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數(shù)值分析試題集（試卷一）一（10分）已知，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，判斷及有幾位有效數(shù)字。二（10分）由下表求插值多項(xiàng)式01223411三（15分）設(shè)，H（x）是滿足下列條件的三次多項(xiàng)式求，并證明之。四（15分）計(jì)算，。五（15分）在0，2上取，用二種方法構(gòu)造求積公式，并給出其公式的代數(shù)精度。六（10分）證明改進(jìn)的尢拉法的精度是2階的。七（10分）對模型，討論改進(jìn)的尢拉法的穩(wěn)定性。八（15分）求方程在-1.2附近的近似值，。（試卷二）一 填空（4*2分）1 是區(qū)間0，1上的權(quán)函數(shù)為的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式族，其中，則，。2 ，則， 。3 設(shè)，當(dāng)滿足條件時，A可作LU分解。4 設(shè)非線性方程，其根，則求的近似值時，二階局部收斂的牛頓迭代公式是。二（8分）方程組AX=b，其中，1 試?yán)玫諗康某湟獥l件求出使雅可比迭代法收斂的的取值范圍，取何值時雅可比迭代收斂最快？2 選擇一種便于計(jì)算的迭代收斂的充要條件，求出使高斯-塞德爾迭代法收斂的的取值范圍。三（9分）常微分方程初值問題的單步法公式為，求該公式的精度。四（14分）設(shè)為對稱正定方程組1 求使迭代過程收斂的數(shù)的變化范圍；2 用此法解方程組（取初值，小數(shù)點(diǎn)后保留4位，給出前6次迭代的數(shù)據(jù)表）。(試卷三)一 設(shè)，求的譜半徑，范數(shù)為1的條件數(shù)。二 設(shè)，分別計(jì)算該函數(shù)的二、三階差商，。三 設(shè)向量1 若定義，問它是不是一種向量范數(shù)？請說明理由。2 若定義，問它又是不是一種向量范數(shù)？請說明理由。四 設(shè)，將矩陣分解為，其中是對角線元素的下三角陣。五 設(shè)有解方程的迭代法1 證明：對任意，均有（為方程的根）；2 取，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；3 此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。六 對于求積公式1 求該求積公式的代數(shù)精度；2 證明它為插值型的求積公式。（試卷四）一 填空題（每空5分，共25分）1 設(shè)精確值為，若取近似值，該近似值具有位有效數(shù)字。2 設(shè)，則三階差商。3 ，則。4 設(shè)，當(dāng)滿足條件 時，必有分解式A=LLT，其中L是對角線元素為正的下三角陣。5 求積公式的代數(shù)精度為。二（10分）設(shè)，試求一個次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式，使得三（20分）1 利用埃米特插值多項(xiàng)式推導(dǎo)帶有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的求積公式且其余項(xiàng)為 2 利用這個公式推導(dǎo)所謂帶修正項(xiàng)的復(fù)化梯形求積公式這里：四（15分）試確定系數(shù)，使微分方程的數(shù)值計(jì)算公式具有盡可能高的局部截?cái)嗾`差。（符號說明：）五（15分）方程在附近有根，對于給定的迭代關(guān)系式，試問：1、問迭代是否收斂；若收斂，用列表形式給出其前6步迭代的近似根。2、估計(jì)該迭代式的收斂速度。六（15分）方程組，其中，試?yán)玫諗康臈l件給出使雅可比迭代法收斂的的取值范圍，給出使雅可比迭代收斂最快的取值，并用2至3個的具體值進(jìn)行計(jì)算，數(shù)值化地說明其迭代收斂的快慢程度。（說明：數(shù)值實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)請以列表形式寫出。）（試卷五）一 填空題（每空5分，共25分）1 已知，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。2 設(shè)，則二階差商。3 ，則。4 設(shè)，當(dāng)滿足條件 時，A可作LU分解。5 設(shè)是互異節(jié)點(diǎn)，對于，。