【數(shù)學(xué)分析課件@北師大】06收斂判別法.pdf

2012 8 101 級(jí)數(shù) 收斂判別法 2012 8 102 內(nèi)容提要 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)和判斂法 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和一致收斂 求和號(hào)下取極限 冪級(jí)數(shù)與Taylor展開 三角級(jí)數(shù)與Fourier展開 Weierstrass定理 2012 8 103 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義復(fù)習(xí) 級(jí)數(shù)定義 對(duì)于數(shù)列 稱 為級(jí)數(shù) 無窮和 稱為級(jí)數(shù)為前n項(xiàng)和 或第n個(gè)部分和 簡稱部分和 稱為級(jí)數(shù) 的部分和序列 數(shù)列中的項(xiàng)也稱為級(jí)數(shù)的項(xiàng) 1n n a n n n aaaa 21 1 n k kn as 1 1n n a 1n n s 1n n a 2012 8 104 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂復(fù)習(xí) 級(jí)數(shù)收斂 如果部分和序列收斂就說 級(jí)數(shù)收斂 并且定義部分和序列的 極限為級(jí)數(shù)的和 記為 1n n s 1n n a 1n n a 1n n s S n n k n k n n n saa limlim 11 2012 8 105 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散復(fù)習(xí) 級(jí)數(shù)發(fā)散 如果部分和序列發(fā)散就說 級(jí)數(shù)發(fā)散 特別當(dāng)部分和序列發(fā)散向 或 記為 或 1n n s 1n n a 1n n a 1n n a 2012 8 106 收斂級(jí)數(shù)的線性性質(zhì) 若級(jí)數(shù)和收斂 則級(jí)數(shù) 收斂 且 1n n a 1n n b R 1 n nn ba 111 n n n n n nn baba 2012 8 107 級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)的 前有限項(xiàng)無關(guān) 設(shè)N是一個(gè)給定的正整數(shù) 則級(jí)數(shù)的 斂散性 即收斂與否 與級(jí)數(shù)的斂散性 相同 證明 習(xí)題 1n n a Nn n a 2012 8 108 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的分類 按級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)分為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如 果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都非負(fù) 和變號(hào)級(jí)數(shù) 如果有的項(xiàng)為正 也有的項(xiàng)為負(fù) 對(duì)收斂級(jí)數(shù)按其絕對(duì)值級(jí)數(shù)是 否收斂分為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂 級(jí)數(shù) 1n n a 2012 8 109 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則 Cauchy準(zhǔn)則 級(jí)數(shù)收斂的充分必要條 件是 0 N m n N 推論 如果絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂 則級(jí)數(shù) 收斂 1n n a a m nk k 1 因此 1n n a0lim n n a n n ss lim1 nnn ssa 0limlimlimlim 11 ssssssa n n n n nn n n n 2012 8 1012 例題二 下列級(jí)數(shù)發(fā)散 111 1 3 cos 2 1 1 nn n n n n n n n 2012 8 1013 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原理 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分 和數(shù)列有上界 證明證明 此時(shí)部分和數(shù)列單調(diào)遞增的 由單調(diào)數(shù)列收斂定理就得到結(jié)論 2012 8 1014 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較原理 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且存在N 當(dāng)n N時(shí) 則下列兩個(gè)結(jié)論成立 若收斂 則收斂 若發(fā)散 則發(fā)散 證明 練習(xí) 1n n a 1n n b nn ba 1n n b 1n n b 1n n a 1n n a 2012 8 1015 比較原理的極限形式 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 存在N 當(dāng)n N時(shí) 如果 則下列結(jié)論 成立 1 若 收斂 則收斂 2 若 發(fā)散 則發(fā)散 0 n a l a b n n n lim 1n n a 1n n b 0 l 1n n b 1n