大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)下冊(cè)經(jīng)典課件5-4.pdf

例例2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為100g的子彈 在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一的子彈 在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一 瞬時(shí) 測(cè)得位置的不確定量為瞬時(shí) 測(cè)得位置的不確定量為 10 6米 試求子彈速米 試求子彈速 率的不確定量 率的不確定量 解 由不確定關(guān)系解 由不確定關(guān)系 hxP VmP 和和有 有 xm h V s m 106 6 27 61 34 1010 1063 6 兩者相比 前者可以忽略不計(jì) 所以坐標(biāo)及動(dòng)量?jī)蓛烧呦啾?前者可以忽略不計(jì) 所以坐標(biāo)及動(dòng)量?jī)?x2 vm x h 6 34 10 10 s mkg 10 28 置是完全確定的 其動(dòng)量是否可以完全確定 置是完全確定的 其動(dòng)量是否可以完全確定 的乒乓球的乒乓球 其直徑為其直徑為例例3 質(zhì)量為質(zhì)量為 kg10m 2 cm5d 若 若 可以認(rèn)為其位可以認(rèn)為其位 1 x sm200v m10 x 6 速度為速度為 而算出的動(dòng)量為 而算出的動(dòng)量為 解 由不確定關(guān)系解 由不確定關(guān)系算出的動(dòng)量不確定度算出的動(dòng)量不確定度 2 xP h 20010vm 2 x 者均可以同時(shí)確定 者均可以同時(shí)確定 s mkg 2 xm2 vx h 1 1031 34 sm 1010 10 17 sm10 16 x sm10v 即 宏觀粒子的動(dòng)量和位置是可以同時(shí)確定的 即 宏觀粒子的動(dòng)量和位置是可以同時(shí)確定的 穿過(guò)某種穿過(guò)某種例例4 一電子束以速度一電子束以速度 16 1001 sm vx 晶體 求速度的不確定度大小 晶體 求速度的不確定度大小 0 1Adx 解 電子的粒度為 解 電子的粒度為 速度不確定度 速度不確定度 即 微觀粒子的動(dòng)量和位置是不可能同時(shí)確定的 即 微觀粒子的動(dòng)量和位置是不可能同時(shí)確定的 5 3 4 薛定諤方程薛定諤方程 一 自由粒子的薛定諤方程一 自由粒子的薛定諤方程 考慮能量為考慮能量為E 動(dòng)量為 動(dòng)量為P的自由粒子 其波函數(shù)為 的自由粒子 其波函數(shù)為 上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)一上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)一 次次 對(duì) 對(duì)空空間坐標(biāo)求導(dǎo)間坐標(biāo)求導(dǎo) 二次二次 rPEt i 0e t r v v h v 1 并加并加以以整理后整理后有有下列方下列方程 程 t r m2 t r t i 2 2 vhv h 即即 2 上式為上式為 含含時(shí)時(shí) 的的自由粒子自由粒子 薛薛定定諤方諤方程程 2 2 2 2 2 2 2 zyx 為為拉普拉斯拉普拉斯算算符符 其中算其中算符符 P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 試用版本創(chuàng)建 中整理后為 中整理后為 r E r r U m2 2 2 vvvh 3 r v 3 式是關(guān)式是關(guān)于空于空間波函數(shù)間波函數(shù)的的方方程 程 稱稱為為定定態(tài)薛態(tài)薛定定諤諤 方方程程 其解為 其解為 定定態(tài)態(tài)波函數(shù)波函數(shù) Et i e r t r h vv 即波函數(shù)可以即波函數(shù)可以 寫寫為 為 則則粒子在粒子在空空間出間出現(xiàn)現(xiàn)的的幾幾率率密密度為 度為 二 勢(shì)場(chǎng)中粒子的定態(tài)薛定諤方程二 勢(shì)場(chǎng)中粒子的定態(tài)薛定諤方程 若粒子若粒子處于勢(shì)場(chǎng)處于勢(shì)場(chǎng)中 中 則則 r U v r U m2 p E 2 v r U v 當(dāng)勢(shì)當(dāng)勢(shì)能能不不含含時(shí)間時(shí)間變變量時(shí) 可量時(shí) 可 用分離變用分離變 量量法將法將波波 函數(shù)函數(shù)寫寫為 為 t f r t r vv 將將上上述述兩式兩式代入代入 2 2 Et i 22 e r t r h vv 2 r v 幾幾率率密密度度與與時(shí)間時(shí)間無(wú)無(wú)關(guān) 