圓錐曲線的應(yīng)用問題例析.doc

圓錐曲線的應(yīng)用問題例析江蘇省姜堰中學 張圣官 （225500）在教育部2003年頒布的普通高中數(shù)學課程標準中，特別提到要“發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識”，其中寫道：“高中數(shù)學在數(shù)學應(yīng)用和聯(lián)系實際方面需要大力加強”，“高中數(shù)學課程應(yīng)力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應(yīng)用意識，提高實踐能力?！彪S著新課程理念的深入，一些以圓錐曲線在生活和生產(chǎn)實際中的應(yīng)用為背景的應(yīng)用問題已經(jīng)開始進入了我們的教材，并在各種考試中嶄露頭角。下面就舉例說明圓錐曲線常見的幾類應(yīng)用題。1。圓錐曲線在建筑、工程中的應(yīng)用問題圓錐曲線因其方程簡單，線型多變美觀，且具有某些很好的力學性質(zhì)，因此在建筑、工程等方面有著廣泛的應(yīng)用。例1 在大西北的荒漠上A、B兩地相距2 km，現(xiàn)在準備在荒漠上圍成一片以AB為一條對角線的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長度為8 km，（1）問農(nóng)藝園的最大面積能達到多少？（2）該荒漠上有一條直水溝剛好經(jīng)過點A，且與AB成300角?，F(xiàn)要對整條水溝進行加固改造，但考慮到今后農(nóng)藝園內(nèi)的水溝要重新設(shè)計改造，因此對水溝可能被農(nóng)藝園圍進的部分暫時不加固。 圖1問暫時不加固的部分有多長？ 解：平行四邊形相鄰兩邊長之和為4 km，故另兩頂點C、D在以A、B為焦點的橢圓上。如圖1，以AB所在直線為x軸，以AB中垂線為y軸建立直角坐標系，則橢圓方程為 （1）（點C在短軸端點），農(nóng)藝園的最大面積為 。（2）直水溝的方程是，暫不加固部分即直線被橢圓所截弦長， 代入橢圓方程得，13x2+8x-32=0 弦長= 。例2（1997年上海高考試題）公園要建造一個圓形的噴水池。在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上的拋物線路徑如圖2所示。為了使水流形狀較為漂亮，設(shè)計成水流在到OA距離為1米處達到距離水面最大高度為2.25米。如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？ 圖2 解：建立如圖2所示直角坐標系，則水流呈現(xiàn)的拋物線方程為y=a(x-1)2+2.25 將A（0，1.25）代入得，a= -1，拋物線方程為y= - (x-1)2+2.25 。 令y=0得x=2.5，或x= -0.5（舍去） 水池的半徑至少要2.5米，才能使噴出的水流不落到池外。2。圓錐曲線在天文計算中的應(yīng)用問題許多天體運行的軌道都是圓錐曲線。我國的“神舟5號”飛船順利地實現(xiàn)了載人航天飛行，以及人造地球衛(wèi)星運行等都與圓錐曲線相關(guān)。例3 如圖3，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道，是以地心（地球的中心）F2為一個焦點的橢圓。已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439 km，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384 km，并且F2、A、B在同一直線上，地球半徑約為6371 km。求衛(wèi)星運行的軌道方程（精確到1 km）。解：建立直角坐標系，使A、B、F2在x軸上，F(xiàn)2為橢圓右焦點（記F1為左焦點） 設(shè)橢圓方程為， 圖3 則a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810 a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755 解得a=77825 , c=972.5 因此，衛(wèi)星的軌道方程是 。例4（1991年上海高考題）設(shè)有一顆彗星，沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于這拋物線的焦點處。當此彗星離地球d（萬千米）時，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為300。