弧度制及弧度制和角度制的換算.doc

弧度制的概念和換算總結(jié)要點1. 角度制與弧度制:這是兩種不同的度量角的制度.角度制是以“度”為單位;弧度制是以“弧度”為單位.2. 度與弧度的相互換算:100.01745弧度, 1弧度57018/.3. 在同一個式子中,兩種制度不能混用.如:與600終邊相同的角的集合不能表示為x|x=2k+600,kZ,正確的表示方法是x|x=2k+,kZ 或 x|x=k3600 +600,kZ 同步練習1. 若=3.2,則角的終邊在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2., ,其中終邊相同的角是 ( )(A) 和 (B) 和 (C) 和 (D) 和3. 若46,且與角的終邊相同,則=_.4.正三角形,正四邊形,正五邊形, 正六邊形, 正八邊形, 正十邊形, 正n邊形的一個內(nèi)角的大小分別_,_ ,_,_,_,_, _.(用弧度表示)5.把下列各角用另一種度量制表示. 1350 67030/ 2 1. 將下列各數(shù)按從小到大的順序排列.Sin40, sin, sin300, sin12. 把下列各角化成2k+（02,）的形式, 并求出在(2,4)內(nèi)和它終邊相同的角.(1); (2)6750.3. 若角的終邊與1680角的終邊相同,求在0,2內(nèi)終邊與角的終邊相同的角.練習四 弧度制(二)要點1. 弧長公式和扇形面積公式: 弧長公式 L=|r 扇形面積公式 S=Lr=|r2 其中是圓心角的弧度數(shù),L為圓心角所對的弧長,r為圓半徑.2. 無論是角度制還是用弧度制,都能在角的集合與實數(shù)集之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系,但用弧度制表示角時,容易找出與角對應(yīng)的實數(shù).同步練習1.半徑為5 cm的圓中,弧長為cm的圓弧所對的圓心角等于 ( ) (A)1450 (B) 1350 (C) (D) 2.將分針撥快10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是 ( ) (A) (B) (C) (D)3. 半徑為4 的扇形,基它的周長等于弧所在的半圓周的長,則這個扇形的面積是_.4. 已知一弧所對的圓周角為600,圓的半徑為10cm,則此弧所在的弓形的面積等于_.5. 已知扇形的周長為6cm,面積為2cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).6. 2弧度的圓心角所對的弦長為2,求這個圓心角所夾扇形的面積.7. 一條弦的長度等于其所在圓的半徑r.(1) 求這條弦所在的劣弧長;(2) 求這條弦和劣弧所組成的弓形的面積.【數(shù)學2】二、弧度制第一課時教學要求：1理解弧度制的意義，熟練掌握弧度制與角度制的互換教學過程： 1為什么要引入新的角的單位弧度制.（1）為了計算的方便，角度制單位、度、分、秒是60進制，計算不方便；（2）為了讓角的度量結(jié)果與實數(shù)一一對應(yīng).2弧度制的定義先復(fù)習角度制，即1度的角的大小是怎樣定義的.1弧度角的規(guī)定.把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.弧度的單位符號是rad，讀作弧度.如上圖，AB的長等于半徑r，AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的長度等于2r,則AOC=2rad.問半圓所對的圓心角是多少弧度，圓周所對的圓心角是多少弧度？答：半圓弧長是半圓所對的圓心角是弧度.同樣道理，圓周所對的圓心角（稱謂周角）的大小是2弧度.角的概念推廣后，弧的概念也隨之推廣.所以任意一正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是零.3弧度制與角度制的互化因為周角的弧度數(shù)是2，角度是360，所以有把上面的關(guān)系反過來寫例1：把解：例2：把化成角度. 今后用弧度制表示角時，把“弧度”二字或“rad”通常省略不寫，比如 rad，角 角的正弦.之間的一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互化必需熟練掌握.度030456090120135150180270360弧度02例3：用弧度制表示（1）與終邊相同的角；（2）第四象限的角的集合.解：（1）與（2）第四象限的角的集合是也可能寫成注意兩種角度制不準混合用，如寫成布置作業(yè)，課本P12，15題.第二課時教學要求：1熟練弧度制與角度制的互化，理解角的集合與實數(shù)集R的一一對應(yīng).2會用弧長公式，扇形面積公式，解決一些實際問題.教學過程： 復(fù)習角的弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化公式1學生先練習，老師再總結(jié).（1）10 rad角是第幾象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有兩種方法. 第一種方法，是第三象限的角第二種方法10 rad的角是第三象限的角.（2） 也可以直接在計算器上求得，先把角的單位轉(zhuǎn)至RAD，再求sin1.5即可得.2總結(jié)角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系.