三角形內(nèi)心充要條件的證明.doc_第1頁(yè)
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歡迎訪問(wèn)我的博客 三角形內(nèi)心充要條件的證明三角形內(nèi)心充要條件的表述如下：在如下三角形ABC中，則O為內(nèi)心的充要條件是：圖示1(r為內(nèi)接圓半徑)下面證明： 充分性：充分性表述成，若O為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)滿(mǎn)足條件：時(shí)，O即為的內(nèi)心。證明：即為方向的單位向量，即為方向單位向量，所以即為以和構(gòu)成角的角平分線。(原因如下圖所示：，向量即為以和為邊構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線，由于和為單位向量，即構(gòu)成的平行四邊形為菱形，所以即為以和構(gòu)成角的角平分線)圖示2由上面的分析，我們可以得到：即在所在角平分線上，同理可證，、在在和所在角平分線上，即O為內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即為內(nèi)心的定義，充分性的證明完畢。 必要性：分析：由上面充分性的證明中的(*)表達(dá)式可知，只要由內(nèi)心的定義證明常數(shù)即可。證明：圖示3在圖示3中，的長(zhǎng)度為：在圖示1中，的長(zhǎng)度為：將用來(lái)表示，有：由O為的內(nèi)心，則在所在角平分線上，因此有：對(duì)上式兩邊取模長(zhǎng)，并由(1)可得：由可得：即：按照前面充分性的證明過(guò)程逆推：必要性證明完畢。

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