奧數(shù)講座(5年級(jí)-上)(14講).doc

五年級(jí)奧數(shù)講座（一）目錄第一講 數(shù)的整除問題第二講 質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)第三講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)第四講 帶余數(shù)的除法第五講 奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用第六講 能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征第七講 行程問題第八講 流水行船問題第九講 “牛吃草”問題第十講 列方程解應(yīng)用題第十一講 簡單的抽屜原理第十二講 抽屜原理的一般表述第十三講 染色中的抽屜原理第十四講 面積計(jì)算第一講 數(shù)的整除問題數(shù)的整除問題，內(nèi)容豐富，思維技巧性強(qiáng)。它是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要課題，也是小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的內(nèi)容之一。一、基本概念和知識(shí)1.整除約數(shù)和倍數(shù)例如：153=5，637=9一般地，如a、b、c為整數(shù)，b0，且ab=c，即整數(shù)a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作ba.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作ba。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)；63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。2.數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（ab）。例如：如果210，26，那么2（106），并且2（106）。性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca。性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果cb，ba，那么ca。例如：如果39，927，那么327。3.數(shù)的整除特征能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（包括0）的整數(shù)，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括0）.下面“特征”含義相似。能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0或5。能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。例如：1864=180064，因?yàn)?00是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù).又因?yàn)?64，所以1864能被4整除.但因?yàn)?564，所以1864不能被25整除.能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。例如：2937529000375，因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25375，所以29375能被125整除.但因?yàn)?375，所以829375。能被11整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1的倍數(shù)。例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是97531=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是864220.因?yàn)?5205，又因?yàn)?15，所以11123456789。再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)？解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（451）-（73）0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以110.因此13574是11的倍數(shù)。能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減小）能被7（11或13）整除。例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù).因?yàn)?059-282777，又7777，所以71059282.因此1059282是7的倍數(shù)。再例如：判斷3546725能否被13整除？解：把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?212819，又13819，所以132821，進(jìn)而133546725.習(xí)題一樣的五位數(shù)。4.將自然數(shù)1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重復(fù)寫下去組成一個(gè)1993位數(shù)，試問：這個(gè)數(shù)能否被3整除？5.一本陳年老賬上記著：72只桶，共67.9元.這里處字跡已不清.請(qǐng)把處數(shù)字補(bǔ)上，并求桶的單價(jià)。6.證明：任意一個(gè)三位數(shù)連著寫兩次得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)一定能同時(shí)被7、11、13整除.習(xí)題一解答1.39312。2.8。3.32250、32550、32850。4.解：1239=45，345，又1993除以9余4，這個(gè)1993位數(shù)的最末4位數(shù)字是1234。1+2+3+4=10，310，這個(gè)1993位數(shù)不能被3整除。5.為3、2共367.92元，每只桶5.11元。所以，這個(gè)六位數(shù)一定能同時(shí)被7、11、13整除.第二講 質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)一、基本概念和知識(shí)1.