正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度是零.反過來，每個實數(shù)都對應(yīng)唯一的角（角的弧度數(shù)等于這個實數(shù)）這樣就在角的集合（元素是角）與實數(shù)集R（元素是數(shù)）之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.3弧長公式，扇形面積公式的應(yīng)用由弧度制的定義例1：利用弧度制證明扇形面積公式是扇形弧長，R是圓的半徑.l證明：因為圓心角為1 rad的扇形的面積是，而弧長為l的扇形的圓心角為，所以它的面積.若已知扇形的半徑和圓心角，則它的面積又可以寫成例2：半徑R的扇形的周長是4R，求面積和圓心角.解：扇形弧長為4R-2R=2R，圓心角面積.例3：在扇形AOB中，AOB=90，弧長為l，求它的內(nèi)切圓的面積.解：先求得扇形的半徑設(shè)圓的半徑為x，圓心為C，由 解得SC4學生課堂閱讀課本P1011 例5、例6并作P11練習7、8兩題.布置作業(yè)，課本P1213，習題4.2 6、8、9、10、114.2弧度制教學目標（1）通過本小節(jié)的學習，要使學生理解弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)；（2）了解角的集合與實數(shù)集R之間可以建立起一一對應(yīng)的關(guān)系；（3）掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度解決某些簡單的實際問題。教學重點使學生理解弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算。弧度的概念及其與角度的關(guān)系，是本小節(jié)的乃至本章的難點；其中，講清1弧度的角的意義，是建立弧度概念的關(guān)鍵。教學難點使學生理解弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算?；《鹊母拍罴捌渑c角度的關(guān)系，是本小節(jié)的乃至本章的難點；教學過程一引入我們在初中幾何里學習過角的度量，規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制度叫做角度制。下面再介紹在數(shù)學和其他科學中常用到的另一種度量角的單位制弧度制，它的單位符號是rad，讀作弧度。二新課定義：我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量時，這樣的圓心角等于1rad。說明學生閱讀課本，教師作要點說明，并進行歸納。一般地，可以得到：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0；角的弧度數(shù)的絕對值其中是以角作為圓心角時所對弧的長，是圓的半徑。概念：這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制。1把角度換成弧度2把弧度換成角度例1把化成弧度。例2把化成度。約定今后我們用弧度制表示角的時候，“弧度”二字或“”通常略去不寫，而只寫這個角對應(yīng)的弧度數(shù)。特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表：度弧度角的集合與實數(shù)集R之間的對應(yīng)關(guān)系：復(fù)習角度制下的弧長公式和扇形面積公式弧度制下的弧長公式和扇形面積公式（1）弧長公式：，（弧度數(shù)）（2）扇形面積：（該結(jié)論在例講解后給出）例3利用弧度制證明扇形面積公式，其中是扇形的弧長，R是圓的半徑。例4計算：（1）；（2）。例5將下列各角化成0到的角加上的形式：（1）；（2）。例6求圖49中公路彎道處弧的長（精確到1m。圖中長度單位：m）.例把下列各角的度數(shù)化為弧度數(shù)：解因為，所以例把下列各角的弧度數(shù)化為度數(shù)：解因為 ，所以；度與弧度的換算可以利用計算器進行，具體操作方法可見本書的附錄今后我們用弧度制表示角的時候，“弧度”二字或“”通常略去不寫，而只寫這個角所對應(yīng)的弧度數(shù)例如，角表示是的角，表示的正弦，即根據(jù)常用特殊角間的倍數(shù)關(guān)系，可以列出下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)對應(yīng)值度弧度例用弧度制表示終邊在軸上的角的集合解因為在角度制下，終邊在軸上的角的集合為所以，在弧度制下，終邊在軸上的角的集合為，例計算： 解原式課 題：4.2弧度制（一）教學目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定義.2.掌握角度與弧度的換算公式并能熟練地進行角度與弧度的換算.3.熟記特殊角的弧度數(shù)教學重點：使學生理解弧度的意義，正確地進行角度與弧度的換算.教學難點：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析： 講清1弧度角的定義，使學生建立弧度的概念，理解弧度制的定義，達到突破難點之目的.通過電教手段的直觀性，使學生進一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性.