維納過程和伊藤引理.pptx

Chapter13WienerProcessesandIt sLemma維納過程和伊藤引理 Options Futures andOtherDerivatives 8thEdition Copyright JohnC Hull2012 隨機過程 stochastic sto k st k process 的含義 每時每刻都是一個隨機變量 按時間順序排列的隨機變量集 隨機變量服從于某分布 隨機過程遵循某種過程 隨機過程的分類 按時間 參數(shù)空間 離散時間 discretetime 連續(xù)時間 continuoustime 按變量 狀態(tài)空間 離散變量 discretevariable 連續(xù)變量 continuousvariable 按具有的性質(zhì) 本章將建立關(guān)于股票價格的連續(xù)變量 連續(xù)時間的隨機過程模型 定價中的一個重要原理 伊藤引理 Ito sLemma StochasticProcesses Describesthewayinwhichavariablesuchasastockprice exchangerateorinterestratechangesthroughtimeIncorporatesuncertainties 5 Example1 Eachdayastockpriceincreasesby 1withprobability30 staysthesamewithprobability50 reducesby 1withprobability20 6 Example2 Eachdayastockpricechangeisdrawnfromanormaldistributionwithmean 0 2andstandarddeviation 1 7 8 13 1馬爾科夫過程MarkovProcesses InaMarkovprocessfuturemovementsinavariabledependonlyonwhereweare notthehistoryofhowwegottowhereweareIstheprocessfollowedbythetemperatureatacertainplaceMarkov WeassumethatstockpricesfollowMarkovprocesses 人們在實際中常遇到具有下述特性的隨機過程 在已知它所處的狀態(tài)的條件下 它未來的演變不依賴于它以往的演變 這種已知 現(xiàn)在 的條件下 將來 與 過去 獨立的特性稱為馬爾可夫性 具有這種性質(zhì)的隨機過程叫做馬爾可夫過程 荷花池中一只青蛙的跳躍是馬爾可夫過程的一個形象化的例子 青蛙依照它瞬間或起的念頭從一片荷葉上跳到另一片荷葉上 因為青蛙是沒有記憶的 當(dāng)所處的位置已知時 它下一步跳往何處和它以往走過的路徑無關(guān) 如果將荷葉編號并用X0 X1 X2 分別表示青蛙最初處的荷葉號碼及第一次 第二次 跳躍后所處的荷葉號碼 那么 Xn n 0 就是馬爾可夫過程 10 Weak FormMarketEfficiency Thisassertsthatitisimpossibletoproduceconsistentlysuperiorreturnswithatradingrulebasedonthepasthistoryofstockprices Inotherwordstechnicalanalysisdoesnotwork AMarkovprocessforstockpricesisconsistentwithweak formmarketefficiency 13 2連續(xù)時間隨機過程 12 Example Avariableiscurrently40ItfollowsaMarkovprocessProcessisstationary i e theparametersoftheprocessdonotchangeaswemovethroughtime Attheendof1yearthevariablewillhaveanormalprobabilitydistributionwithmean40andstandarddeviation10 13 Questions Whatistheprobabilitydistributionofthestockpriceattheendof2years years years Dtyears Takinglimitswehavedefinedacontinuousstochasticprocess 14 Variances StandardDeviations InMarkovprocesseschangesinsuccessiveperiodsoftimeareindependentThismeansthatvariancesareadditiveStandarddeviationsarenotadditive 15 Variances StandardDeviations continued Inourexampleitiscorrecttosaythatthevarianceis100peryear Itisstrictlyspeakingnotcorrecttosaythatthestandarddeviationis10peryear 16 13 2 1標(biāo)準(zhǔn)維納過程AWienerProcess Definef m v asanormaldistributionwithmeanmandvariancevAvariablezfollowsaWienerprocessifDt內(nèi)的變化ThechangeinzinasmallintervaloftimeDtisDzThevaluesofDzforany2different non overlapping periodsoftimeareindependent 馬爾科夫性質(zhì) 17 PropertiesofaWienerProcess T內(nèi)的變化Meanof z T z 0 is0Varianceof z T z 0 isTStandarddeviationof z T z 0 is 在Excel中的模擬 重要的一點 例13 1假定隨機變量遵循維納過程 其初始值為25 時間以年為單位 在1年末 變量值服從正態(tài)分布 其期望值為25 標(biāo)準(zhǔn)差為1 在5年末 變量服從正態(tài)分布 其期望值為25 標(biāo)準(zhǔn)差為 變量在將來某一確定時刻由標(biāo)準(zhǔn)差來定義不確定性 并且與未來時間長度的平方根成正比 21 13 2 2廣義維納過程GeneralizedWienerProcesses 漂移率方差率AWienerprocesshasadriftrate i e averagechangeperunittime of0andavariancerateof1InageneralizedWienerprocessthedriftrateandthevarianceratecanbesetequaltoanychosenconstants 22 