八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章三角形的證明4角平分線教案（新版）北師大版.docx

4 角平分線課題角平分線（第一課時(shí)）課型新授課教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理2進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力，培養(yǎng)學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的能力 3.經(jīng)歷探索，猜想，證明使學(xué)生掌握研究解決問(wèn)題的方法。重點(diǎn)難點(diǎn)正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明。教具準(zhǔn)備圓規(guī)、三角尺課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程與教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法與學(xué)法1：情境引入 我們?cè)谜奂埖姆椒ㄌ剿鬟^(guò)角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，步驟如下：從折紙過(guò)程中，我們可以得出CD=CE，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等你能證明它嗎? 2：探究新知（1）引導(dǎo)學(xué)生證明性質(zhì)定理請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試著證明上述結(jié)論，然后在全班進(jìn)行交流已知：如圖，OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別為D、E求證：PD=PE證明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)(教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo))我們用公理和已學(xué)過(guò)的定理證明了我們折紙過(guò)程中得出的結(jié)論我們把它叫做角平分線的性質(zhì)定理。 (用多媒體演示)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等（2）你能寫(xiě)出這個(gè)定理的逆命題嗎?我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)線段的垂直平分線時(shí)，已經(jīng)歷過(guò)構(gòu)造其逆命題的過(guò)程，我們可以類(lèi)比著構(gòu)造角平分線性質(zhì)定理的逆命題引導(dǎo)學(xué)生分析結(jié)論后完整地?cái)⑹龀鼋瞧椒志€性質(zhì)定理的逆命題：在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上它是真命題嗎? 你能證明它嗎?沒(méi)有加“在角的內(nèi)部”時(shí)，是假命題 (由學(xué)生自己獨(dú)立思考完成，在全班討論交流，對(duì)困難學(xué)生可個(gè)別輔導(dǎo))證明如下：已知：在么AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，且PD上OA，PEOB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點(diǎn)P在么AOB的角平分線上證明：PDOA，PEOB，PDO= PEO=90在RtODP和RtOEP中OP=OP，PD=PE，RtODP RtOEP(HL定理)1=2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)逆命題利用公理和我們已證過(guò)的定理證明了，那么我們就可以把這個(gè)逆命題叫做原定理的逆定理我們就把它叫做角平分線的判定定理。（3）用直尺和圓規(guī)畫(huà)已知角的平方線及作圖的依據(jù)討論。3.鞏固練習(xí)綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題。進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推論證明能力。在學(xué)生獨(dú)立完成推理過(guò)程的基礎(chǔ)上，教師要給出書(shū)寫(xiě)示范例題：在 ABC 中， BAC = 60，點(diǎn) D 在 BC 上，AD = 10，DEAB，DFAC，垂足分別為 E，F(xiàn)，且 DE = DF，求 DE 的長(zhǎng).（4）課本例題學(xué)習(xí) 4：隨堂練習(xí) 課本第29頁(yè)1、2題。 5：課堂小結(jié)這節(jié)課證明了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，在有角的平分線（或證明是角的平分線）時(shí)，過(guò)角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)則使問(wèn)題迅速得到解決。 6：課后作業(yè)習(xí)題19第1，2，3,4題實(shí)驗(yàn)猜想驗(yàn)證”板 書(shū)1、 證明：角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。2、 利用角平分線的判定或性質(zhì)則使問(wèn)題迅速得到解決：實(shí)例分析.課題角平分線（第二課時(shí)）課型新授課教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)目標(biāo)：（1）證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論（2）角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用2能力目標(biāo)：（1）進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力（2）培養(yǎng)學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的能力（3）提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力3情感與價(jià)值觀要求能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì)綜合運(yùn)用角平分線的判定和性質(zhì)定理，解決幾何中的問(wèn)題難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用教具準(zhǔn)備圓規(guī)、三角尺課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程與教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法與學(xué)法第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問(wèn)題，搭建探究平臺(tái)問(wèn)題l 習(xí)題18的第1題作三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么?能證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定正確嗎？于是，首先證明“三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)” 第二環(huán)節(jié)：展示思維過(guò)程，構(gòu)建探究平臺(tái)已知：如圖，設(shè)ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P，證明：P點(diǎn)在BAC的角平分線上證明：過(guò)P點(diǎn)作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等) 同理：PE=PFPD=PF點(diǎn)P在BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上)ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)P在證明過(guò)程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)外，還有什么“附帶”的成果呢?（PD=PE=PF，即這個(gè)交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等）于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等下面我通過(guò)列表來(lái)比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點(diǎn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)鈍角三角形交于三角形外一點(diǎn)直角三角形交于斜邊的中點(diǎn)交點(diǎn)性質(zhì)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等到三角形三邊的距離相等問(wèn)題2如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的?要求學(xué)生思考、交流。實(shí)況如下：生有一處在三條公路的交點(diǎn)A、B、C組成的ABC三條角平分線的交點(diǎn)處因?yàn)槿切稳龡l角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三邊的距離相等而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等這一點(diǎn)剛好符合生我找到四處(同學(xué)們很吃驚)除了剛才同學(xué)找到的三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)外，我認(rèn)為在三角形外部還有三點(diǎn)作ACB、ABC外角的平分線交于點(diǎn)P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點(diǎn)P1在CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等同理還有BAC、BCA的外角的角平分線的交點(diǎn)P3；因此滿足條件共4個(gè)，分別是P、P1、P2、P3教師講評(píng)。第三環(huán)節(jié)：例題講解 例1如圖，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E(1)已知CD=4 cm，求AC的長(zhǎng)；(2)求證：AB=AC+CD分析：本例需要運(yùn)用前面所學(xué)的多個(gè)定理，而且將計(jì)算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識(shí)和方法，并能綜合運(yùn)用它們解決問(wèn)題第(1)問(wèn)中，求AC的長(zhǎng)，需求出BC的長(zhǎng)，而B(niǎo)C=CD+DB，CD=4 cIn，而B(niǎo)D在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長(zhǎng)第(2)問(wèn)中，求證AB=AC+CD這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE(1)解：AD是ABC的角平分線，C=90，DEABDE=CD=4cm(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等)AC=BC B=BAC(等邊對(duì)等角)C=90，B=90=45BDE=904545BE=DE(等角對(duì)等邊)在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，AC=BC=CD+BD=(4+42)cm(2)證明：由(1)的求解過(guò)程可知，RtACDRtAED(HL定理)AC=AEBE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD例2已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點(diǎn)，PCOA，PDOB，垂足分別為C、D求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線證明：(1)P是AOB角平分線上的一點(diǎn)，PCOA，PDOB，PC=PD(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)在RtOPC和RtOPD中，OP=OP，PC=PD，RtOPCRtOPD(HL定理)OC=OD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)(2)又OP是AOB的角平分線，OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢?第四環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)本節(jié)課