通過周角的兩種單位制的度量，得到角度與弧度的換算公式.使學生認識到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的.進一步加強對辯證統(tǒng)一思想的理解.教學過程：一、復(fù)習引入：1角的概念的推廣“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角的終邊，射線的端點O叫做角的頂點“正角”與“負角”“0角”我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角，如圖，以O(shè)A為始邊的角=210，=-150，=660， 2度量角的大小第一種單位制角度制的定義初中幾何中研究過角的度量，當時是用度做單位來度量角，1的角是如何定義的？規(guī)定周角的作為1的角，我們把用度做單位來度量角的制度叫做角度制，有了它，可以計算弧長，公式為3探究30、60的圓心角，半徑r為1，2，3，4，分別計算對應(yīng)的弧長l，再計算弧長與半徑的比結(jié)論：圓心角不變，則比值不變，因此比值的大小只與角的大小有關(guān)，我們可以利用這個比值來度量角，這就是另一種度量角的制度弧度制 二、講解新課： 1 定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角它的單位是rad 讀作弧度，這種用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制 如下圖，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，rad 探究：平角、周角的弧度數(shù)，（平角=p rad、周角=2p rad）正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0角a的弧度數(shù)的絕對值 （為弧長，為半徑）角度制、弧度制度量角的兩種不同的方法，單位、進制不同，就像度量長度一樣有不同的方法，千米、米、厘米與丈、尺、寸，反映了事物本身不變，改變的是不同的觀察、處理方法，因此結(jié)果就有所不同用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0） 用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同2. 角度制與弧度制的換算： 360=2p rad 180=p rad 1= 三、講解范例：例1 把化成弧度解： 例2 把化成度解：注意幾點：1度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計算器”進行； 2今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sinp表示prad角的正弦； 3一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)值應(yīng)該記?。航嵌?30456090120135150180弧度0/6/4/3/22/33/45/6角度210225240270300315330360弧度7/65/44/33/25/37/411/62 4應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系正角零角負角正實數(shù)零負實數(shù) 任意角的集合 實數(shù)集R例3用弧度制表示：1 終邊在軸上的角的集合 2 終邊在軸上的角的集合 3 終邊在坐標軸上的角的集合解：1 終邊在軸上的角的集合 2 終邊在軸上的角的集合 3 終邊在坐標軸上的角的集合 四、課堂練習：1.下列各對角中終邊相同的角是( )A.（） B.和C.和 D. 2.若3，則角的終邊在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若是第四象限角，則一定在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合為 ，第一或第三象限角的集合為 .5.7弧度的角在第 象限，與7弧度角終邊相同的最小正角為 .6.圓弧長度等于截其圓的內(nèi)接正三角形邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為 .7.求值：.8.已知集合22，B44，求AB.9.現(xiàn)在時針和分針都指向12點，試用弧度制表示15分鐘后，時針和分針的夾角.參考答案：1.C 2.C 3.C4.2k2k，kZkk，kZ5.一 72 6. 7.28.AB4或09.五、小結(jié) 1弧度制定義 2與弧度制的互化 2.特殊角的弧度數(shù)六、課后作業(yè)：已知是第二象限角，試求： (1)角所在的象限；(2)角所在的象限；(3)2角所在范圍. 解：(1)是第二象限角,+2k+2k,kZ,即+k+k,kZ. 故當k=2m(mZ)時，+2m+2m,因此，角是第一象限角；當k=2m+1(mZ)時，+2m+2m,因此，角是第三象限角. 綜上可知，角是第一或第三象限角. (2)同理可求得：+k+k,kZ.當k=3m(mZ)時，,此時，是第一象限角； 當k=3m+1(mZ)時，即+2m,此時，角是第二象限角； 當k=3m+2(mZ)時，,此時，角是第四象限角. 綜上可知，角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2角所在范圍為：+4k22+4k,kZ. 