質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）。一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。要特別記?。?不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2.質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例：把30分解質(zhì)因數(shù)。解：30235。其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù)。又如12223223，2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)。二、例題例1 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù).解：210=2357可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7。例2 兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是40，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？解：把40表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是391。答：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的最大乘積是391。例3 自然數(shù)123456789是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？解：123456789是合數(shù)。因?yàn)樗擞屑s數(shù)1和它本身外，至少還有約數(shù)3，所以它是一個(gè)合數(shù)。例4 連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？解：如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個(gè)質(zhì)數(shù)（如：19中有4個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個(gè)自然中最小的不小于3，那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有5個(gè).這5個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)個(gè)位數(shù)是5，因而5是這個(gè)奇數(shù)的一個(gè)因數(shù)，即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù).這樣，至多另4個(gè)奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有4個(gè)質(zhì)數(shù)。例5 把5、6、7、14、15這五個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。解：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，這些數(shù)中質(zhì)因數(shù)2、3、5、7各共有2個(gè)，所以如把14（=27）放在第一組，那么7和6（=23）只能放在第二組，繼而15（35）只能放在第一組，則5必須放在第二組。這樣1415=210=567。這五個(gè)數(shù)可以分為14和15，5、6和7兩組。例6 有三個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大6，另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是42560.求這三個(gè)自然數(shù)。分析 先大概估計(jì)一下，303030=27000，遠(yuǎn)小于42560.40404064000，遠(yuǎn)大于42560.因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在3040之間。解：42560=26571925（57）（192）323538（合題意）要求的三個(gè)自然數(shù)分別是32、35和38。例7 有3個(gè)自然數(shù)a、b、c.已知ab=6，bc=15，ac10.求abc是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a2b2c2=223252（abc）2（235）2abc=23530在例7中有a222，b2=32，c2=52，其中22=4，329，5225，像4、9、25這樣的數(shù)，推及一般情況，我們把一個(gè)自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方數(shù).下面讓我們觀察一下，把一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)有什么特征。例如：把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=2232 144=32241600=2652 275625=325472可見，一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶數(shù)。反之，如果把一個(gè)自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后，各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。如上例中，3662，144=122，1600=402，275625=5252。例8 一個(gè)整數(shù)a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù).求a的最小值與這個(gè)平方數(shù)。分析 a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù)。解：1080a=23335a，又1080=23335的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，a必含質(zhì)因數(shù)2、3、5，因此a最小為235。1080a108023510803032400。答：a的最小值為30，這個(gè)完全平方數(shù)是32400。