統(tǒng)計概率與小學數(shù)學教學.doc

統(tǒng)計概率與小學數(shù)學教學 北京師范大學教育學院 劉京莉 全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)中較大幅度地增加了“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容。因為在信息社會，收集、整理、描述、展示和解釋數(shù)據(jù)，根據(jù)情報作出決定和預測，已成為公民日益重要的技能。因此小學數(shù)學加入這部分內(nèi)容是完全必要的，本文將探討的問題是小學教師應明確哪些基本概念，使教學既具有科學性同時又符合學生的認知特點；如何使學生在形成和解決現(xiàn)實世界問題的過程中，發(fā)展統(tǒng)計意識、發(fā)展用統(tǒng)計的方法解釋數(shù)據(jù)、表達及交流信息的能力，以及用多種方式來收集、整理和展示他們的思考的能力；統(tǒng)計與概率與小學其它部分的內(nèi)容是如何聯(lián)系的。 一、基本概念 1描述統(tǒng)計。 通過調查、試驗獲得大量數(shù)據(jù)，用歸組、制表、繪圖等統(tǒng)計方法對其進行歸納、整理，以直觀形象的形式反映其分布特征的方法，如：小學數(shù)學中的制表、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖等都是描述統(tǒng)計。另外計算集中量所反映的一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，如算術平均數(shù)、中位數(shù)、總數(shù)、加權算術平均數(shù)等，也屬于描述統(tǒng)計的范圍。其目的是將大量零散的、雜亂無序的數(shù)字資料進行整理、歸納、簡縮、概括，使事物的全貌及其分布特征清晰、明確地顯現(xiàn)出來。 2概率的統(tǒng)計定義。 人們在拋擲一枚硬幣時，究竟會出現(xiàn)什么樣的結果事先是不能確定的，但是當我們在相同的條件下，大量重復地拋擲同一枚均勻硬幣時，就會發(fā)現(xiàn)“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”的次數(shù)大約各占總拋擲次數(shù)的： 左右。這里的“大量重復”是指多少次呢?歷史上不少統(tǒng)計學家，例如皮爾遜等人作過成千上萬次拋擲硬幣的試驗，其試驗記錄如下： 可以看出，隨著試驗次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的頻率波動越來越小，頻率在05這個定值附近擺動的性質是出現(xiàn)正面這一現(xiàn)象的內(nèi)在必然性規(guī)律的表現(xiàn)，05恰恰就是刻畫出現(xiàn)正面可能性大小的數(shù)值，05就是拋擲硬幣時出現(xiàn)正面的概率。這就是概率統(tǒng)計定義的思想，這一思想也給出了在實際問題中估算概率的近似值的方法，當試驗次數(shù)足夠大時，可將頻率作為概率的近似值。 例如100粒種子平均來說大約有90粒種子發(fā)芽，則我們說種子的發(fā)芽率為90； 某類產(chǎn)品平均每1000件產(chǎn)品中大約有10件廢品，則我們說該產(chǎn)品的廢品率為1。在小學數(shù)學中用概率的統(tǒng)計定義，一般求得的是概率的近似值，特別是次數(shù)不夠大時，這個概率的近似值存在著一定的誤差。例如：某地區(qū)30年來的10月6日的天氣記錄里有25次是秋高氣爽、晴空萬里，問下一年的10月6日是晴天的概率是多少? 因為前30年出現(xiàn)晴天的頻率為083，所以概率大約是083。 3概率的古典定義。 對某一類特殊的試驗，還可以從另一個角度求它的概率。拋擲一枚硬幣時，試驗的結果有2種：出現(xiàn)正面、出現(xiàn)反面；由于硬幣是均勻的，通過直觀分析可以看出出現(xiàn)正面和反面的可能性相同，都是。