兩圓方程相減的幾何意義.doc

方程與相減后所得的直線方程的幾何意義在平常的學(xué)習(xí)中知道，如果把兩相交圓 和：的方程相減所得到的直線l：表示兩圓公共弦所在直線方程。但很多同學(xué)在用這個(gè)結(jié)論時(shí)沒(méi)注意到前提條件必須是兩圓相交。如果兩圓不相交，兩圓相減照樣可以得到直線l，但l的幾何意義就改變了。因而有必要就兩圓的5種位置關(guān)系進(jìn)行討論直線l的幾何意義。我就兩圓的5種位置關(guān)系進(jìn)行研究。一兩圓相交設(shè)、是兩圓的交點(diǎn)，則有和成立，即、滿足方程即。所以直線l表示兩圓相交弦所在直線。二兩圓相切（內(nèi)切或外切）當(dāng)把兩相交的圓逐漸往兩側(cè)移動(dòng)時(shí)，兩交點(diǎn)逐漸靠近，最終重合為一點(diǎn)，此時(shí)兩圓外切，同時(shí)與兩圓相交的直線l也就與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l成為兩外切圓的過(guò)同一切點(diǎn)的公切線。因此，直線l：表示兩外切圓的過(guò)同一切點(diǎn)的公切線。當(dāng)把兩相交的圓逐漸往中間移動(dòng)時(shí)，兩交點(diǎn)逐漸靠近，最終重合為一點(diǎn)，此時(shí)兩圓內(nèi)切，同時(shí)，與兩圓相交的直線l也就與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l成為兩內(nèi)切圓的過(guò)同一切點(diǎn)的公切線。因此，直線l：表示兩內(nèi)切圓的公切線。例如，圓：與圓：相切于原點(diǎn)，那么兩圓相減得：，該直線與兩圓相切于原點(diǎn)。下面就兩圓外切情況加以證明。設(shè)圓，圓的半徑分別為，則，。由兩圓外切得： ，化簡(jiǎn)得： 即：又，即：，。利用直線Ax+By+C=0分線段的比為，那么直線l分的比為=。又，所以l（當(dāng)直線與直線l的斜率不存在時(shí)也成立）；且，所以點(diǎn)到直線l的距離為，點(diǎn)到直線l的距離為。所以直線l與兩圓相切。三兩圓相離這里首先得了解式子的含義。因?yàn)閳A的方程有兩種表示，即。當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在圓外時(shí)，式子表示點(diǎn)P到圓的切線長(zhǎng)。因而，對(duì)直線方程可以變形為：，即點(diǎn)P到兩圓的切線長(zhǎng)相等。因此，直線l的幾何意義是：到兩相離圓的切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的集合。更進(jìn)一步，如果兩圓的半徑相等，直線l就是兩圓的對(duì)稱軸。四兩圓內(nèi)含同“三”易知，直線l上的點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)相等。（注：以上兩圓非同心圓）五范例例：已知圓與圓：外切于點(diǎn)O，且兩圓的過(guò)點(diǎn)O的公切線為，已知圓的圓心落在直線上，求圓的方程。解：易得。設(shè)圓：，即：，圓