例9 問360共有多少個(gè)約數(shù)？分析 360=23325。為了求360有多少個(gè)約數(shù)，我們先來看325有多少個(gè)約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別乘以1、2、22、23，即得到23325（=360）的所有約數(shù).為了求325有多少個(gè)約數(shù)，可以先求出5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以1、3、32，即得到325的所有約數(shù)。解：記5的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y1，325的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y2，360（=23325）的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y3.由上面的分析可知：Y3=4Y2，Y23Y1，顯然Y1=2（5只有1和5兩個(gè)約數(shù)）。因此Y34Y2=43Y1=432=24。所以360共有24個(gè)約數(shù)。說明：Y3=4Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是其中2的最大指數(shù)加1，也就是36023325中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)加1；Y2=3Y1中的“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是23325中質(zhì)因數(shù)3的個(gè)數(shù)加1；而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數(shù)的個(gè)數(shù)，即23325中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)加1.因此Y3（31）（2+1）（1+1）=24。對(duì)于任何一個(gè)合數(shù)，用類似于對(duì)23325（=360）的約數(shù)個(gè)數(shù)的討論方式，我們可以得到一個(gè)關(guān)于求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的重要結(jié)論：一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積。例10 求240的約數(shù)的個(gè)數(shù)。解：240243151，240的約數(shù)的個(gè)數(shù)是（41）（1+1）（11）=20，240有20個(gè)約數(shù)。請(qǐng)你列舉一下240的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是20個(gè)？習(xí)題二1.邊長為自然數(shù)，面積為105的形狀不同的長方形共有多少種？2.11112222個(gè)棋子排成一個(gè)長方陣.每一橫行的棋子數(shù)比每一豎列的棋子數(shù)多1個(gè).這個(gè)長方陣每一橫行有多少個(gè)棋子？3.五個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積是55440，求這五個(gè)自然數(shù)。4.自然數(shù)a乘以338，恰好是自然數(shù)b的平方.求a的最小值以及b。5.求10500的約數(shù)共有多少個(gè)？習(xí)題二解答1.105=357，105=1105=335=521=715，共有4種。2.分析每一橫行棋子數(shù)比每一豎列棋子數(shù)多1個(gè)。橫行數(shù)與豎列數(shù)應(yīng)是兩個(gè)相鄰的自然數(shù).解：11112222=33333334答案為3334。3.7、8、9、10、11。4.分析自然數(shù)a乘以338，恰好是自然數(shù)b的平方，a與338的積分解質(zhì)因數(shù)以后，每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)之和都是偶數(shù)。解：338=21313，a2，b21326。5.解：10500=223537，又（21）（1+1）（3+1）（1+1）=48。10500的約數(shù)共有48個(gè).第三講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一、基本概念和知識(shí)1.公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12；18的約數(shù)有：1，2，3，6，9，18。12和18的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作（12，18）=6。2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，12和18的公倍數(shù)有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作12，18=36。3.互質(zhì)數(shù)如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。習(xí)題三1.甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？2.一塊長方形地面，長120米，寬60米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？3.已知兩個(gè)自然數(shù)的積是5766，它們的最大公約數(shù)是31.求這兩個(gè)自然數(shù)。4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同時(shí)在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？5.將長25分米，寬20分米，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個(gè)立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？6.一箱地雷，每個(gè)地雷的重量相同，且都是超過1的整千克數(shù)，去掉箱子后地雷凈重201千克，拿出若干個(gè)地雷后，凈重183千克.求一個(gè)地雷的重量？習(xí)題三解答1.甲數(shù)是18，乙數(shù)是54。2.