進一步研究： 某試驗具有以下性質 (1)試驗的結果是有限個(n個) (2)每個結果出現(xiàn)的可能性是相同的 (硬幣、骰子是均勻的，拋擲時出現(xiàn)每一面的可能性都相同) 如果事件A是由上述n個結果中的m個組成，則稱事件A發(fā)生的概率為mn。 例：擲一顆均勻的骰子，求出現(xiàn)2點的概率。 由于這個試驗滿足概率的古典定義的兩個條件，且n=6，m=1，出現(xiàn)2點的概率是。 又：求出現(xiàn)偶數(shù)點的概率?出現(xiàn)偶數(shù)點這一事件包含3個結果，2點、 4點、6點。m=3 出現(xiàn)偶數(shù)點的概率是，即。 概率的古典定義不用大量地去試驗，只要試驗的結果為等可能的有限個的情況，通過分析找出m、n，其概率就可以求出了，其優(yōu)點是便于計算，但概率的古典定義不如概率的統(tǒng)計定義適用面廣，如拋擲一個酒瓶蓋子時，就不滿足出現(xiàn)每一面的可能性都相同的條件，因此出現(xiàn)正面的概率就不能用概率的古典定義去求，而要用統(tǒng)計定義去近似地求它的概率。 在小學數(shù)學的教學中，根據(jù)小學生的認知水平，應避免學習過多或艱深的術語，從小學低年級開始應該非形式地介紹概率思想，而非嚴格的定義、單純的計算，因此，在小學經(jīng)常用“可能性”來代替“概率”這個概念。但作為教師應該懂得它的意義，否則就會出笑話。有的教師讓學生在課上做 20次拋擲硬幣的試驗，希望學生能得到出現(xiàn)正面的可能性是，因為拋擲的次數(shù)少，所以要得出10次正面，是很難做到的，概率的統(tǒng)計定義一般得出的是概率的近似值。 二、在學習統(tǒng)計與概率的過程中發(fā)展學生的能力 統(tǒng)計的內(nèi)容是用數(shù)字描述和解釋我們周圍的世界，應結合學生生活的實際，如：可以設計成一個活動，使學生主動地投入其中；提出關鍵的問題；搜集和整理數(shù)據(jù)；應用圖表來表示數(shù)據(jù)；分析數(shù)據(jù)；作出推測，并用一種別人信服的方式交流信息。同時體會對數(shù)據(jù)的收集、處理會獲得某些新的信息。 例如：組織一次班會活動，目的是增進同學之間的互相了解和交流。首先讓學生們自己選題，希望了解哪些信息：“同學們每天怎么來上學?”；“每個月都有多少同學過生日?”；“同學們喜歡讀哪類圖書?”；“同學們的愛好是什么?”；“我們最喜愛的運動”；“我們最喜愛的動物”然后學生們分組去調查收集數(shù)據(jù)，用表格歸納整理，并且制成各種統(tǒng)計圖：如： 從統(tǒng)計圖可以知道，喜歡動物故事的同學最多，根據(jù)這個統(tǒng)計結果，班里可以組織一個動物研究會，辦一個動物圖片展覽，到野生動物園去參觀等。全班同學還可以把各種圖表制成墻報、手抄報把自己的班級介紹給全校其他同學等。 三、統(tǒng)計、概率與小學其它內(nèi)容的聯(lián)系 例1 上面各圖中表示黑色區(qū)域的分數(shù)分別為；，小學生即使沒有學習幾何圖形的概念也可以通過分數(shù)的意義知道2號黑色區(qū)域最容易投中，因為根據(jù)分數(shù)的意義它占總面積的比最大，為。 例2 從紅球所占的比例來看，1號袋為； 2號袋為；3號袋為擊，因此相比之下，1號袋最容易抽出紅球。 例3下面是用扇形統(tǒng)計圖統(tǒng)計的資料 對小學生來講，扇形統(tǒng)計圖的難點在于不同的圓心角所代表的部分的百分數(shù)表示及百分數(shù)表示的圓心角的度數(shù)，而對于上面圖中有特殊圓心角時，可避開圓心角，用分數(shù)、百分數(shù)的意義得出喜歡英語課的，科學課的，數(shù)學課的；參加球類興趣小組的有50；參加樂隊的18。 從上面的例子可以看出，統(tǒng)計與概率可以為發(fā)展和運用比、分數(shù)、百分數(shù)和小數(shù)這些概念提供背景。因此我們可以用建構的方式，建立這部分內(nèi)容與小學其它知識的聯(lián)系和建構有意義的認知結構，從而更深入、更靈活地學習。 