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第二章 塞瓦定理及應用【基礎知識】塞瓦定理 設，分別是的三邊，或其延長線上的點，若，三線平行或共點，則證明 如圖2-1（）、（），若，交于一點，則過作的平行線，分別交，的延長線于，得又由，有從而若，三線平行，可類似證明（略）注 （1）對于圖2-1（）、（）也有如下面積證法：由：，即證（2）點常稱為塞瓦點（3）共點情形的塞瓦定理與梅涅勞斯定理可以互相推證首先，由梅涅勞斯定理推證共點情形的塞瓦定理如圖2-1（）、（），分別對及截線，對及截線應用梅涅勞斯定理有 ，上述兩式相乘，得其次，由共點情形的塞瓦定理推證梅涅勞斯定理如圖2-2，設，分別為的三邊，所在直線上的點，且，三點共線令直線與交于點，直線與交于點，直線與交于點分別視點，為塞瓦點，應用塞瓦定理，即對及點（直線，的交點），有對及點（直線，的交點），有對及點（直線，的交點），有對及點（直線，的交點），有對及點（直線，的交點），有對及點（直線，的交點），有上述六式相乘，有故塞瓦定理的逆定理 設，分別是的三邊，或其延長線上的點，若，則，三直線共點或三直線互相平行證明若與交于點，設與的交點為，則由塞瓦定理，有，又已知有，由此得，即，亦即，故與重合，從而，三線共點若，則代入已知條件，有，由此知，故上述兩定理可合寫為：設，分別是的，所在直線上的點，則三直線，平行或共點的充要條件是第一角元形式的塞瓦定理 設，分別是的三邊，所在直線上的點，則三直線，平行或共點的充要條件是證明 由，三式相乘，再運用塞瓦定理及其逆定理，知結論成立第二角元形的塞瓦定理 設，分別的三邊，所在直線上的點，是不在的三邊所在直線上的點，則，平行或共點的充要條件是證明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有由此即證得結論注 在上述各定理中，若采用有向線段或有向角，則、式的右端仍為1特別要注意的是三邊所在直線上的點或者兩點在邊的延長線上，或者沒有點在邊的延長線上、式中的角也可按式的對應線段記憶推論 設，分別是的外接圓三段弧，上的點，則，共點的充要條件是證明 如圖2-3，設的外接圓半徑為，交于，交于，交于由，六點共圓及正弦定理，有同理，三式相乘，并應用第一角元形式的塞瓦定理即證為了使讀者熟練地應用塞瓦定理，針對圖2-4中的點、，將其作為塞瓦點，我們寫出如下式子：對及點有 ，對及點有 ，對及點有 ，對及點有 ，對及點有 ，對及點有 ，對及點有 ，對及點有 【典型例題與基本方法】1恰當?shù)剡x擇三角形及所在平面上的一點，是應用塞瓦定理的關鍵例1 四邊形兩組對邊延長分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連線的線段（1978年全國高中競賽題）證明 如圖2-5，四邊形的兩組對邊延長分別交于，對角線，的延長線交于對及點，應用塞瓦定理，有由，有，代入上式，得，即命題獲證例2 如圖2-6，銳角中，是邊上的高，是線段內(nèi)任一點，和的延長線分別交，于，求證：（1994年加拿大奧林匹克試題）證法1 對及點，應用塞瓦定理，有過作，延長，分別交于，則，且，從而，而由，有，故由此知為等腰底邊上的高，故證法2 對及點應用塞瓦定理，有即，由銳角性質(zhì)知類似地，對及截線或對及截線應用梅涅勞斯定理也可證得有注 將此例中的平角變?yōu)殁g角，則有如下：例3 如圖2-7，在四邊形中，對角線平分在上取一點，與相交于，延長交于求證：（1999年全國高中聯(lián)賽題）證明 