評注：(1)注意某一區(qū)間內(nèi)的角與象限角的區(qū)別.象限角是由無數(shù)個區(qū)間角組成的，例如090這個區(qū)間角，只是k=0時第一象限角的一種特殊情況. (2)要會正確運用不等式進行角的表達，同時會以k取不同值，討論形如=+k(kZ)所表示的角所在象限. (3)對于本例(3)，不能說2只是第一、二象限的角，因為2也可為終邊在y軸負半軸上的角+4k(kZ),而此角不屬于任何象限.七、板書設(shè)計（略）八、課后記：課 題：4.2弧度制（一）教學目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定義.2.掌握角度與弧度的換算公式并能熟練地進行角度與弧度的換算.3.熟記特殊角的弧度數(shù)教學重點：使學生理解弧度的意義，正確地進行角度與弧度的換算.教學難點：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析： 講清1弧度角的定義，使學生建立弧度的概念，理解弧度制的定義，達到突破難點之目的.通過電教手段的直觀性，使學生進一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性.通過周角的兩種單位制的度量，得到角度與弧度的換算公式.使學生認識到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的.進一步加強對辯證統(tǒng)一思想的理解.教學過程：一、復(fù)習引入：1角的概念的推廣“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角的終邊，射線的端點O叫做角的頂點“正角”與“負角”“0角”我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角，如圖，以O(shè)A為始邊的角=210，=-150，=660， 2度量角的大小第一種單位制角度制的定義初中幾何中研究過角的度量，當時是用度做單位來度量角，1的角是如何定義的？規(guī)定周角的作為1的角，我們把用度做單位來度量角的制度叫做角度制，有了它，可以計算弧長，公式為3探究30、60的圓心角，半徑r為1，2，3，4，分別計算對應(yīng)的弧長l，再計算弧長與半徑的比結(jié)論：圓心角不變，則比值不變，因此比值的大小只與角的大小有關(guān)，我們可以利用這個比值來度量角，這就是另一種度量角的制度弧度制 二、講解新課： 1 定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角它的單位是rad 讀作弧度，這種用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制 如下圖，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，rad 探究：平角、周角的弧度數(shù)，（平角=p rad、周角=2p rad）正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0角a的弧度數(shù)的絕對值 （為弧長，為半徑）角度制、弧度制度量角的兩種不同的方法，單位、進制不同，就像度量長度一樣有不同的方法，千米、米、厘米與丈、尺、寸，反映了事物本身不變，改變的是不同的觀察、處理方法，因此結(jié)果就有所不同用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0） 用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同2. 角度制與弧度制的換算： 360=2p rad 180=p rad 1= 三、講解范例：例1 把化成弧度解： 例2 把化成度解：注意幾點：1度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計算器”進行； 2今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sinp表示prad角的正弦； 3一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)值應(yīng)該記?。航嵌?30456090120135150180弧度0/6/4/3/22/33/45/6角度210225240270300315330360弧度7/65/44/33/25/37/411/62 4應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系正角零角負角正實數(shù)零負實數(shù) 任意角的集合 實數(shù)集R例3用弧度制表示：1 終邊在軸上的角的集合 2 終邊在軸上的角的集合 3 終邊在坐標軸上的角的集合解：1 終邊在軸上的角的集合 2 終邊在軸上的角的集合 3 終邊在坐標軸上的角的集合 四、課堂練習：1.下列各對角中終邊相同的角是( )A.（） B.和C.和 D. 2.若3，則角的終邊在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若是第四象限角，則一定在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合為 ，第一或第三象限角的集合為 .5.7弧度的角在第 象限，與7弧度角終邊相同的最小正角為 .6.