n b 1n n a 1n n a 0 l 2012 8 1016 例題三 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性 11 11 2 1 2 1 5 1 cos1 4 13 1 3 43 1 2 sin 1 nn nnn nn n nnnn n 2012 8 1017 正項(xiàng)級(jí)數(shù)積分判斂法 設(shè)級(jí)數(shù)滿足 其中 是 1 上單調(diào)下降的正函數(shù) 則級(jí)數(shù)的 斂散性 即收斂與否 與積分的斂散性相 同 證明 習(xí)題 1n n a 1nfan n 1n n a 1 f 2012 8 1018 例題四 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性 211 3 ln 1 2 1 1 nn n p n p r nnn 2012 8 1019 兩類標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù) 幾何級(jí)數(shù) 當(dāng) r 1時(shí) 收斂 p 1時(shí) 發(fā)散 證明 積分判斂法 1 1 n n r 1 1 n p n 2012 8 1020 級(jí)數(shù)的例子 Euler常數(shù) 不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件 例子 調(diào)和級(jí)數(shù) n k n n n knn 11 1ln 1 lim 1 1ln 1 0lim n n a 1n n a 1 1 n n 2012 8 1021 參照幾何級(jí)數(shù)的判斂法 d Alambert 達(dá)蘭貝爾 判斂法 Cauchy 柯西 判斂法 2012 8 1022 d Alambert 達(dá)蘭貝爾 判斂法 設(shè)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)為正 如果極限 則 q1時(shí) 級(jí)數(shù)發(fā)散 q 1 時(shí)需用其他方法 1n n a q a a n n n 1 lim 2012 8 1023 Cauchy 柯西 判斂法 對(duì)于任意級(jí)數(shù) 如果上極限 則 q1時(shí) 級(jí)數(shù)發(fā)散 q 1 時(shí)需用其他方法 1n n a qa n n n suplim 2012 8 1024 例題五 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 1 ln 2 ln 11 1 1 4 1 5 ln 1 4 0 x 1 3 12 2 1 n n n n nn n k k n n n n x x n n n n 2012 8 1025 正項(xiàng)級(jí)數(shù)第二比較原理 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且存在N 當(dāng)n N時(shí) 則下列兩個(gè)結(jié)論成立 若收斂 則收斂 若發(fā)散 則發(fā)散 證明 練習(xí) 1n n a 1n n b n n n n b b a a 11 1n n b 1n n b 1n n a 1n n a 2012 8 1026 參照p級(jí)數(shù)的判斂法 Raabe 拉貝 1801 1859 瑞士 判斂法 設(shè)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)為正 如果極限 q 1時(shí) 級(jí)數(shù)收斂 q1時(shí) 為簡單起見 設(shè) 即 注意到 因此 r a a nnr n n 211 1 0 1 n r a a n n n 21 1 1 1 r nn r NnN 1 1 1 21 1 r r n n n n a a NnN 1 1 1 1 2012 8 1028 拉貝判斂法證明 續(xù) q n n n n nn n e e n n x nxx n nn n 2012 8 1030 變號(hào)級(jí)數(shù)的判斂法 Dirichlet判斂法 Leibniz判斂法 Abel判斂法 2012 8 1031 Dirichlet判斂法 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞減到零 級(jí)數(shù)的 部分和序列一致有界 則級(jí)數(shù)收斂 并 且 1n n a 1n n b 1n nnb a 11 1 1 n n k knn n nn baaba 2012 8 1032 Dirichlet判斂法的證明 注意等式 右端的級(jí)數(shù)收斂 考慮左端級(jí) 數(shù)的部分和 令n趨于無窮 就得到等式 n j jn n k k j jkk n k kk babaaba 1 1 11 1 1 2012 8 1033 Leibniz判斂法 設(shè)數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞減到零 則級(jí)數(shù) 收斂 證明 取 然后應(yīng)用Dirichlet判 斂法 1n n a 1 1 n n n a n n b 1 2012 8 1034 Abel判斂法 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞減地收斂到A 級(jí)數(shù) 收斂 則級(jí)數(shù)收斂 并且 證明 由Dirichlet判斂法 右端第一個(gè)級(jí) 數(shù)收斂 余下利用級(jí)數(shù)的線性性質(zhì) 1n n a 1n n b 1n nnb a 111 n n n nn n nn bAbAaba 2012 8 1035 例題七 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散