求這彗星與地球的最短距離。解：設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0) 設(shè)過焦點F且傾斜角為300的直線與拋物線相交于A、B兩點， 則|FA|=，|FB|=， 當時，；當時，。 故這彗星與地球的最短距離為或（萬千米）。3。圓錐曲線中與“聲速”等有關(guān)的應(yīng)用題科學家在對“聲速”等的研究中發(fā)現(xiàn)，可以利用圓錐曲線的方程來求解某些方位問題，它可以應(yīng)用在軍事及海洋研究中。例5 在相距800 m的A、B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差2 s，且聲速是340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程。解：以AB所在直線為x軸，以AB中垂線為y軸建立直角坐標系，設(shè)爆炸點P（x,y）， |PA|-|PB|=3402=680， P點軌跡為雙曲線，2a=680,2c=800 a=340,c=400, b2=c2-a2=44400 因此所求軌跡方程為 。例6 A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B的正東，相距6千米，C在B的北偏西300，相距4千米，P為敵炮兵陣地。某一時刻，A處發(fā)現(xiàn)敵炮兵陣地P的某心號，由于B、C兩地比A距P地遠，因此4秒后，B、C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號。該信號傳播速度為1千米/秒，現(xiàn)A若要炮擊P地，試求炮擊的方位角。解：如圖4，以AB所在直線為x軸，以AB中垂線為y軸建立直角坐標系，則B（-3，0），A（3，0），C（-5，） 圖4由于B、C同時發(fā)現(xiàn)信號，所以P在線段BC的中垂線PD：上，而|PB|-|PA|=4，故P又在以A、B為焦點的雙曲線上，將兩方程聯(lián)立，解得或（舍去），即P（8，），所以，即直線PA傾斜角為600，故A炮擊P的方位角應(yīng)為東偏北600。4。與圓錐曲線光學性質(zhì)相關(guān)的應(yīng)用問題有關(guān)橢圓、雙曲線、拋物線的光學性質(zhì)，數(shù)學新教材在其閱讀材料圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應(yīng)用中做了介紹。概括起來有以下三個有趣的光學性質(zhì)：從拋物線的焦點發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點。例7 如圖5，電影放映機上的聚光燈泡的反射鏡的軸截面是橢圓的一部分，燈絲在焦點F2處，其與反光鏡的頂點A的距離|F2A|=1.5cm，橢圓的通徑|BC|=5.4cm。為了使電影機片門獲得最強的光線，燈泡應(yīng)安在距片門多遠的地方？圖5分析：根據(jù)橢圓鏡面的光學性質(zhì)，從橢圓一個焦點射出的光線經(jīng)過橢圓反射后應(yīng)聚焦在另一焦點上，故片門應(yīng)放在另一焦點F1上。解：設(shè)焦距|F1F2|=2C，建立如圖1坐標系，則B（C，2.7）， 由橢圓定義知，|BF1|BF2|=2|OA|， 即燈泡應(yīng)安在距片門12cm處。例8 有一光源在雙曲線的右焦點上，光線從光源射出后，在雙曲線的右支的上半支的P點處反射，P點的橫坐標為，求入射光線和反射光線所在直線的方程。解：在雙曲線中，a=1，b=，c=2，左焦點F1（2，0），右焦點F2（2，0）， P（，y）在雙曲線右支上半支上，（y0），解得y=。入射光線F2P所在直線方程為y=。根據(jù)雙曲線的光學性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點F2發(fā)出，經(jīng)過靠近F2的雙曲線的一支反射后，其反射光線在另一焦點F1與反射點的連線延長線上，故反射光線經(jīng)過左焦點F1（2，0），反射光線所在直線方程為y=。例9 已知探照燈的軸截面是拋物線y2=x，如圖6所示，表示平行于軸y=0（即x軸）的光線于拋物線上的點P、Q的反射情況，設(shè)點P的縱坐標為a（a0）。問a取何值時，從入射點P到反射點Q的光線的路程PQ最短？分析：光源置于拋物鏡面的焦點處，光線經(jīng)拋物鏡面反射成一束平行光線射出，這是拋物線的光學性質(zhì)。因此入射光線與反射光線平行，說明PQ必過