總之，在小學，統(tǒng)計與概率的教學既要具有科學性又要符合小學生的認知特點，同時，它還是解決問題的有力工具，它也是架起與其它內(nèi)容之間的橋梁。 和差問題 已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)的應用題，叫做和差問題。一般關系式有： （和差）2較小數(shù) （和差）2較大數(shù) 例：甲乙兩數(shù)的和是24，甲數(shù)比乙數(shù)少4，求甲乙兩數(shù)各是多少？ （244）2 282 14 乙數(shù) （244）2 202 10 甲數(shù) 答：甲數(shù)是10，乙數(shù)是14。 差倍問題 已知兩個數(shù)的差及兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)的應用題，叫做差倍問題?；娟P系式是： 兩數(shù)差倍數(shù)差較小數(shù) 例：有兩堆煤，第二堆比第一堆多40噸，如果從第二堆中拿出5噸煤給第一堆，這時第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原來兩堆煤各有多少噸？ 分析：原來第二堆煤比第一堆多40噸，給了第一堆5噸后，第二堆煤比第一堆就只多4052噸，由基本關系式列式是： （4052）（31）5 （4010）25 3025 155 10（噸） 第一堆煤的重量 10+4050（噸） 第二堆煤的重量 答：第一堆煤有10噸，第二堆煤有50噸。 還原問題 已知一個數(shù)經(jīng)過某些變化后的結果，要求原來的未知數(shù)的問題，一般叫做還原問題。 還原問題是逆解應用題。一般根據(jù)加、減法，乘、除法的互逆運算的關系。由題目所敘述的的順序，倒過來逆順序的思考，從最后一個已知條件出發(fā)，逆推而上，求得結果。 例：倉庫里有一些大米，第一天售出的重量比總數(shù)的一半少12噸。第二天售出的重量，比剩下的一半少12噸，結果還剩下19噸，這個倉庫原來有大米多少噸？ 分析：如果第二天剛好售出剩下的一半，就應是1912噸。第一天售出以后，剩下的噸數(shù)是（1912）2噸。以下類推。 列式：（1912）2122 312-122 62-122 502 100（噸） 答：這個倉庫原來有大米100噸。 置換問題 題中有二個未知數(shù)，常常把其中一個未知數(shù)暫時當作另一個未知數(shù)，然后根據(jù)已知條件進行假設性的運算。其結果往往與條件不符合，再加以適當?shù)恼{整，從而求出結果。 例：一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張？ 分析：先假定買來的100張郵票全部是20分一張的，那么總值應是201002000（分），比原來的總值多20001880120（分）。而這個多的120分，是把10分一張的看作是20分一張的，每張多算201010（分），如此可以求出10分一張的有多少張。 列式：（20001880）（2010） 12010 12（張）10分一張的張數(shù) 1001288（張）20分一張的張數(shù) 或是先求出20分一張的張數(shù)，再求出10分一張的張數(shù)，方法同上，注意總值比原來的總值少。 盈虧問題（盈不足問題） 題目中往往有兩種分配方案，每種分配方案的結果會出現(xiàn)多（盈）或少（虧）的情況，通常把這類問題，叫做盈虧問題（也叫做盈不足問題）。 解答這類問題時，應該先將兩種分配方案進行比較，求出由于每份數(shù)的變化所引起的余數(shù)的變化，從中求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意，求出被分配物品的數(shù)量。其計算方法是： 當一次有余數(shù)，另一次不足時： 每份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差 當兩次都有余數(shù)時： 總份數(shù)（較大余數(shù)較小數(shù)）兩次每份數(shù)的差 當兩次都不足時： 總份數(shù)（較大不足數(shù)較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差 例1、解放軍某部的一個班，參加植樹造林活動。