圓弧長度等于截其圓的內(nèi)接正三角形邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為 .7.求值：.8.已知集合22，B44，求AB.9.現(xiàn)在時針和分針都指向12點，試用弧度制表示15分鐘后，時針和分針的夾角.參考答案：1.C 2.C 3.C4.2k2k，kZkk，kZ5.一 72 6. 7.28.AB4或09.五、小結(jié) 1弧度制定義 2與弧度制的互化 2.特殊角的弧度數(shù)六、課后作業(yè)：已知是第二象限角，試求： (1)角所在的象限；(2)角所在的象限；(3)2角所在范圍. 解：(1)是第二象限角,+2k+2k,kZ,即+k+k,kZ. 故當k=2m(mZ)時，+2m+2m,因此，角是第一象限角；當k=2m+1(mZ)時，+2m+2m,因此，角是第三象限角. 綜上可知，角是第一或第三象限角. (2)同理可求得：+k+k,kZ.當k=3m(mZ)時，,此時，是第一象限角； 當k=3m+1(mZ)時，即+2m,此時，角是第二象限角； 當k=3m+2(mZ)時，,此時，角是第四象限角. 綜上可知，角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2角所在范圍為：+4k22+4k,kZ. 評注：(1)注意某一區(qū)間內(nèi)的角與象限角的區(qū)別.象限角是由無數(shù)個區(qū)間角組成的，例如090這個區(qū)間角，只是k=0時第一象限角的一種特殊情況. (2)要會正確運用不等式進行角的表達，同時會以k取不同值，討論形如=+k(kZ)所表示的角所在象限. (3)對于本例(3)，不能說2只是第一、二象限的角，因為2也可為終邊在y軸負半軸上的角+4k(kZ),而此角不屬于任何象限.七、板書設(shè)計（略）八、課后記： 4.2 弧度制教學目標1.使學生理解弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)；2.了解角的集合與實數(shù)集R之間可以建立起一一對應(yīng)的關(guān)系；3.掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度解決某些簡單的實際問題；4.在理解弧度制定義的基礎(chǔ)上，領(lǐng)會弧度制定義的合理性；重點：理解弧度的意義，能正確地進行角度制與弧度制的換算；難點：弧度的概念，弧度與角度的關(guān)系。知識結(jié)構(gòu)教法建議（1）弧度制與角度制一樣，只是度量角的一種方法，但由于學生有先入為主的想法，所以學起來有一定的困難，首先必須清楚1弧度的概念，它與所在圓的半徑大小無關(guān)。（實例）；其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點，一是在進位上角度制在度、分、秒上是60進制，而弧度制卻是十進制，其二在弧長和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡單： 不要認為只有弧度制才能將角與實數(shù)一一對應(yīng)；（2）關(guān)于弧度與角度二者的換算，教學時應(yīng)抓住：弧度 弧度 這個關(guān)鍵，來引導(dǎo)學生；（3）教學應(yīng)注意強調(diào)在同一式中，所采用的單位必須一致；（4）通過例3的教學，應(yīng)讓學生知道，無論是利用角度制還是弧度制，都能在已知弧長和半徑的情況下推出扇形面積公式，但利用弧度制來推導(dǎo)要簡單中些一課題：弧度制（2）二教學目標：1. 繼續(xù)研究角度制與弧度制之間的轉(zhuǎn)化；2熟練掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式及其應(yīng)用；3求扇形面積的最值。三教學重、難點：弧長公式、扇形面積公式的應(yīng)用。 四教學過程：（一）復(fù)習：（1）弧度制角如何規(guī)定的？（其中表示所對的弧長）（2）； 說出下列角所對弧度數(shù)（練習）寫出陰影部分的角的集合：（3）在角度制下，弧長公式及扇形面積公式如何表示？圓的半徑為，圓心角為所對弧長為；扇形面積為（二）新課講解：1弧長公式：在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式又如何表示？（其中表示所對的弧長），所以，弧長公式為2扇形面積公式：扇形面積公式為：說明：弧度制下的公式要顯得簡潔的多了；以上公式中的必須為弧度單位3例題分析：例1（）已知扇形的圓心角為，半徑，求弧長及扇形面積。（）已知扇形周長為，當扇形的中心角為多大時它有最大面積，最大面積是多少？解：（）因為，所以，（）設(shè)弧長為，半徑為，由已知，所以，從而，當時，最大，最大值為，這時 例如圖，扇形的面積是，它的周長是，求扇形的中心角及弦的長。解：設(shè)扇形的弧長為，半徑為，則有，所以，中心角為，弦長五課堂練習：1集合的關(guān)系是（ ）（A） （B） （C） （D）以上都不對。2已知集合，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）或3圓的半徑變?yōu)樵瓉淼模￠L不變，則該弧所對的圓心角是原來的 倍。