2）2=（1+k2）（x1x2）2=（1+k2）（x1+x2）24x1x2=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2kk+2=k4+5k2+4，AB2=OA2+OB2，AOB為直角三角形如圖，已知拋物線y=x-4x+3，過點(diǎn)D(0，-)的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，與x軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)M、N與X軸交于E點(diǎn)，且M、N關(guān)于點(diǎn)E對稱，求直線MN的解析式。解：D(0,-) 設(shè)直線MN的解析式為y=kx- kx-= x-4x+3x-(4+k)x+=0+=-=4+k+=0=k(4+k)k=1或-5(舍)直線MN的解析式為y=x-1、 如圖，拋物線y=x22x3與坐標(biāo)軸交于A、B、三點(diǎn)，直線y=kx-1與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，且y軸平分PCQ的面積，求k的值。 （答案：k=-2）已知：二次函數(shù)的圖象交x軸于、兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，且。（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在過點(diǎn)D(0，)的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，與x軸交于點(diǎn)E，使得點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由。例2、已知拋物線y=0.25x22x5與x軸交A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，將直線m:y=0.75x-9向上平移，交拋物線于M、N。MN交y軸正半軸于點(diǎn) T，SMCT-SCNT=44，求直線m的解析式。如圖，拋物線y=x2，過Q（0，3）作直線l交拋物線于E、F，點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P，當(dāng)SPEF=12時(shí)，求E、F點(diǎn)的坐標(biāo)。如圖，拋物線y=x2+4x3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為M，將拋物線沿射線OM的方向平移，平移后的拋物線交x軸于點(diǎn)A1，B1，若2A1B14，求M移動(dòng)的最大距離.如圖，拋物線y=x2+3x+6交 y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C(4，k) 在拋物線上，將拋物線向右平移n個(gè)單位長度后與直線AC 交于M、 N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，求n的值。解：點(diǎn)A、C在拋物線y=-x+3x+6上 A(0,6) C(4,2) AC:y=-x+6拋物線y=-x+3x+6的頂點(diǎn)G(1.5,8.25)拋物線向右平移n個(gè)單位后，G點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)G坐標(biāo)為(1.5+n,8.25),設(shè)新拋物線解析式為y=-x-(1.5+n)+8.25聯(lián)立： x-(4+2n)x+n+3n=0 =4+2n點(diǎn)M、N關(guān)于C點(diǎn)中心對稱 =2 n=2、如圖，已知拋物線y=-x+2x+3與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)D、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)M、N是拋物線上兩點(diǎn)，且四邊形CMDN為平行四邊形，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)。解：點(diǎn)A、B、C在拋物線y=-x+2x+3上C(0,3) (-1,0) B(3,0) 點(diǎn)D、C關(guān)于原點(diǎn)對稱 D(,)四邊形CMDA是平行四邊形 CNMD且CN =MD設(shè)N(m,n) MN關(guān)于原點(diǎn)對稱 M(-m,-n)M、N在拋物線y=-x+2x+3上= =-(舍)n=2N(，2)M(-，-2)例3、如圖，拋物線y=（x1）213/4的頂點(diǎn)為A，與y軸的負(fù)半軸交于B點(diǎn)，將拋物線向下平移與直線AB相交C、D兩點(diǎn)，若BC+AD=AB,求平移后的拋物線的解析式.1、 拋物線y=x2/3+x/3,將直線y=0.5x向下平移n個(gè)單位長度，與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，若EOF=90，求n的值2、如圖，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C， P點(diǎn)為BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作BC的垂線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若四邊形BMCN的面積為12，求直線MN的解析式。如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)。（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由;（3）若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。-分隔線-解：拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線解析式為根據(jù)題意，得，解得拋物線的解析式為由得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對稱軸為x1。若以CD為底邊，則PDPC，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)勾股定理，得，即y4x。又P點(diǎn)(x,y)在拋物線上，即解得，應(yīng)舍去。EF，即點(diǎn)P坐標(biāo)為。若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x1對稱，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）。符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或（2，3）。由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理,得CB,CD,BDBCD90設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)E，過C作CMDE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F，在RtDCF中，CFDF1,CDF45,由拋物線對稱性可知，CDM24590,點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，3），DMBC,四邊形BCDM為直角梯形xyF-2-4-6ACEPDB521246G由BCD90及題意可知，以BC為一底時(shí)，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;不存在以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）。-分隔線-5、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）、B（6，-6）和原點(diǎn).（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若過點(diǎn)B的直線與拋物線相交于點(diǎn)C（2，m），請求出OBC的面積S的值.（3）過點(diǎn)C作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)D，在拋物線對稱軸右側(cè)位于直線DC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PF平行于y軸交x軸于點(diǎn)F，交直線DC于點(diǎn)E. 直線PF與直線DC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OFED（如圖），是否存在點(diǎn)P，使得OCD與CPE相似