關(guān) 說(shuō)明說(shuō)明波函數(shù)波函數(shù)描述描述的是的是定定態(tài)態(tài) r U v r v 對(duì)一對(duì)一個(gè)個(gè)質(zhì)量為質(zhì)量為m 并并在在勢(shì)場(chǎng)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子中運(yùn)動(dòng)的粒子 來(lái)說(shuō)來(lái)說(shuō) 有一有一個(gè)個(gè)波函數(shù)波函數(shù)與該與該粒子運(yùn)動(dòng)的粒子運(yùn)動(dòng)的 穩(wěn)穩(wěn)定定狀態(tài)狀態(tài) 不不隨隨時(shí)時(shí) 間間變化變化 相對(duì)相對(duì)應(yīng)應(yīng) 這這一波函數(shù)一波函數(shù)滿足薛滿足薛定定諤方諤方程 程 這個(gè)這個(gè) 方方程的程的每每一一個(gè)個(gè)解解表示表示粒子運(yùn)動(dòng)的某一粒子運(yùn)動(dòng)的某一 穩(wěn)穩(wěn)定定狀態(tài)狀態(tài) 與這與這 個(gè)個(gè)解相對(duì)解相對(duì)應(yīng)應(yīng)的的常常數(shù)數(shù)就就是是這個(gè)穩(wěn)這個(gè)穩(wěn)定定態(tài)態(tài)的能量的能量E 并且該并且該 方方程程只只有有當(dāng)總當(dāng)總能量能量E具具有某有某些特些特定定值值時(shí)時(shí)才才有解 有解 這些這些 E的的值叫值叫本征值本征值 相 相應(yīng)應(yīng)的波函數(shù)的波函數(shù)叫叫本征本征函數(shù)函數(shù) 三 定態(tài)薛定諤方程的意義三 定態(tài)薛定諤方程的意義 5 3 5 一維無(wú)限深方勢(shì)阱一維無(wú)限深方勢(shì)阱 一 勢(shì)能函數(shù)一 勢(shì)能函數(shù) 設(shè)金屬設(shè)金屬中的自由電子在一中的自由電子在一 維無(wú)限深勢(shì)阱維無(wú)限深勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng) 中運(yùn)動(dòng) 則則 勢(shì)勢(shì)能能分布分布為 為 U O a U x 0U x U ax or 0 x ax0 0 二 薛定諤方程的解二 薛定諤方程的解 波函數(shù)波函數(shù) ax or 0 x 0 x 1 當(dāng)當(dāng)時(shí) 時(shí) ax0 2 在在區(qū)區(qū)間 間 薛薛定定諤方諤方程程變變?yōu)?為 0 mE2 dx d 22 2 h 令令 h mE2 k 0k dx d 2 2 2 則則 該方該方程的程的通通解為 解為 kxcosBkxsinA x 1 將邊界條件將邊界條件 0 a 0 0 代入代入上式中有 上式中有 2 00cosB0sinA 3 0kacosBkasinA 由由 2 式解得 式解得 B 0 代入代入 3 式有 式有 nka 0kasinA P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 試用版本創(chuàng)建 L 3 2 1 n a n k 由由此此可以解得 可以解得 將將上上述結(jié)果代入述結(jié)果代入 1 式有 式有 x a n sinA x n 再利用歸再利用歸 一一化條件化條件 1xdx a n sinAdx x a 0 a 0 22 2 n 解得系數(shù) 解得系數(shù) a 2 A 則則一一維無(wú)限深方勢(shì)阱維無(wú)限深方勢(shì)阱 波函數(shù)波函數(shù)為 為 L 3 2 1 n x a n sin a 2 x n 三 一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能量三 一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能量 可解出一可解出一 維無(wú)限深方勢(shì)阱維無(wú)限深方勢(shì)阱 的能量為 的能量為 L 3 2 1 n a n k 由由和和 h mE2 k ma2 n m2 k E 2 22 2 22 hh n 1 2 3 注意注意 n 0時(shí) 時(shí) 不不滿足歸滿足歸一一化條件化條件 0E0 在在無(wú)限深方勢(shì)阱無(wú)限深方勢(shì)阱 中的粒子 其能量是量子中的粒子 其能量是量子 化化的 的 2 22 1 ma2 E 1n h 即 即 稱稱為為基基態(tài)態(tài)能量能量 零點(diǎn)零點(diǎn)能能 四 幾率密度四 幾率密度 LQ 3 2 1 n x a n sin a 2 x n L 3 2 1nx a n sin a 2 x 2 2 n 在一在一維方勢(shì)阱維方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子 