如果每人栽5棵樹苗，還剩下14棵樹苗；如果每人栽7棵，就差4棵樹苗。求這個班有多少人？一共有多少棵樹苗？ 分析：由條件可知，這道題屬第一種情況。 列式：（144）（75） 182 9（人） 5914 4514 59（棵） 或：794 634 59（棵） 答：這個班有9人，一共有樹苗59棵。 年齡問題 年齡問題的主要特點是兩人的年齡差不變，而倍數(shù)差卻發(fā)生變化。 常用的計算公式是： 成倍時小的年齡大小年齡之差（倍數(shù)1） 幾年前的年齡小的現(xiàn)年成倍數(shù)時小的年齡 幾年后的年齡成倍時小的年齡小的現(xiàn)在年齡 例1、父親今年54歲，兒子今年12歲。幾年后父親的年齡是兒子年齡的4倍？ （5412）（41） 423 14（歲）兒子幾年后的年齡 14122（年）2年后 答：2年后父親的年齡是兒子的4倍。 例2、父親今年的年齡是54歲，兒子今年有12歲。幾年前父親的年齡是兒子年齡的7倍？ （5412）（71） 426 7（歲）兒子幾年前的年齡 1275（年）5年前 答：5年前父親的年齡是兒子的7倍。 例3、王剛父母今年的年齡和是148歲，父親年齡的3倍與母親年齡的差比年齡和多4歲。王剛父母親今年的年齡各是多少歲？ （14824）（31） 3004 75（歲）父親的年齡 1487573（歲）母親的年齡 答：王剛的父親今年75歲，母親今年73歲。 或：（1482）2 1502 75（歲） 75273（歲） 雞兔問題 已知雞兔的總只數(shù)和總足數(shù)，求雞兔各有多少只的一類應用題，叫做雞兔問題，也叫“龜鶴問題”、“置換問題”。 一般先假設都是雞（或兔），然后以兔（或雞）置換雞（或兔）。常用的基本公式有： （總足數(shù)雞足數(shù)總只數(shù)）每只雞兔足數(shù)的差兔數(shù) （兔足數(shù)總只數(shù)總足數(shù)）每只雞兔足數(shù)的差雞數(shù) 例：雞兔同籠共有24只。有64條腿。求籠中的雞和兔各有多少只？ 3k W UEw9I0 R, F/|1V7YWd-r0 Gb(e(o/X3QE&dL$Z0 鳳凰博客h7IM?pJu7NV IG rf Y E0 （64224）（42） （6448）（42） 16 2 8（只）兔的只數(shù) 24816（只）雞的只數(shù) 答：籠中的兔有8只，雞有16只 鳳凰博客38Zp|S5|+U 。 牛吃草問題（船漏水問題） 若干頭牛在一片有限范圍內(nèi)的草地上吃草。牛一邊吃草，草地上一邊長草。當增加（或減少）牛的數(shù)量時，這片草地上的草經(jīng)過多少時間就剛好吃完呢？ 例1、一片草地，可供15頭牛吃10天，而供25頭牛吃，可吃5天。如果青草每天生長速度一樣，那么這片草地若供10頭牛吃，可以吃幾天？ 分析：一般把1頭牛每天的吃草量看作每份數(shù)，那么15頭牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上這片草地10天長出草，以下類推其中可以發(fā)現(xiàn)25頭牛5天的吃草量比15頭牛10天的吃草量要少。原因是因為其一，用的時間少；其二，對應的長出來的草也少。這個差就是這片草地5天長出來的草。每天長出來的草可供5頭牛吃一天。如此當供10牛吃時，拿出5頭牛專門吃每天長出來的草，余下的牛吃草地上原有的草。 （1510255）（105） （150125）（105） 255 5（頭）可供5頭牛吃一天。 150105 15050 100（頭）草地上原有的草可供100頭牛吃一天 100（105） 1005 20（天） 答：若供10頭牛吃，可以吃20天。 例2、一口井勻速往上涌水，用4部抽水機100分鐘可以抽干；若用6部同樣的抽水機則50分鐘可以抽干。現(xiàn)在用7部同樣的抽水機，多少分鐘可以抽干這口井里的水？ （1004506）（10050） （400300）（10050） 10050 2 4001002 400200 200 200（72） 2005 40（分） 答：用7部同樣的抽水機，40分鐘可以抽干這口井里的水。 公約數(shù)、公倍數(shù)問題 運用最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)解答應用題，叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。 例1：一塊長方體木料，長25米，寬175米，厚075米。如果把這塊木料鋸成同樣大小的正方體木塊，不準有剩余，而且每塊的體積盡可能的大，那么，正方體木塊的棱長是多少？共鋸了多少塊？ 分析：25250厘米 175175厘米 07575厘米 其中250、175、75的最大公約數(shù)是25，所以正方體的棱長是25厘米。 （25025）（17525）（7525） 1073 210（塊） 答：正方體的棱長是25厘米，共鋸了210塊。 例2、兩嚙合齒輪，一個有24個齒，另一個有40個齒，求某一對齒從第一次接觸到第二次接觸，每個齒輪至少要轉多少周？ 分析：因為24和40的最小公倍數(shù)是120，也就是兩個齒輪都轉120個齒時，第一次接觸的一對齒，剛好第二次接觸。 120245（周） 120403（周） 答：每個齒輪分別要轉5周、3周。 分數(shù)應用題 指用分數(shù)計算來解答的應用題，叫做分數(shù)應用題，也叫分數(shù)問題。 分數(shù)應用題一般分為三類： 1求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾。 2求一個數(shù)的幾分之幾是多少。 3已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。 其中每一類別又分為二種，其一：一般分數(shù)應用題；其二：較復雜的分數(shù)應用題。 例1：育才小學有學生1000人，其中三好學生250人。三好學生占全校學生的幾分之幾？ 答：三好學生占全校學生的。 例2：一堆煤有180噸，運走了。走了多少噸？ 18080（噸） 答：運走了80噸。 例3：某農(nóng)機廠去年生產(chǎn)農(nóng)機1800臺，今年計劃比去年增加。今年計劃生產(chǎn)多少臺？ 1800（1） 1800 2400（臺） 答：今年計劃生產(chǎn)2400臺。 例4：修一條長2400米的公路，第一天修完全長的，第二天修完余下的。還剩下多少米？ 2400（1）（1） 2400 1200（米） 答：還剩下1200米。 例5：一個學校有三好學生168人，占全校學生人數(shù)的。全校有學生多少人？ 168840（人） 答：全校有學生840人。 例6：甲庫存糧120噸，比乙?guī)斓拇婕Z少。乙?guī)齑婕Z多少噸？ 120120180（噸） 答：乙?guī)齑婕Z180噸。 例7：一堆煤，第一次運走全部的，第二次運走全部的，第二次比第一次少運8噸。這堆煤原有多少噸？ 8（） 8 48（噸） 答：這堆煤原有48噸。 工程問題 它是分數(shù)應用題的一個特例。是已知工作量、工作時間和工作效率，三個量中的兩個求第三個量的問題。 解答工程問題時，一般要把全部工程看作“1”，然后根據(jù)下面的數(shù)量關系進行解答： 6q1U7in!S7x0 鳳凰博客tr IJ0OYWV P tAd)J.IH0 &h|il)t&ZS6h&kC0 nVg2v IdgI0 工作效率工作時間工作量 F5q/f,z5by0 工作量工作時間工作效率 鳳凰博客q!q1Nc3E-na9Q$M 工作量工作效率工作時間 鳳凰博客9FA*o d#7I!l 例1：一項工程，甲隊單獨做需要18天，乙隊單獨做需要24天。如果兩隊合作8天后，余下的工程由甲隊單獨做，還要幾天完成？ N W5l,VjH|0 鳳凰博客+ZOR HhI 鳳凰博客hq$TU!bO$rEQ 鳳凰博客6Op/ZV2wc 1（）8 ,l!l9zIb&W0 1 18 4（天） 答：（略）。 