連交于，對及點，應用塞瓦定理，有平分，由角平分線性質(zhì)，可得，故過點作的平行線交的延長線于，過點作的平行線交的延長線于，則所以從而，又，有因此，即有故 注 由此例還可變出一些題目，參見練習題第4、5及19題例4 如圖2-8，是的中線，在上，分別延長，交，于，過作交于，及為正三角形求證：為正三角形證明 連，對及點應用塞瓦定理，有而，則由，由于是，有，從而，即知四邊形為平行四邊形，有又，則而，知，有，于是故為正三角形例5 如圖2-9，在一個中，為內(nèi)滿足及的一點求證：是的三等分線（1994年香港代表隊選拔賽題）證明 用表示的度量，令，則，（其中注意）， 對及點，應用第一角元形式的塞瓦定理，有亦即 于是 ，即 而，則因 ，則 ，即從而故 ，即是的三等分線利用第一角元形式的塞瓦定理可簡捷處理2009年全國高中聯(lián)賽加試第一題的第1問：例6 設、分別為銳角（）的外接圓上弧、的中點過點作交圓于點，為的內(nèi)心，聯(lián)結并延長交圓于點求證：證明 事實上，易知、及、分別三點共線，對及點應用第一角元形式的塞瓦定理，有由知，有于是式即為故2注意塞瓦定理逆定理的應用以及與梅涅勞斯定理的配合應用例7 如圖2-10，在中，為上給定的一點（不是線段的中點）設為直線上與，都不相同的任意一點，并且直線，交于，直線，交于，直線，交于試證明交點與在直線上的位置無關（1990年蘇州市高中競賽題）證明 設分線段為定比，分線段為定比下證由確定，即當，給定后，點的位置由點唯一確定在中，由，交于一點，應用塞瓦定理，有，即對及截線，應用梅涅勞斯定理，得，即上述兩式相加，得從而，即，故由唯一確定因此，點與在直線上的位置無關例8 如圖2-11，設為內(nèi)任一點，在形內(nèi)作射線，使得，求證：，三線共點證法1 設交于，交于，交于，則由正弦定理有同理，,將上述三式相乘，并應用正弦定理，有由塞瓦定理的逆定理，知，共點證法2 設交于，交于，交于，直線交于，直線交于，直線交于對及點，應用塞瓦定理，有 在和中應用正弦定理，有同理，以上三式相乘，并注意到式，有由塞瓦定理的逆定理，知，共點證法3 設交于，交于，交于，直線交于，直線交于，直線交于對及點，應用角元形式的塞瓦定理，有由題設，則有，于是 ，對，應用角元形式的塞瓦定理的逆定理，知，三線共點例9 如圖2-12，四邊形內(nèi)接于圓，其邊與的延長線交于點，與的延長線交于點，過點作該圓的兩條切線，切點分別為和求證：，三點共線（1997年試題）證明 連分別交，于，設與交于要證，三點共線，只須證明，和，都三點共線，又只須證明，三線共點由塞瓦定理的逆定理知只須證明又直線截，應用梅涅勞斯定理，有，從而只須證明設圓心為，連交于，連，則由切割線走理和射影定理，有，即知，四點共圓，有，此表明為的內(nèi)角的外角平分線而，則平分于是，結論獲證【解題思維策略分析】1獲得線段比例式的一種手段例10 如圖2-13，中，分別為和同方向延長線上的點，與相交于，且若點滿足（為常數(shù)），則證明 設交于，對及其形外一點，應用塞瓦定理，有而，則不妨設，則，即有，于是，故此時，點到的距離不小于到的距離，則過作必交延長線于一點，設為又作的外接圓交于另一點，則四邊形為等腰梯形當時，由，知必在線段上，于是，（同弧上的圓外角小于同弧上的圓周角）又由，知故結論獲證2轉化線段比例式的一座橋梁例11 設為內(nèi)任一點，分別交，于，求證：證明 如圖2-14，記，對及點，應用塞瓦定理，有對及截線，應用梅涅勞斯定理，有，即由合比定理得，即同理，三式相加，得例12 