其波中運(yùn)動(dòng)的粒子 其波 形形為為駐駐波 波 勢(shì)阱勢(shì)阱 兩兩端端 x 0和和x a 為波為波節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 能 能級(jí)越高級(jí)越高 駐駐波的波波的波 長(zhǎng)越短長(zhǎng)越短 見見后后圖圖a 在一在一維方勢(shì)阱維方勢(shì)阱中粒子的中粒子的 分布分布情況情況由粒子由粒子概概率率密密度度決決 定 定 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)處處粒子粒子分布分布為為零零 峰峰值處值處粒子出粒子出現(xiàn)現(xiàn)的的概概率率 最最大大 見見后后圖圖b 一一 維維 無(wú)無(wú) 限限 深深 勢(shì)勢(shì) 阱阱 中中 的的 粒粒 子子 x 2 x O O a x x 1 n 2 n 3 n 4 n 1 E 2 E 3 E 4 E a P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 試用版本創(chuàng)建 五 波動(dòng)圖象五 波動(dòng)圖象 在一維方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子所 產(chǎn)生波是沿兩個(gè)相反在一維方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子所 產(chǎn)生波是沿兩個(gè)相反 方向傳播的德布羅意平面波疊加而成的駐波 兩端方向傳播的德布羅意平面波疊加而成的駐波 兩端 面粒子出現(xiàn)的幾率是零 則面粒子出現(xiàn)的幾率是零 則 L 3 2 1 n 2 na 則則 n a2 a2 nhh p m2 p E 2 由由和和可以得可以得到到能量能量 2 222 n a4 n m2 4 E h 2 22 2 ma2 n h 上上述結(jié)果與薛述結(jié)果與薛 定定諤諤推推出的出的結(jié)果結(jié)果一一致致 例例1 粒子在粒子在無(wú)限深勢(shì)阱無(wú)限深勢(shì)阱 中中處于處于基基態(tài)態(tài) 試求在 試求在 a 3 1 x1 a 3 2 x2 范圍內(nèi)找到范圍內(nèi)找到 粒子的粒子的概概率是率是多少多少 dx a x sin a 2 2 a 3 2 a 3 1 a 3 2 a 3 1 a x2 sin 4 1 a2 x2 9 60 dxP a 3 2 a 3 1 2 1 解 解 例例2 在在寬寬度為度為a 的一的一維無(wú)限深方勢(shì)阱維無(wú)限深方勢(shì)阱 中 中 當(dāng)當(dāng)粒子粒子處處 在在以及以及狀態(tài)狀態(tài)時(shí) 求時(shí) 求發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)粒子的粒子的概概率率最最大的大的 位置 位置 21 5 解 解 當(dāng)當(dāng)n 1 時(shí) 時(shí) 本征本征函數(shù)為 函數(shù)為 x a sin a 2 1 111 P x a sin a 2 2 2 a x 1x a sin 即即時(shí) 時(shí) 最最大 解出大 解出 1 P 當(dāng)當(dāng)n 2 時(shí) 時(shí) 本征本征函數(shù)為 函數(shù)為 x a 2 sin a 2 2 222 P x a 2 sin a 2 2 a 4 3 4 a x 1x a 2 sin 即即時(shí) 時(shí) 最最大 解出大 解出 2 P 當(dāng)當(dāng)n 5 時(shí) 時(shí) 本征本征函數(shù)為 函數(shù)為 x a 5 sin a 2 5 555 P x a 5 sin a 2 2 1x a 5 sin 即即時(shí) 時(shí) 最最大 解出大 解出 5 P 10 a 1k2 x 4 3 2 1 0k 其中 其中 P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 試用版本創(chuàng)建 例例3 有一微觀粒子 沿 有一微觀粒子 沿x 軸正方向運(yùn)動(dòng) 描述其運(yùn)軸正方向運(yùn)動(dòng) 描述其運(yùn) 動(dòng)的波函數(shù)為動(dòng)的波函數(shù)為 ix1 A x 1 將此將此波函數(shù)波函數(shù)歸歸一一化化 2 求出粒子坐標(biāo)的求出粒子坐標(biāo)的 幾幾率率 分布分布函數(shù) 函數(shù) 3 在在何何處處找到找到粒子的粒子的幾幾率率最最大大 解解 1 令令1dx x x 1A 2 xarctanA x1 dx A 2 2 2 則則 選取選取A的的輻角輻角為為零零 就就可得可得到到 因因此歸此歸一一化化 波函數(shù)為 波函數(shù)為 1 A ix1 11