每兩棵之間的距離是60米，最少要種樹苗6棵。3.解：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)為A和B。A，B=576631=186。186=2331，這兩個(gè)自然數(shù)為31和186或62和93。4.10月25日。5.每個(gè)立方體的體積是125立方分米.一共可鋸60塊。6.3千克.第四講 帶余數(shù)的除法前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此之外，例如：163=51，即16=53+1.此時(shí)，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0），那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb，使得a=bq+r。當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）.用帶余除式又可以表示為ab=qr，0rb。例1 一個(gè)兩位數(shù)去除251，得到的余數(shù)是41.求這個(gè)兩位數(shù)。分析 這是一道帶余除法題，且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù).解題可從帶余除式入手分析。解：被除數(shù)除數(shù)=商余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，251=除數(shù)商+41，251-41=除數(shù)商，210=除數(shù)商。210=2357，210的兩位數(shù)的約數(shù)有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余數(shù)41.所以除數(shù)是42或70.即要求的兩位數(shù)是42或70。例2 用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)整數(shù)，商40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是933，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？解：被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)40+16。由題意可知：被除數(shù)+除數(shù)=933-40-16=877，（除數(shù)40+16）+除數(shù)=877，除數(shù)41=877-16，除數(shù)=86141，除數(shù)=21，被除數(shù)=2140+16=856。答：被除數(shù)是856，除數(shù)是21。例3 某年的十月里有5個(gè)星期六，4個(gè)星期日，問這年的10月1日是星期幾？解：十月份共有31天，每周共有7天，31=74+3，根據(jù)題意可知：有5天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。這年的10月1日是星期四。例4 3月18日是星期日，從3月17日作為第一天開始往回?cái)?shù)（即3月16日（第二天），15日（第三天），）的第1993天是星期幾？解：每周有7天，19937=284（周）5（天），從星期日往回?cái)?shù)5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合此條件的最小數(shù)。這是一道古算題.它早在孫子算經(jīng)中記有：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳著一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余數(shù)乘以70，用除以5的余數(shù)乘以21，用除以7的余數(shù)乘以15，再把三個(gè)乘積相加.如果這三個(gè)數(shù)的和大于105，那么就減去105，直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下：方法1：270+321+215=233233-1052=23符合條件的最小自然數(shù)是23。例5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：方法2：3，7+2=2323除以5恰好余3。所以，符合條件的最小自然數(shù)是23。方法2的思路是什么呢？讓我們?cè)賮砜聪旅鎯傻览}。例6 一個(gè)數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小的自然數(shù)。分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”。解：5，6-2=28，即28適合前兩個(gè)條件。想：28+5，6？之后能滿足“7除余1”的條件？28+5，64=148，148=217+1，又148210=5，6，7所以，適合條件的最小的自然數(shù)是148。例7 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合條件的最小自然數(shù)。解：想：2+3？之后能滿足“5除余3”的條件？2+32=8。再想：8+3，5？之后能滿足“7除余4”的條件？8+3，53=53。符合條件的最小的自然數(shù)是53。歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法.當(dāng)找到滿足某個(gè)條件的數(shù)后，為了再滿足另一個(gè)條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時(shí)注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。解這類題目還有其他方法，將會(huì)在有關(guān)“同余”部分講到。例8 一個(gè)布袋中裝有小球若干個(gè).如果每次取3個(gè)，最后剩1個(gè)；如果每次取5個(gè)或7個(gè)，最后都剩2個(gè).布袋中至少有小球多少個(gè)？解：2+5，71=37（個(gè)）37除以3余1，除以5余2，除以7余2，布袋中至少有小球37個(gè)。例9 69、90和125被某個(gè)正整數(shù)N除時(shí)，余數(shù)相同，試求N的最大值。分析 在解答此題之前，我們先來看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余數(shù)相同（余數(shù)都是1）。但是19-15能被2整除.