如圖2-15，設為內(nèi)任意一點，的延長線交對邊，于點，交于試證：證明 令，對及點，應用塞瓦定理，有對及截線，應用梅涅勞斯定理，有注意到，則有，即，故又對直線截，有而，則，故又對及截線，有，即有 ，故從而于是，其中等號由中等號成立時成立，即當且僅當亦即當且僅當，亦即時取等號此時，和之間成為如圖2-16的雙曲線的關系例13 如圖2-17，已知直線的三個定點依次為、，為過、且圓心不在上的圓，分別過、兩點且與圓相切的直線交于點，與圓交于點證明：的平分線與的交點不依賴于圓的選?。?5預選題）證明 設的平分線交于點，交圓于點，其中與是不同的兩點由于是等腰三角形，則有同理，在中，有在中，視為塞瓦點，由角元形式的塞瓦定理，有注意到，則 即 ，故結論獲證3求解三角形格點問題的統(tǒng)一方法如果三角形的三個角的度數(shù)都是10的整數(shù)倍，三角形內(nèi)一點與三角形的三個頂點分別連結后，得到的所有的角也都具有這個性質(zhì)，我們稱這樣的點為三角形的格點例14 如圖2-18，在中，和分別是和上的點，使得，是直線和的交點證明：直線和直線垂直（1998年加拿大奧林匹克試題）證明 設，則，對及點，應用第一角元形式的塞瓦定理，有從而 ，即有 注意到，知，有，故延長交于，則故注 此題也可這樣來解：由，有由于作為的函數(shù)在上嚴格遞減，所以故因此，或者過點作于，則，關于有所以，、三線共點，因此點在上，即例15 如圖2-19，在內(nèi)取一點，使得，設，求（1983年前南斯拉夫奧林匹克試題）解 設，則由第一角元形式的塞瓦定理，有 從而 ， ， 于是 注意到 ，知， ，故 所以 為所求注 此題結果也可直接由式有且，求得另外，此題也可這樣來解：由，有因為作為的函數(shù)在（，）上嚴格遞減，所以故或者由，令，則對和點應用第一角元形式的塞瓦定理，有則因為作為的函數(shù)在上嚴格遞增，所以例16 如圖2-20，具有下面性質(zhì)：存在一個內(nèi)部的點，使得，證明：是等腰三角形（1996年美國第25屆奧林匹克試題）證明 設，則由第一角元形式的塞瓦定理，有即有 ， 從而 且，故，即，從而注 此題也可這樣來求解：由，有 因為作為的函數(shù)在（，）上嚴格遞減，所以 ，即故還可對及點應用第一角元形式的塞瓦定理來求4論證直線共點的一種工具例17 如圖2-21，在四邊形中，過，的交點引，其中交，于，交，于，分別交于，則（1990年CMO選拔試題）證明 在，上分別取，使，則由對稱性可知有下列角相等，即若設，則，又，故又，故，連交于，在中，故由塞瓦定理的逆定理，知，共點，即過點由對稱性知，例18 如圖2-22，在銳角中，以點引出的高為直徑作圓交，于，再從作同樣可作出，試證：三直線，相交于一點（第29屆預選題）證明 設與，分別相交于點，由，知，即同理，設，邊上的高，的垂足分別為，且，分別與，交于，則有，由于的三條高相交于垂心，此時應用第一角元形式的塞瓦定理，得，用等角代換上式，有故由第一角元形式的塞瓦定理，知，三線共點，即，相交于一點例19 如圖2-23，四邊形內(nèi)接于圓，的延長線交于，的延長線交于，為圓上任一點，分別交圓于，若對角線與相交于，求證：，三點共線證明 連，由，有，此兩式相乘，有又由，有，此兩式相乘，有 由，得 上式兩邊同乘以，得 對及截線，應用梅涅勞斯定理，有于是 