鳳凰博客1Q0RO&%owG 例2：一個水池，裝有甲、乙兩個進水管，一個出水管。單開甲管2小時可以注滿；單開乙管3小時可以注滿；單開出水管6小時可以放完?，F(xiàn)在三管在池空時齊開，多少小時可以把水池注滿？ |5W.WuC3p0 鳳凰博客 SX9q7|f 鳳凰博客UO8_%F(u8Br 6Xr3MHv)I0 1（） 鳳凰博客I ?b&W+CD 1 1（小時） 答：（略） 鳳凰博客o Sj4ON:2/a+N 百分數(shù)應用題 這類應用題與分數(shù)應用題的解答方式大致相同，僅求“率”時，表達方式不同，意義不同。 例1某農(nóng)科所進行發(fā)芽試驗，種下250粒種子。發(fā)芽的有230粒。求發(fā)芽率。 答：發(fā)芽率為92。1、長方形的周長=（長+寬）2 C=(a+b)2 2、正方形的周長=邊長4 C=4a 3、長方形的面積=長寬 S=ab 4、正方形的面積=邊長邊長 S=a.a= a 5、三角形的面積=底高2 S=ah2 6、平行四邊形的面積=底高 S=ah 7、梯形的面積=（上底+下底）高2 S=（ab）h2 8、直徑=半徑2 d=2r 半徑=直徑2 r= d2 9、圓的周長=圓周率直徑=圓周率半徑2 c=d =2r 10、圓的面積=圓周率半徑半徑 =r 11、長方體的表面積=（長寬+長高寬高）2 12、長方體的體積 =長寬高 V =abh 13、正方體的表面積=棱長棱長6 S =6a 14、正方體的體積=棱長棱長棱長 V=a.a.a= a 15、圓柱的側面積=底面圓的周長高 S=ch 16、圓柱的表面積=上下底面面積+側面積 S=2r +2rh=2(d2) +2(d2)h=2(C2) +Ch 17、圓柱的體積=底面積高 V=Sh V=r h=(d2) h=(C2) h 18、圓錐的體積=底面積高3 V=Sh3=r h3=(d2) h3=(C2) h3 19、長方體（正方體、圓柱體）的體 1、 每份數(shù)份數(shù)總數(shù) 總數(shù)每份數(shù)份數(shù) 總數(shù)份數(shù)每份數(shù) 2、 1倍數(shù)倍數(shù)幾倍數(shù) 幾倍數(shù)1倍數(shù)倍數(shù) 幾倍數(shù)倍數(shù)1倍數(shù) 3、 速度時間路程 路程速度時間 路程時間速度 4、 單價數(shù)量總價 總價單價數(shù)量 總價數(shù)量單價 5、 工作效率工作時間工作總量 工作總量工作效率工作時間 工作總量工作時間工作效率 6、 加數(shù)加數(shù)和 和一個加數(shù)另一個加數(shù) 7、 被減數(shù)減數(shù)差 被減數(shù)差減數(shù) 差減數(shù)被減數(shù) 8、 因數(shù)因數(shù)積 積一個因數(shù)另一個因數(shù) 9、 被除數(shù)除數(shù)商 被除數(shù)商除數(shù) 商除數(shù)被除數(shù) 小學數(shù)學圖形計算公式 1 、正方形 C周長 S面積 a邊長 周長邊長4 C=4a 面積=邊長邊長 S=aa 2 、正方體 V:體積 a:棱長 表面積=棱長棱長6 S表=aa6 體積=棱長棱長棱長 V=aaa 3 、長方形 C周長 S面積 a邊長 周長=(長+寬)2 C=2(a+b) 面積=長寬 S=ab 4 、長方體 V:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高 (1)表面積(長寬+長高+寬高)2 S=2(ab+ah+bh) (2)體積=長寬高 V=abh 5 三角形 s面積 a底 h高 面積=底高2 s=ah2 三角形高=面積 2底 三角形底=面積 2高 6 平行四邊形 s面積 a底 h高 面積=底高 s=ah 7 梯形 s面積 a上底 b下底 h高 面積=(上底+下底)高2 s=(a+b) h2 8 圓形 S面積 C周長 d=直徑 r=半徑 (1)周長=直徑=2半徑 C=d=2r (2)面積=半徑半徑 9 圓柱體 v:體積 h:高 s;底面積 r:底