由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)a和b，均被自然數(shù)m除，余數(shù)相同，那么這兩個(gè)整數(shù)之差（大-?。┮欢鼙籱整除。反之，如果兩個(gè)整數(shù)之差恰被m整除，那么這兩個(gè)整數(shù)被m除的余數(shù)一定相同。例9可做如下解答：三個(gè)整數(shù)被N除余數(shù)相同，N（90-69），即N21，N（125-90），即N35，N是21和35的公約數(shù)。要求N的最大值，N是21和35的最大公約數(shù)。21和35的最大公約數(shù)是7，N最大是7。習(xí)題四1.用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，不完全商是8，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)這四個(gè)數(shù)的和為463，求除數(shù)。2.某數(shù)除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，這個(gè)數(shù)最小是多少？3.某數(shù)除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以內(nèi)這樣的數(shù)有哪幾個(gè)？4.用卡車運(yùn)貨，每次運(yùn)9袋余1袋，每次運(yùn)8袋余3袋，每次運(yùn)7袋余2袋.這批貨至少有多少袋？5.57、96、148被某自然數(shù)除，余數(shù)相同，且不為零.求284被這個(gè)自然數(shù)除的余數(shù).習(xí)題四解答1.除數(shù)為47。2.58。3.共13個(gè).有：67，139，211，283，355，427，499，571，643，715，787，859，931。4.163。5.11.第五講 奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用一、基本概念和知識(shí)1.奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。特別注意，因?yàn)?能被2整除，所以0是偶數(shù)。2.奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2：偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5：偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)。習(xí)題五1.有100個(gè)自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這100個(gè)自然數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多.問：這些數(shù)中至多有多少個(gè)偶數(shù)？2.有一串?dāng)?shù)，最前面的四個(gè)數(shù)依次是1、9、8、7.從第五個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面相鄰四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字.問：在這一串?dāng)?shù)中，會(huì)依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)嗎？3.求證：四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)。4.把任意6個(gè)整數(shù)分別填入右圖中的6個(gè)小方格內(nèi)，試說明一定有一個(gè)矩形，它的四個(gè)角上四個(gè)小方格中的四個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)。5.如果兩個(gè)人通一次電話，每人都記通話一次，在24小時(shí)以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為_。（A）必為奇數(shù)，（B）必為偶數(shù)，（C）可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。6.一次宴會(huì)上，客人們相互握手.問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。7.有12張卡片，其中有3張上面寫著1，有3張上面寫著3，有3張上面寫著5，有3張上面寫著7.你能否從中選出五張，使它們上面的數(shù)字和為20？為什么？8.有10只杯子全部口朝下放在盤子里.你能否每次翻動(dòng)4只杯子，經(jīng)過若干次翻動(dòng)后將杯子全部翻成口朝上？9.電影廳每排有19個(gè)座位，共23排，要求每一觀眾都僅和它鄰近（即前、后、左、右）一人交換位置.問：這種交換方法是否可行？10.由14個(gè)大小相同的方格組成下列圖形（右圖），請(qǐng)證明：不論怎樣剪法，總不能把它剪成7個(gè)由兩個(gè)相鄰方格組成的長方形.習(xí)題五解答1.偶數(shù)至多有48個(gè)。2.提示：先按規(guī)律寫出一些數(shù)來，再找其奇、偶性的排列規(guī)律，便可得到答案：不會(huì)依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)。3.設(shè)四個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2n1，2n3，2n5，2n7，n為整數(shù)，則它們的和是（2n+1）（2n3）（2n5）+（2n7）2n4168n+16=8（n+2）。所以，四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是8的倍數(shù)。4.證明：設(shè)填入數(shù)分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6.有假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，則有：偶數(shù)奇數(shù)，假設(shè)不成立，命題得證。5.應(yīng)選擇（B）.參考例3。6.是偶數(shù).參考例3。7.不能.因?yàn)?個(gè)奇數(shù)的和為奇數(shù)，不可能等于20。8.能.例如第一次 78910第二次 3456第三次 2345第四次 13 459.這種交換方法是不可行的.參考例12。10.