4若弧度的圓心角所對的弧長是，則這個圓心角所在的扇形面積是 5在以原點為圓心，半徑為的單位圓中，一條弦的長度為，所對的圓心角的弧度數(shù)為 六小結(jié)：1牢記弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，并靈活運用； 2由將轉(zhuǎn)化成，利用這個與的二次函數(shù)關(guān)系求出扇形面積的最值。七作業(yè)：習題 第題 補充：1一個扇形周長等于它的弧所在圓的周長的一半，若圓的半徑為，求扇形的面積。 2弧度的圓心角所對的弦長為，求這個圓心角所對的弧長，及圓心角所夾扇形面積（要求作圖）。 3已知扇形的周長為，當它的半徑和圓心角各取多少值時，扇形面積最大，最大值為多少？第二課時：1.1.2 弧度制（一）教學要求：掌握弧度制的定義，學會弧度制與角度制互化，并進而建立角的集合與實數(shù)集R一一對應(yīng)關(guān)系的概念. 教學重點：掌握換算. 教學難點：理解弧度意義. 教學過程：一、復(fù)習準備：1. 寫出終邊在x軸上角的集合 . 2. 寫出終邊在y軸上角的集合 . 3. 寫出終邊在第三象限角的集合 . 4. 寫出終邊在第一、三象限角的集合 . 5. 什么叫1的角？計算扇形弧長的公式是怎樣的？二、講授新課：1. 教學弧度的意義： 如圖：AOB所對弧長分別為L、L，半徑分別為r、r，求證：. 討論：是否為定值？其值與什么有關(guān)系？結(jié)論：=定值. 討論：在什么情況下為值為1？是否可以作為角的度量？ 定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫1弧度的角. 用rad表示，讀作弧度. 計算弧度：180、360 思考：360等于多少弧度？ 探究：完成書P7 表1.1-1后，討論：半徑為r的圓心角所對弧長為l，則弧度數(shù)=？ 規(guī)定：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. 半徑為r的圓心角所對弧長為l，則弧度數(shù)的絕對值為|. 用弧度作單位來度量角的制度叫弧度制. 討論：由弧度數(shù)的定義可以得到計算弧長的公式怎樣？ 討論：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？度表示與弧度表示有啥不同？720的圓心角、弧長、弧度如何看？2 .教學例題：出示例1：角度與弧度互化： ；. 分析：如何依據(jù)換算公式？（抓?。?80=p rad） 如何設(shè)計算法？ 計算器操作： 模式選擇 MODE MODE 1(2)；輸入數(shù)據(jù)；功能鍵SHIFT DRG 1(2)= 練習：角度與弧度互化：0；30；45；120；135；150； 討論：引入弧度制的意義？（在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系） 練習：用弧度制表示下列角的集合：終邊在x軸上； 終邊在y軸上.3. 小結(jié)：弧度數(shù)定義；換算公式（180=p rad）；弧度制與角度制互化.三、鞏固練習： 1. 教材P10 練習1、2題.2. 用弧度制表示下列角的集合：終邊在直線y=x； 終邊在第二象限； 終邊在第一象限.3. 作業(yè)：教材P11 5、7、8題. 第三課時：1.1.2 弧度制（二）教學要求：更進一步理解弧度的意義，能熟練地進行弧度與角度的換算. 掌握弧長公式，能用弧度表示終邊相同的角、象限角和終邊在坐標軸上的角. 掌握并運用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式教學重點：掌握扇形弧長公式、面積公式. 教學難點：理解弧度制表示. 教學過程：一、復(fù)習準備：1. 提問：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧長公式？2. 弧度與角度互換：、210、753. 口答下列特殊角的弧度數(shù)：0、30、45、60、90、120、135、二、講授新課：1. 教學例題： 出示例：用弧度制推導(dǎo)：SLR；.分析：先求1弧度扇形的面積（R）再求弧長為L、半徑為R的扇形面積？方法二：根據(jù)扇形弧長公式、面積公式，結(jié)合換算公式轉(zhuǎn)換. 練習：扇形半徑為45，圓心角為120，用弧度制求弧長、面積. 出示例：計算sin、tan1.5、cos（口答方法共練小結(jié)：換算為角度；計算器求） 練習：求、的正弦、余弦、正切.2. 練習：. 用弧度制寫出與下列終邊相同的角，并求02間的角. 、675 用弧度制表示終邊在x軸上角的集合、終邊在y軸上角的集合？終邊在第三象限角的集合？ 討論：k360與2k30是否正確？ 與的終邊相同，且22，則 . 已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積.解法：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，列方程組而求.3. 小結(jié)：扇形弧長公式、面積公式；弧度制的運用；計算器使用.三、鞏固練習：1. 時間經(jīng)過2小時30分，時針和分針各轉(zhuǎn)了多少弧度？2. 一扇形的中心角是54，它的半徑為20cm，求扇形的周長和面積. 3. 已知角和角的差為10，角和角的和是10弧度，則、的弧度數(shù)分別是 . 4. 作業(yè)：教材P10 練習4、5、6題. 第一課時弧度制（一）（一） 引入新課有人問：溫州到杭州有多遠時，我們回答約400公里，但也有人回答約250英里，請問那一種回答是正確的？