二（10分）由下表求插值多項(xiàng)式01223411三（25分）1 設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用泰勒展開推導(dǎo)以下求積公式2 利用這個公式推導(dǎo)以下復(fù)化求積公式這里：3 對于給定精度，利用上述求積公式，選取合適的求積步長，計(jì)算的近似值。四（10分）常微分方程初值問題的數(shù)值公式為，求該公式的精度。五（15分）設(shè)有解方程的迭代法1 證明：對任意，均有（為方程的根）；2 取，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；3 此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。六（15分）設(shè)方程組1 給出雅可比迭代算式；2 說明其收斂性；3 取初始向量，給出其前6步迭代所求出的近似值。（說明：數(shù)據(jù)請以列表形式寫出。）（試卷六）一 填空題（每空5分，共25分）1 已知，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。2 設(shè)，則二階差商。3 ，則。4 設(shè)，當(dāng)滿足條件 時，A可作LU分解。5 設(shè)是互異節(jié)點(diǎn)，對于，。二（10分）由下表求插值多項(xiàng)式01223411三（25分）1 設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用泰勒展開推導(dǎo)以下求積公式2 利用這個公式推導(dǎo)以下復(fù)化求積公式這里：3 對于給定精度，利用上述求積公式，選取合適的求積步長，計(jì)算的近似值。四（10分）常微分方程初值問題的數(shù)值公式為，求該公式的精度。五（15分）設(shè)有解方程的迭代法1 證明：對任意，均有（為方程的根）；2 取，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；3 此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。六（15分）設(shè)方程組1 給出雅可比迭代算式；2 說明其收斂性；3 取初始向量，給出其前6步迭代所求出的近似值。（說明：數(shù)據(jù)請以列表形式寫出。）（試卷六）一 填空題（每空5分，共25分）1 設(shè)精確值為，若取近似值，該近似值具有位有效數(shù)字。2 設(shè)，則三階差商。3 ，則。4 設(shè)，當(dāng)滿足條件 時，必有分解式A=LLT，其中L是對角線元素為正的下三角陣。5 求積公式的代數(shù)精度為。二（10分）設(shè)，試求一個次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式，使得三（20分）1 利用埃米特插值多項(xiàng)式推導(dǎo)帶有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的求積公式且其余項(xiàng)為 2 利用這個公式推導(dǎo)所謂帶修正項(xiàng)的復(fù)化梯形求積公式這里：四（15分）試確定系數(shù)，使微分方程的數(shù)值計(jì)算公式具有盡可能高的局部截?cái)嗾`差。（符號說明：）五（15分）方程在附近有根，對于給定的迭代關(guān)系式，試問：1、問迭代是否收斂；若收斂，用列表形式給出其前6步迭代的近似根。2、估計(jì)該迭代式的收斂速度。六（15分）方程組，其中，試?yán)玫諗康臈l件給出使雅可比迭代法收斂的的取值范圍，給出使雅可比迭代收斂最快的取值，并用2至3個的具體值進(jìn)行計(jì)算，數(shù)值化地說明其迭代收斂的快慢程度。（說明：數(shù)值實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)請以列表形式寫出。）（試卷七）一 填空題（每空4分，共24分）1 已知，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。2 設(shè)，當(dāng)滿足條件時，A可作LU分解。3 設(shè)非線性方程，其根，則求的近似值時，二階局部收斂的牛頓迭代公式是。4 設(shè)，則， 。5 用積分計(jì)算，為使誤差的絕對值不超過，問用復(fù)化梯形公式至少要取個結(jié)點(diǎn)。二（21分）設(shè)，插值條件如下表012234111 給出滿足上述插值條件的插值多項(xiàng)式；2 求其余項(xiàng)；3 給出，的近似值。三（25分）設(shè)1 推導(dǎo)中矩公式 ；2 導(dǎo)出復(fù)化中矩公式；3 利用復(fù)化中矩公式，計(jì)算定積分（精度為，并將各次復(fù)化的計(jì)算結(jié)果排成一張數(shù)據(jù)表）。