利用黑白相間染色方法可以證明：不可能剪成由7個(gè)相鄰兩個(gè)方格組成的長方形，因?yàn)閳D形中一種顏色有8格，另一種顏色有6格，而每個(gè)相鄰兩個(gè)方格組成的長方形是一黑格一白格，7個(gè)這樣的長方形共7黑格7白格.與圖形相矛盾.第六講 能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征大家知道，一個(gè)整數(shù)能被2整除，那么它的個(gè)位數(shù)能被2整除；反過來也對(duì)，也就是一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2整除，那么這個(gè)數(shù)本身能被2整除.因此，我們說“一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2整除”是“這個(gè)數(shù)能被2整除”的特征.在這一講中，我們通過尋求對(duì)于某些質(zhì)數(shù)成立的等式來導(dǎo)出能被這些質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征。為了敘述方便起見，我們把所討論的數(shù)N記為：有時(shí)也表示為我們已學(xué)過同余，用mod2表示除以2取余數(shù).有公式：Na0（mod2）Na1a0（mod4）Na2a1a0（mod8）Na3a2a1a0（mod16）這幾個(gè)公式表明一個(gè)數(shù)被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除時(shí)，如何求余數(shù)。此外，被3（9）整除的數(shù)的特征為：它的各位數(shù)字之和可以被3（9）整除.我們借用同余記號(hào)及一些運(yùn)算性質(zhì)來重新推證一下.如（mod9），如果，N=a3a2a1a0=a31000+a2100+a110+a0a3（9991）a2（99+1）a1（9+1）+a0（a3+a2+a1+a0）+（a3999+a299+a19），那么，等式右邊第二個(gè)括號(hào)中的數(shù)是9的倍數(shù)，從而有Na3a2+a1+a0（mod9）對(duì)于mod3，理由相仿，從而有公式：N（a3a2a1a0）（mod9），N（+a3a2a1a0）（mod3）。對(duì)于被11整除的數(shù)，它的特征為：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除。先看一例.N=31428576，改寫N為如下形式：N=67（11-1）5（991）8（1001-1）2（99991）4（100001-1）+1（999999+1）+3（10000001-1）=6-7+5-8+2-4+1-3+711+59981001+29999+4100001+1999999310000001。由于下面這兩行里，11、99、1001、9999、100001、999999、10000001都是11的倍數(shù)，所以N=6-75-82-41-3（mod11）。小學(xué)生在運(yùn)算時(shí)，碰上“小減大”無法減時(shí)，可以從上面N的表達(dá)式最后一行中“借用”11的適當(dāng)倍數(shù)（這樣，最后一行仍都是11的倍數(shù)），把它加到“小減大”的算式中，這樣就得到：N116-75-82-41-33（mod11）?，F(xiàn)在總結(jié)成一般性公式（推理理由與例題相仿）.則N（a0-a1+a2-a3a4-a5a6-a7+）（mod11）或者：N（a0+a2+a4+）-（a1+a3+a5+）（mod11）（當(dāng)不夠減時(shí)，可添加11的適當(dāng)倍數(shù)）。因此，一個(gè)自然數(shù)能被11整除的特征是：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除。我們這里的公式不僅包含整除情況，還包含有余數(shù)的情況。下面研究被7、11、13整除的數(shù)的特征。有一關(guān)鍵性式子：71113=1001。所以N能被7、11、13整除，相當(dāng)于能被7、11、13整除.總結(jié)為公式：（mod11）；（mod13）當(dāng)倍數(shù)）。表述為：判定某數(shù)能否被7或11或13整除，只要把這個(gè)數(shù)的末三位與前面隔開，分成兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)，取它們的差（大減?。此欠癖?或11或13整除。此法則可以連續(xù)使用。例：N=31428576.判定N是否被11整除。因?yàn)?22不能被11整除，所以N不能被11整除。例：N215332.判定N是否被7、11、13整除。由于117139，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。此方法的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)判定一個(gè)較大的數(shù)能否被7或11或13整除時(shí)，可用減法把這個(gè)大數(shù)化為一個(gè)至多是三位的數(shù)，然后再進(jìn)行判定。如N987654321.判定N能否被13整除？而654=5013+4，所以原數(shù)不能被13整除.如直接計(jì)算，很費(fèi)力：987654321=75973409134。下面研究可否被17、19整除的簡易判別法.回顧對(duì)比前面，由等式100171113的啟發(fā)，才有簡捷的“隔位相減判整除性”的方法.對(duì)于質(zhì)數(shù)17，我們有下面一些等式：176102，1759=1003，17588=9996，175882=99994，我們不妨從1759=1003出發(fā)。因此，判定一個(gè)數(shù)可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數(shù)與前面隔出數(shù)的3倍的差（大減小）是否被17整除。例：N=31428576，判定N能否被17整除。而429=2517+4，所以N不能被17整除。例：N2661027能否被17整除？又935=5517。所以N可被17整除。下面來推導(dǎo)被19整除的簡易判別法。尋找關(guān)鍵性式子：1952=988，1953=1007.因此，判定一個(gè)數(shù)可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與前面隔出數(shù)的7倍的差（大減小）是否被19整除。例：N123456789可否被19整除？又6033119+14，所以N不能被19整除。例：N=6111426可否被19整除？又57=319，所以N可被19整除：32165419=6111426。