此時，應用第一角元形式的塞瓦定理的推論，知，交于一點從而，三點共直線【模擬實戰(zhàn)】習題A1在中，是上的點，是中點與交于，交于，求四邊形的面積與的面積的比2若通過各頂點的直線，共點，并且它們在邊，所在直線上的截點，關于所在邊中點的對稱點分別為，則直線，也共點3一圓交的各邊所在直線于兩點，設邊上的交點為，邊上的交點為，邊上的交點為，若，共點，則，也共點4試證：過三角形頂點且平分三角形周長的三條直線共點5將各內(nèi)角三等分，每兩個角的相鄰三等分線相交得，又，分別平分，且它們與，交于，求證：，三線共點6將的各外角三等分，每兩個外角的相鄰三等分線相交得又，分別平分，且它們與，交于，求證：，三線共點7是的內(nèi)切圓，上的切點各是，射線交于，同樣可得，試證：直線，共點8在內(nèi)部，且從，各向，所作的垂線共點，則從，各向，所作的垂線也共點9在中，為形內(nèi)一點，求的度數(shù)10在中，為形內(nèi)一點，且，求的度數(shù)（數(shù)學教學問題432題）11在中，為形內(nèi)一點，求的度數(shù)（數(shù)學教學問題491題）12在中，為的平分線上一點，使，交于，交于求證：（數(shù)學教學問題531題）13在中，為形內(nèi)一點，求的度數(shù)（數(shù)學通報問題1023題）14在中，為形內(nèi)一點，且，求的度數(shù)（數(shù)學通報問題1142題）15在中，為形內(nèi)一點，求的度數(shù)（數(shù)學通報問題1208題）16中，為形內(nèi)一點，求證：（數(shù)學通報問題1306題）17在中，為形內(nèi)兩點， 求證：，三點共線（數(shù)學通報問題1243題）18中，為形內(nèi)兩點， 求證：（數(shù)學通報問題1281題）19在中，為內(nèi)心，為上一點，滿足試求的度數(shù)（數(shù)學通報問題1073題）20，順次分別在的三邊，上，且，過，分別作，的平行線，求證：，三線共點的充要條件是，三線共點21在中，于，過任作兩射線分別交，于點，交過點的平行線于，且求證：，共點22在中，過三邊，邊中的中點，的三條等分三角形周長的直線，（，在三角形三邊上）分別交，于，求證：，三線共點23的內(nèi)切圓切，于，是內(nèi)一點，交內(nèi)切圓于兩點，其中靠近的一點為，類似定義，試證：，三線共點24在內(nèi)部，的延長線分別交，于，；的延長線分別交，于，；的延長線分別交，于，且滿足 求證：，所在直線共點（中學數(shù)學教學擂臺題（28）25給定，延長邊至，使的外接圓與以為直徑的圓相交于和設與的延長線分別交和于，求證：，共線（第15屆伊朗奧林匹克題）26在的邊上向外作三個正方形，是正方形中的邊，對邊的中點求證：直線，共點習題B1是的內(nèi)切圓，分別是，上的切點，都是的直徑求證：直線，共點（數(shù)學通報問題1396題）2四邊形的內(nèi)切圓分別與邊，相切于，求證：，四線共點（數(shù)學通報問題1370題）3銳角中，角的平分線與三角形的外接圓交于另一點，點，與此類似直線與，兩角的外角平分線交于，點，與此類似求證：（）三角形的面積是六邊形的二倍；（）三角形的面積至少是三角形面積的四倍（-30試題）4設為內(nèi)一點，使，是線段上的點，直線，分別交邊，于，求證：5在凸四邊形中，對角線平分，是的延長線上的一點，交于點，延長交的延長線于試證：6在中，為內(nèi)心，為上一點，滿足試求的度數(shù)（數(shù)學通報問題1073題）7設是等邊三角形，是其內(nèi)部一點，線段，依次交三邊，于，三點證明：（-37預選題）8在一條直線的一側畫一個半圓，是上兩點，上過和的切線分別交于和，半圓的圓心在線段上，是線段和的交點，是上的點，求證：平分（