四（15分）求常數(shù)、，使解微分方程初值問題，的下列數(shù)值計(jì)算公式 （1）的局部截?cái)嗾`差盡可能地高( 假設(shè)（1）式右端所用信息均為準(zhǔn)確的 )。五（15分）設(shè)為對稱正定方程組1 求使迭代過程收斂的數(shù)的變化范圍；2 用此法解方程組（取初值，給出前6次迭代的數(shù)據(jù)表）。第1問提示：考慮使迭代矩陣的范數(shù)的取值。（試卷八）一（15分）已知精確值為，若取近似值，試問該近似值具有幾位有效數(shù)字。二（15分）方程在附近有根，對于給定的迭代關(guān)系式，試問：1、 該迭代是否收斂？2、若收斂，估計(jì)收斂速度。三（15分）已知函數(shù)表如下，求二次拉氏插值多項(xiàng)式。x314y425四（20分）在1，1上，取節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造插值型求積公式，并求它的代數(shù)精度。五（15分）寫出線性方程組的雅可比迭代式。六（20分）試確定系數(shù)，使微分方程的數(shù)值計(jì)算公式具有盡可能高的局部截?cái)嗾`差。（符號說明：）（試卷九）一 填空題（每空4分，共24分）1 已知，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。，從而故具有4位有效數(shù)字。2 設(shè)，當(dāng)滿足何條件時，A可作LU分解。若，即：，則A可作LU分解。3 設(shè)非線性方程，其根，則求的近似值時，求其二階局部收斂的牛頓迭代公式。，其迭代式為，故因此，上述迭代為二階局部收斂的4 設(shè)，求，。，5 用積分計(jì)算，為使誤差的絕對值不超過，問用復(fù)化梯形公式至少要取多少個結(jié)點(diǎn)。，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化梯形求積公式，其誤差為，欲使，取，結(jié)點(diǎn)個數(shù)即可。二（21分）設(shè)，插值條件如下表012234111 給出滿足上述插值條件的插值多項(xiàng)式；2 求其余項(xiàng)；3 給出，的近似值。設(shè)，利用插值條件可得線性方程組，利用圖形計(jì)算器，解此線性方程組可得 ，令，其中使為異于0，1，2的點(diǎn)在0，1，2，四個互異點(diǎn)處值為零，據(jù)羅爾定理與插值條件，在0，2上有五個互異的零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾定理可知，在（0，2）上，至少存在一點(diǎn)，使，亦即，故在函數(shù)庫中建立插值多項(xiàng)式，可求得，三（25分）設(shè)1 推導(dǎo)中矩公式 ；2 導(dǎo)出復(fù)化中矩公式；3 利用復(fù)化中矩公式，計(jì)算定積分（精度為，并將各次復(fù)化的計(jì)算結(jié)果排成一張數(shù)據(jù)表）。兩邊積分有 ，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化中矩公式復(fù)化中矩公式為，其中，截?cái)嗾`差為欲計(jì)算定積分，這里，欲使，即 ，可取于是 ，在HP38G上進(jìn)行計(jì)算可得 四（15分）求常數(shù)、，使解微分方程初值問題，的下列數(shù)值計(jì)算公式 （1）的局部截?cái)嗾`差盡可能地高( 假設(shè)（1）式右端所用信息均為準(zhǔn)確的 )。由于假定了（1）式右端所用信息均為準(zhǔn)確的，從而將之與的展開式相比較，有解得 所求的數(shù)值公式為 五（15分）設(shè)為對稱正定方程組1 求使迭代過程收斂的數(shù)的變化范圍；2 用此法解方程組（取初值，給出前6次迭代的數(shù)據(jù)表）。（第1問提示：考慮使迭代矩陣譜半徑時的取值。）因?yàn)殡A對稱正定矩陣，故可設(shè)，是的特征根，對于迭代，其迭代矩陣的特征值為 從而 欲使，只需 ，即 ， 因此，只需 即可。對于矩陣，利用HP38G，可求得其特征值為，故不妨取，于是有迭代式將存入M1，將存入M2，將迭代初值存入M3，在HOME窗口輸入迭代式 M1*M3+M2 M3，作四次迭代，可出得如下數(shù)表0050611080750752075090775308375087507625408187509187508508593750909375080937560859375092968750834375（試卷十）一 填空題（每空4分，共24分）1 已知，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。