下面來推導(dǎo)被23、29整除的簡易判別法。尋找關(guān)鍵性式子，隨著質(zhì)數(shù)增大，簡易法應(yīng)該在N的位數(shù)多時(shí)起主要作用，現(xiàn)有2343510005，29345=10005，由此啟發(fā)得到一個(gè)末四位隔開的方法：因此，判定一個(gè)數(shù)可否被23或29整除，只要將其末四位與前面隔開，看末四位與前面隔出數(shù)的5倍的差（大減?。┦欠癖?3或29整除。例：N6938801能否被23或29整除？又53362323223298，所以很快判出N可被23及29整除。最后，如讀者還想尋找以上數(shù)的更簡明判別法，或被31以上質(zhì)數(shù)整除的判別法，都是可以去探索的.把這一節(jié)得到的公式簡列于下：（可在上述這些同余式的右端加上相應(yīng)質(zhì)數(shù)的適當(dāng)倍數(shù)）.后兩式?jīng)]有證明，讀者不難從999=3727，9923132啟發(fā)出“隔位加”的判別法。習(xí)題六1.公式1003=1759曾用于推導(dǎo)判定被17整除的公式，請(qǐng)說明公式也是判定被59整除的簡便公式。2.說明公式也是判定被53整除的簡便公式。3.61是質(zhì)數(shù)，并且10004=61164，你能利用這一等式導(dǎo)出判定被61整除的簡便公式嗎？4.67是質(zhì)數(shù)，1005=6715，請(qǐng)證明：（可在右端加上67的適當(dāng)倍數(shù)）。5.9947114，71是質(zhì)數(shù)，請(qǐng)導(dǎo)出判定被71整除的公式。6.N=31428576可否被37整除？習(xí)題六解答 （10071953）6.N31428576314285763200443236（mod37）.所以不可以。7.x=1。9N.所以，可以整除6，不能整除9。第七講 行程問題這一講中，我們將要研究的是行程問題中一些綜合性較強(qiáng)的題目.為此，我們需要先回顧一下已學(xué)過的基本數(shù)量關(guān)系：路程=速度時(shí)間；總路程=速度和時(shí)間；路程差=速度差追及時(shí)間。習(xí)題七1.晶晶每天早上步行上學(xué)，如果每分鐘走60米，則要遲到5分鐘，如果每分鐘走75米，則可提前2分鐘到校.求晶晶到校的路程？2.甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走67.5米，丙每分鐘走75米，甲乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時(shí)出發(fā)，丙與乙相遇后，又經(jīng)過2分鐘與甲相遇，求東西兩鎮(zhèn)間的路程有多少米？3.A、B兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開出，兩車第一次在距甲站32公里處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達(dá)乙、甲兩站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64公里處相遇，甲、乙兩站間相距多少公里？4.周長為400米的圓形跑道上，有相距100米的A、B兩點(diǎn)，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)相背而跑，兩人相遇后，乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當(dāng)甲跑到A時(shí)，乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么追上乙時(shí)，甲共跑了多少米（從出發(fā)時(shí)算起）？5.老王從甲城騎自行車到乙城去辦事，每小時(shí)騎15千米，回來時(shí)改騎摩托車，每小時(shí)騎33千米，騎摩托車比騎自行車少用1.8小時(shí)，求甲、乙兩城間的距離。6.速度為快、中、慢的三輛汽車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面一個(gè)騎車人，這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人，現(xiàn)在知道快車每小時(shí)24公里，中速車每小時(shí)20公里，那么慢車每小時(shí)行多少公里？7.在環(huán)形跑道上，兩人都按順時(shí)針方向跑時(shí)，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時(shí)針方向跑，每隔4分鐘相遇一次,問兩人各跑一圈需要幾分鐘？習(xí)題七解答1.解法1：（605+752）（7560）=30（分鐘），60（30+5）=2100（米），或75（302）=2100（米）。解法2：設(shè)路程為x米。x2100（米）。2.解法l：乙丙相遇時(shí)間：（6075）2（67.560）=36（分鐘）。東西兩鎮(zhèn)之間相距多少米？（67.575）36=5130（米）解法2：設(shè)東西兩鎮(zhèn)之間相距x米，x=5130（米）。3.A、B共行3個(gè)全程，則有：解法1：設(shè)全程為x公里，（x-32+x-64）232，x=64322，x80（公里）。解法2：設(shè)全程為x公里x-32=（64+32）2，x=80（公里）.解法3：643232（公里），32+32322=32+32+1680（公里）。4.乙從相遇點(diǎn)C跑回B點(diǎn)時(shí)，甲從C過B到A，他比乙多跑了100米.乙從B到C時(shí)，甲從A到C，說明A到C比B到C多100米.跑道周長400米，所以B到C是100米，A到C是200米。乙每跑100米，甲就多跑100米.要使甲、乙從C點(diǎn)開始，再次相遇，甲要比乙多跑一圈，也就是說，乙跑400米時(shí)，甲跑800米與乙第二次相遇，再加上甲從A到C的200米，甲共跑了1000米。 6.快車每分鐘行多少米：2400060=400（米）.中速車每分鐘行相差米數(shù)：（24002000）（106）=100（米）。三輛汽車與騎車人的路程差：慢車每小時(shí)行多少千米：7.設(shè)用字母a表示甲速，用字母b表示乙速（ab）。（a+b）4=（ab）12ab=21（甲、乙速度比是21）第八講 流水行船問題船在江河里航行時(shí)，除了本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個(gè)量（速度、時(shí)間、路程）的關(guān)系在這里將要反復(fù)用到.此外，流水行船問題還有以下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過的路程.