GeneralizedWienerProcesses continued MeanchangeinxperunittimeisaVarianceofchangeinxperunittimeisb2 23 TakingLimits Whatdoesanexpressioninvolvingdzanddtmean ItshouldbeinterpretedasmeaningthatthecorrespondingexpressioninvolvingDzandDtistrueinthelimitasDttendstozeroInthisrespect stochasticcalculusisanalogoustoordinarycalculus 24 TheExampleRevisited Astockpricestartsat40andhasaprobabilitydistributionoff 40 100 attheendoftheyearIfweassumethestochasticprocessisMarkovwithnodriftthentheprocessisdS 10dzIfthestockpricewereexpectedtogrowby 8onaverageduringtheyear sothattheyear enddistributionisf 48 100 theprocesswouldbedS 8dt 10dz 例13 2考慮這樣一種情況 某公司的現(xiàn)金頭寸 以千美元計 滿足廣義維納過程 漂移率為每年20 方差率為每年900 最初的現(xiàn)金頭寸為50 在1年后 現(xiàn)金頭寸服從正態(tài)分布 期望值為70 方差為900 標(biāo)準(zhǔn)差為30 在6個月時 現(xiàn)金頭寸服從正態(tài)分布 期望值為60 方差為450 標(biāo)準(zhǔn)差為21 21 26 13 2 3伊藤過程It Process InanIt processthedriftrateandthevarianceratearefunctionsoftimedx a x t dt b x t dzThediscretetimeequivalentistrueinthelimitasDttendstozero 27 WhyaGeneralizedWienerProcessIsNotAppropriateforStocks Forastockpricewecanconjecturethatitsexpectedpercentagechangeinashortperiodoftimeremainsconstant notitsexpectedactualchange Wecanalsoconjecturethatouruncertaintyastothesizeoffuturestockpricemovementsisproportionaltothelevelofthestockprice 13 3描述股票價格的過程 沒有不確定性 那么這個模型變?yōu)楫?dāng)時 其極限形式為積分 29 AnItoProcessforStockPrices wheremistheexpectedreturnsisthevolatility ThediscretetimeequivalentisTheprocessisknownasgeometricBrownianmotion 股價的百分比變化服從正態(tài)分布 例13 3考慮無股息股票 其波動率為每年30 連續(xù)復(fù)利期望收益率為15 這時 假定時間間隔為1星期 即0 0192年 因此 InterestRates Whatwouldbeareasonablestochasticprocesstoassumefortheshort terminterestrate 32 33 MonteCarloSimulation WecansamplerandompathsforthestockpricebysamplingvaluesforeSupposem 0 15 s 0 30 andDt 1week 1 52or0 192years then 34 MonteCarloSimulation SamplingonePath 運用Excel 已知的過程及其特征 標(biāo)準(zhǔn)維納過程 標(biāo)準(zhǔn)布朗運動 廣義維納過程 廣義布朗運動 伊藤過程幾何維納過程 幾何布朗運動 擴散過程時間上是某種過程 截面上是某種分布 期望 方差的變化特征 13 4參數(shù) 參數(shù)miu為投資者在很短一段時間內(nèi)獲取的收益率的期望值 大多數(shù)投資者在承擔(dān)更大風(fēng)險時會要求更高的預(yù)期收益 因此miu依賴于股票收益的風(fēng)險 更準(zhǔn)確地講 miu取決于投資者不能通過分散化來消除的那部分風(fēng)險 miu的取值應(yīng)該與經(jīng)濟體系中的利率水平有關(guān) 利率水平越高 投資者對給定股票的預(yù)期收益也會越高 衍生產(chǎn)品價格與miu無關(guān) 而sigma至關(guān)重要 13 5相關(guān)過程CorrelatedProcesses Supposedz1anddz2areWienerprocesseswithcorrelationrThen 38 運用Excel畫二元函數(shù)圖像 二元函數(shù)z xy的圖像 41 13 6伊藤引理It sLemma Ifweknowthestochasticprocessfollowedbyx It slemmatellsusthestochasticprocessfollowedbysomefunctionG x t Sinceaderivativeisafunctionofthepriceoftheunderlyingassetandtime It slemmaplaysanimportantpartintheanalysisofderivatives TaylorSeriesExpansion ATaylor sseriesexpansionofG x t gives 42 IgnoringTermsofHigherOrderThanDt 43 SubstitutingforDx 44 Thee2DtTerm 45 TakingLimits 46 伊藤引理的推導(dǎo) 在這里 我們可以看到 伊藤引理是泰勒公式的自然擴展 ApplicationofIto sLemmatoaStockPriceProcess 51 Examples 52 遠(yuǎn)期價格F也遵循幾何布朗運動 G遵循一個廣義維納過程 這意味著 如果按照以前的做法 就會得到錯誤的結(jié)果 例 y仍是一個幾何布朗運動 例 y仍是一個幾何布朗運動 例 例 例 幾何布朗運動 小結(jié) 隨機過程描述了變量值的變化隨時間的發(fā)展變化 馬爾科夫過程中只有變量的現(xiàn)值與預(yù)測將來值有關(guān) 變量的以往歷史以及如何演變成現(xiàn)值的方式則都與預(yù)測將來值不相關(guān) 維納過程dz是一個描述正態(tài)分布變量變化的過程 該過程的漂移