，從而故具有4位有效數(shù)字。2 設(shè)，當(dāng)滿足何條件時，A可作LU分解。若，即：，則A可作LU分解。3 設(shè)非線性方程，其根，則求的近似值時，求其二階局部收斂的牛頓迭代公式。，其迭代式為，故因此，上述迭代為二階局部收斂的4 設(shè)，求，。，5 用積分計(jì)算，為使誤差的絕對值不超過，問用復(fù)化梯形公式至少要取多少個結(jié)點(diǎn)。，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化梯形求積公式，其誤差為，欲使，取，結(jié)點(diǎn)個數(shù)即可。二（21分）設(shè)，插值條件如下表012234111 給出滿足上述插值條件的插值多項(xiàng)式；2 求其余項(xiàng)；3 給出，的近似值。設(shè)，利用插值條件可得線性方程組，利用圖形計(jì)算器，解此線性方程組可得 ，令，其中使為異于0，1，2的點(diǎn)在0，1，2，四個互異點(diǎn)處值為零，據(jù)羅爾定理與插值條件，在0，2上有五個互異的零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾定理可知，在（0，2）上，至少存在一點(diǎn)，使，亦即，故在函數(shù)庫中建立插值多項(xiàng)式，可求得，三（25分）設(shè)1 推導(dǎo)中矩公式 ；2 導(dǎo)出復(fù)化中矩公式；3 利用復(fù)化中矩公式，計(jì)算定積分（精度為，并將各次復(fù)化的計(jì)算結(jié)果排成一張數(shù)據(jù)表）。兩邊積分有 ，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化中矩公式復(fù)化中矩公式為，其中，截?cái)嗾`差為欲計(jì)算定積分，這里，欲使，即 ，可取于是 ，在HP38G上進(jìn)行計(jì)算可得 四（15分）求常數(shù)、，使解微分方程初值問題，的下列數(shù)值計(jì)算公式 （1）的局部截?cái)嗾`差盡可能地高( 假設(shè)（1）式右端所用信息均為準(zhǔn)確的 )。由于假定了（1）式右端所用信息均為準(zhǔn)確的，從而將之與的展開式相比較，有解得 所求的數(shù)值公式為 五（15分）設(shè)為對稱正定方程組1 求使迭代過程收斂的數(shù)的變化范圍；2 用此法解方程組（取初值，給出前6次迭代的數(shù)據(jù)表）。（第1問提示：考慮使迭代矩陣譜半徑時的取值。）因?yàn)殡A對稱正定矩陣，故可設(shè)，是的特征根，對于迭代，其迭代矩陣的特征值為 從而 欲使，只需 ，即 ， 因此，只需 即可。對于矩陣，利用HP38G，可求得其特征值為，故不妨取，于是有迭代式將存入M1，將存入M2，將迭代初值存入M3，在HOME窗口輸入迭代式 M1*M3+M2 M3，作四次迭代，可出得如下數(shù)表0050611080750752075090775308375087507625408187509187508508593750909375080937560859375092968750834375（試卷十一）一 填空題（每空4分，共24分）1 已知，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。，從而故具有4位有效數(shù)字。2 設(shè)，當(dāng)滿足何條件時，A可作LU分解。若，即：，則A可作LU分解。3 設(shè)非線性方程，其根，則求的近似值時，求其二階局部收斂的牛頓迭代公式。，其迭代式為，故因此，上述迭代為二階局部收斂的4 設(shè)，求，。，5 用積分計(jì)算，為使誤差的絕對值不超過，問用復(fù)化梯形公式至少要取多少個結(jié)點(diǎn)。，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化梯形求積公式，其誤差為，欲使，取，結(jié)點(diǎn)個數(shù)即可。二（21分）設(shè)，插值條件如下表012234111 給出滿足上述插值條件的插值多項(xiàng)式；2 求其余項(xiàng)；3 給出，的近似值。設(shè)，利用插值條件可得線性方程組，利用圖形計(jì)算器，解此線性方程組可得 ，令，其中使為異于0，1，2的點(diǎn)在0，1，2，四個互異點(diǎn)處值為零，據(jù)羅爾定理與插值條件，在0，2上有五個互異的零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾定理可知，在（0，2）上，至少存在一