常州市2018屆高三數(shù)學(xué)期末試卷及答案.doc

常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）本卷滿(mǎn)分160分，考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將本卷和答題卡一并交回2答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效。作答必須用05毫米黑色墨水的簽字筆。請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆 高三數(shù)學(xué)試題 2018年1月一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1若集合，則集合 （第5題）結(jié)束開(kāi)始輸出2命題“”是 命題（選填“真”或“假”）3若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則 4若一組樣本數(shù)據(jù)2015，2017，x，2018，2016的平均數(shù)為2017，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為 5右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的的值是 6函數(shù)的定義域記作集合隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)），記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則事件“”的概率為 7已知圓錐的高為6，體積為8用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺(tái)體積是7，則該圓臺(tái)的高為 8各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為 9在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在y軸左側(cè)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是 10已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的取值范圍是 1-1（第12題）11已知函數(shù)，其中若過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與曲線相切，則的值為 12如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)滿(mǎn)足，則 13在中，為內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若滿(mǎn)足，則的取值范圍為 14已知中，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積的最大值為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿(mǎn)分14分）已知中，分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，（1）求角；（2）若，求的值16（本小題滿(mǎn)分14分）（第16題）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，點(diǎn)是棱上異于P，C的一點(diǎn)（1）求證：； （2）過(guò)點(diǎn)和的平面截四棱錐得到截面（點(diǎn)在棱上），求證：17（本小題滿(mǎn)分14分）已知小明（如圖中AB所示）身高1.8米，路燈OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分別與地面交于點(diǎn)A，O點(diǎn)光源從M發(fā)出，小明在地面上的影子記作（1）小明沿著圓心為O，半徑為3米的圓周在地面上走一圈，求掃過(guò)的圖形面積；（2）若米，小明從A出發(fā)，以1米/秒的速度沿線段走到，且米秒時(shí)，小明在地面上的影子長(zhǎng)度記為（單位：米），求的表達(dá)式與最小值 （第17題） 18（本小題滿(mǎn)分16分）xy（第18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在第三象限），與橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)已知，且（1）求橢圓的離心率； （2）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程19（本小題滿(mǎn)分16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足（其中為常數(shù)），數(shù)列滿(mǎn)足（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若無(wú)窮等比數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意的，數(shù)列中總存在兩個(gè)不同的項(xiàng)，（），使得，求的公比20（本小題滿(mǎn)分16分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，設(shè)函數(shù)在上的極值點(diǎn)為，求證：常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè) 數(shù)學(xué)（附加題） 2018年1月注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試卷第21題有A、B、C、D 4個(gè)小題供選做，每位考生在4個(gè)選做題中選答2題若考生選做了3題或4題，則按選做題中的前2題計(jì)分第22、23題為必答題每小題10分，共40分考試時(shí)間30分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將本卷和答題卡一并交回2 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用05毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆21【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（選修41）A選修41：幾何證明選講在中，N是邊AC上一點(diǎn)，且，AB與的外接圓相切，求的值B選修42：矩陣與變換已知矩陣不存在逆矩陣，求：（1）實(shí)數(shù)a的值； （2）矩陣的特征向量C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為，直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)D選修45：不等式選講 已知，求證：【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22（本小題滿(mǎn)分10分）已知正四棱錐的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)相等，在這個(gè)正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機(jī)變量的值：若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大?。ɑ《戎疲蝗暨@兩條棱所在的直線平行，則；若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小（弧度制）（1）求的值；（2）求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望23（本小題滿(mǎn)分10分）記（且）的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，含項(xiàng)的系數(shù)為（1）求；（2）若，對(duì)成立，求實(shí)數(shù)的值；（3）對(duì)（2）中的實(shí)數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意且，都成立常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1 2真 31 42 57 6 738 9 10 11 12 13 14二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15解：（1）由正弦定理得，中，所以，所以，所以；（2）因?yàn)?，由正弦定理得，所以?6（1）證明：，所以，記交于點(diǎn)，平行四邊形對(duì)角線互相平分，則為的中點(diǎn)，又中，所以，又，所以，又，所以；（2）四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，又，所以，又，所以 17解：（1）由題意，所以，小明在地面上的身影掃過(guò)的圖形是圓環(huán)，其面積為；（2）經(jīng)過(guò)秒，小明走到了處，身影為，由（1）知，所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，答：，當(dāng)（秒）時(shí)，的最小值為（米）18解：（1）由題意，消去y得，解得，所以，所以；（2）由（1），右準(zhǔn)線方程為，直線的方程為，所以，所以，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為19解：（1）方法一：因?yàn)?，所以，?得，即，又，則，即在中令得，即綜上，對(duì)任意，都有，故數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列又，則方法二：因?yàn)?，所以，又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 因此，即當(dāng)時(shí)，又也符合上式，故，故對(duì)任意，都有，即數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列（2）令，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以 考察函數(shù)，因?yàn)?，所以在上遞增 因此，從而因?yàn)閷?duì)任意的，總存在數(shù)列中的兩個(gè)不同項(xiàng)，使得，所以對(duì)任意的都有，明顯若，當(dāng)時(shí)，有，不符合題意，舍去；若，當(dāng)時(shí)，有，不符合題意，舍去；故20解：（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，令，得 0極大值 當(dāng)時(shí)，的極大值為，無(wú)極小值（2），由題意對(duì)恒成立，對(duì)恒成立對(duì)恒成立令， 則，若，即，則對(duì)恒成立， 在上單調(diào)遞減， 則，與矛盾，舍去；若，即，令，得， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)， 綜上（3）當(dāng)時(shí)， 令， 則，令，得 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， 恒成立，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 其中， 又， 存在唯一，使得， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，由和可知，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，取極大值 ， ，又，常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)（附加題） 參考答案21、【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分A選修41：幾何證明選講解：記外接圓為圓O，AB、AC分別是圓O的切線和割線，所以，又，所以與相似，所以，所以，B選修42：矩陣與變換（2），即，所以，解得時(shí)，屬于的一個(gè)特征向量為；時(shí)，屬于的一個(gè)特征向量為C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：曲線，直線，圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)D選修45：不等式選講證明：，不妨設(shè)，則，由排序不等式得，所以【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分22解