水速，是指水在單位時(shí)間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單位時(shí)間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式（l）可以得到：水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2，水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2。例1 甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度。分析 根據(jù)題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順?biāo)俣群湍嫠俣?，而順?biāo)俣群湍嫠俣瓤砂葱谐虇栴}的一般數(shù)量關(guān)系，用路程分別除以順?biāo)?、逆水所行時(shí)間求出。解：順?biāo)俣龋?088=26（千米/小時(shí)）逆水速度：20813=16（千米/小時(shí)）船速：（26+16）2=21（千米/小時(shí)）水速：（2616）2=5（千米/小時(shí)）答：船在靜水中的速度為每小時(shí)21千米，水流速度每小時(shí)5千米。例2 某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時(shí)，水速每小時(shí)3千米，問從乙地返回甲地需要多少時(shí)間？分析 要想求從乙地返回甲地需要多少時(shí)間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。解：從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18（千米/小時(shí)），甲乙兩地路程：188=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小時(shí)），返回時(shí)逆行用的時(shí)間：1441212（小時(shí)）。答：從乙地返回甲地需要12小時(shí)。例3 甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了5小時(shí).現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí)12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？分析 要求帆船往返兩港的時(shí)間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時(shí)間和與時(shí)間差分別是35小時(shí)與5小時(shí)，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時(shí)間.并能進(jìn)一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎(chǔ)上再用和差問題解法求出水速。解：輪船逆流航行的時(shí)間：（35+5）2=20（小時(shí)），順流航行的時(shí)間：（355）2=15（小時(shí)），輪船逆流速度：36020=18（千米/小時(shí)），順流速度：36015=24（千米/小時(shí)），水速：（2418）2=3（千米/小時(shí)），帆船的順流速度：12315（千米/小時(shí)），帆船的逆水速度：123=9（千米/小時(shí)），帆船往返兩港所用時(shí)間：36015360924+40=64（小時(shí)）。答：機(jī)帆船往返兩港要64小時(shí)。下面繼續(xù)研究兩只船在河流中相遇問題.當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出，它們單位時(shí)間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和.這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。這就是說，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系。同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動(dòng)，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，也只與路程差和船速有關(guān)，與水速無關(guān).這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船順?biāo)俣?（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。如果兩船逆向追趕時(shí)，也有甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。這說明水中追及問題與在靜水中追及問題及兩車在陸地上追及問題一樣。由上述討論可知，解流水行船問題，更多地是把它轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的相遇和追及問題來解答。例4 小剛和小強(qiáng)租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進(jìn)江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船頭時(shí)，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時(shí)4千米，水流速度是每小時(shí)2千米，那么他們追上水壺需要多少時(shí)間？分析 此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順?biāo)械乃俣仁谴?水速.水壺飄流的速度只等于水速，所以速度差=船順?biāo)俣?水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速=船速.解：路程差船速=追及時(shí)間24=0.5（小時(shí)）。答：他們二人追回水壺需用0.5小時(shí)。例5 甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時(shí)24千米和每小時(shí)32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)相遇？如果同向而行，甲