（已知1英里=1.6公里）顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會有不同的數(shù)值呢？那是因為所采用的度量制不同，一個是公制，一個是英制。他們的長度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里。在角度的度量里面，也有類似的情況，一個是角度制，一個是弧度制。角度制規(guī)定：將一個圓周分成360份，每一份叫做一度，故一周等于360度，半軸等于180度，直角等于90度等等?；《戎剖鞘裁茨兀?弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制與角度制之間如何換算？請看課本P810，自行解決上述問題。（二） 新課1弧度制的定義師：（畫圖示意）長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1。（1） 長度等于直徑的弧所對的圓心角的弧度數(shù)是多少？（畫圖示意，并寫成2R/R的形式）再舉一個負角的例子。（2） 當圓心角是周角時，它的弧度數(shù)是多少？為什么？（3） 當圓心角是平角時，它的弧度數(shù)是多少？為什么？直角呢？2、 說明：（1） 我們知道，角有正負零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負零之分，如-，-2等等，由角的旋轉(zhuǎn)方向決定。（2） 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，r是半徑。（3） 以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制。3、 角度制與弧度制的換算：（1）記住原理：周角所對的弧是整個圓周，是2r，所以周角的弧度數(shù)是2，但周角又等于360360=2 rad180= rad1= rad0.01745 rad（直接做4（1）（2）（3） 1 rad=57.3=5718/4、 例題與練習：（1） 把下列各角從度化成弧度：（口答，并問為什么？）360，180，90，4530， 60，120，135，270。（2） 把6730/，化成弧度。（師生共解）（3） 練習：P11，T3。（板演）（4） 把各角從弧度化成度：（口答，并問為什么）2，（5） 把化成度。（師生共解）（6） 練習：P11，T4。說明：弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換運算，關(guān)鍵要抓住180= rad（三）鞏固：1、 小結(jié)：（1）圓心角的弧度數(shù)的絕對值等于它所對弧長與半徑的比值：；也可寫成：（2）180=；也可寫成：； 1 rad=2、常用角的弧度角度換算度00300600120013502700弧度2師：這些結(jié)果同學們應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上熟記，在今后有很多的應(yīng)用。 2、 計算：（1）sin （2）tan1.5處理：A：解釋tan與初中的記號tg不同，并要求參閱課本首頁“本書部分數(shù)學符號”注意正切和余切的寫法。B：教師示范解答，并說明可以查表。3、 練習：P11，T5、6、7、8。從第8題引出角度制與弧度制下的弧長計算公式。角度制下的弧長公式：（說明推導(dǎo)方法）弧度制下的弧長公式：說明：顯然要簡單得多。第二課時弧度制（二）（一）復(fù)習師：上一節(jié)課我們學習了度量角的一種新單位制弧度制，我們再來回顧一下。1 什么叫做1弧度角？（1） 把弧長等于半徑時的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。（2） 用弧度作為單位來度量角的制度叫做弧度制。（3） 大小不同的若干個圓內(nèi)，若圓心角都是1rad，則下列結(jié)論正確的是（C）A、所對弦長相等B、所夾弧長相等C、所夾弧長等于各自半徑D、圓心角是570（4）事實上，在弧度制中，角的大小等于其所對弧長與半徑的比值，即。因此，與半徑的大小或弧的長短無關(guān)。這個比值是一個實數(shù)，因此我們就在角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。即：每一個角都有唯一的一個實數(shù)（即這個角的弧度數(shù)）與它對應(yīng)，反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角（這個角的弧度數(shù)等于這個實數(shù)）與它對應(yīng)。角的集合R師：現(xiàn)在看P10的圖4-7，應(yīng)該不會太難了。（看書，不懂提問）2 在角度制中，弧長公式，扇形面積（簡單介紹其推導(dǎo)過程）在弧度制中，弧長公式，那么扇形面積是怎么樣的呢？下面我們一起來推導(dǎo)。例1利用弧度制證明扇形面積公式，其中使扇形的弧長，是圓的半徑。R O S 證明：如圖，圓心角為1rad的扇形的面積為，又弧長為的扇形的圓心角的大小為rad，所以它的面積為師：所以弧度制中，扇形面積公式為。相比之下，弧度制下的公式顯得格外簡單。3 角度制與弧度制的互化：180=rad 1= rad0.01745 rad 1 rad=57.3=5718/注意：進行角度制與弧度制的換算關(guān)鍵是抓住公式。（三