證明實(shí)數(shù)區(qū)間是不可數(shù)集.doc

證明實(shí)數(shù)區(qū)間是不可數(shù)集一最近，Matthew H. Baker找到了證明實(shí)數(shù)區(qū)間是不可數(shù)集的一種新方法。這種方法同原來(lái)的方法完全不同。新的證明方法從一個(gè)博弈游戲出發(fā)，在兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域間建立起了聯(lián)系，非常具有啟發(fā)性。 A和B兩個(gè)人在實(shí)數(shù)區(qū)間0,1上玩一個(gè)游戲。首先，A在(0,1)之間選一個(gè)數(shù)a1，然后B在(a1,1)里選一個(gè)數(shù)b1；接著，A在(a1,b1)之間選一個(gè)數(shù)a2，然后B在(a2,b1)里選一個(gè)數(shù)b2總之，以后A和B輪流取數(shù)，選的那個(gè)數(shù)必須位于前面兩次選的數(shù)之間。可以看到，序列a1, a2, a3, .是一個(gè)單增的有界序列，因此游戲無(wú)限進(jìn)行下去，數(shù)列an最終會(huì)收斂到某一個(gè)實(shí)數(shù)c。游戲進(jìn)行前，A和B約定一個(gè)0,1的子集S，規(guī)定如果最后cS，則A勝，否則B勝。 Baker發(fā)現(xiàn)，如果S集為可數(shù)集的話，B肯定有必勝策略。如果S集可數(shù)，那么B就可以把S集里的數(shù)排列成一個(gè)序列s1, s2, s3, . 。B的目標(biāo)就是讓序列an的極限不等于S集里的任一個(gè)數(shù)?？紤]B的這樣一個(gè)游戲策略：當(dāng)B第i次選數(shù)時(shí)，如果選si合法，那么就選它（這樣序列an就不能收斂到它了）；否則如果這一步選si不合法，那就隨便選一個(gè)合法的數(shù)（此時(shí)序列an已經(jīng)不可能收斂到si了）。這種策略就可以保證A選出的數(shù)列的極限不是S集里的任一個(gè)數(shù)。有趣的事情來(lái)了。假如A和B約定好的S集就是整個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間0,1，那么B顯然不可能獲勝；但如果0,1是可數(shù)集的話，B是有必勝策略的。于是我們就知道了，0,1是不可數(shù)集。二康托爾對(duì)角線法Cantor對(duì)集合的一些著名的研究讓我們更加清楚地認(rèn)識(shí)了無(wú)窮這玩意兒。Cantor發(fā)現(xiàn)，無(wú)窮集合之間也有大小關(guān)系，他把這種大小關(guān)系叫做集合的勢(shì)(cardinality)。正整數(shù)和正偶數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)，但到底誰(shuí)要多一些呢？我們認(rèn)為，正整數(shù)和正偶數(shù)一樣多，因?yàn)槲覀兛梢栽谒鼈冎g建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系（乘2除2），因此有多少個(gè)正整數(shù)就有多少個(gè)正偶數(shù)，反過(guò)來(lái)有多少個(gè)正偶數(shù)我就能找出多少個(gè)正整數(shù)。于是我們說(shuō)，正整數(shù)集和正偶數(shù)集是等勢(shì)的。 再來(lái)想一個(gè)問(wèn)題，自然數(shù)和所有整數(shù)哪個(gè)多哪個(gè)少？答案還是一樣多。重新排列一下所有整數(shù)，你會(huì)看到自然數(shù)和整數(shù)之間也有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，它們的個(gè)數(shù)一樣多，兩個(gè)集合也是等勢(shì)的：自然數(shù)：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . 整數(shù)：0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, .Cantor還發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)集與自然數(shù)集也是等勢(shì)的，也就是說(shuō)有理數(shù)和自然數(shù)一樣多！這個(gè)證明方法可謂是數(shù)學(xué)史上真正的經(jīng)典：把所有有理數(shù)寫成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的形式，根據(jù)分子和分母的值把它們排列成二維的陣列，然后從1/1出發(fā)沿對(duì)角線方向蛇形遍歷所有的數(shù)。第i個(gè)遍歷到的數(shù)與自然數(shù)i對(duì)應(yīng)，正有理數(shù)集與正整數(shù)集也就有了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。注意這里僅僅是正有理數(shù)，不過(guò)沒啥，用剛才證明整數(shù)集與自然數(shù)集等勢(shì)的方法，我們也可以把正有理數(shù)擴(kuò)展到全體有理數(shù)。123456789111121314151617181922122232425262728293313233343536373839441424344454647484955152535455565758596616263646566676869771727374757677787988182838485868788899919293949596979899 事實(shí)上，對(duì)于任何一個(gè)集合S，如果你能找出一種方法把集合里的所有元素按順序一個(gè)不漏地羅列出來(lái)，寫成a1, a2, a3, a4, . 的形式，那么這個(gè)集合就是和自然數(shù)集等勢(shì)的，因?yàn)樾蛄械南聵?biāo)和自然數(shù)集就已經(jīng)構(gòu)成了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。我們把所有與自然數(shù)集等勢(shì)的集合叫做可數(shù)集(countable set)，因?yàn)樗鼈兪强梢詳?shù)出來(lái)的。 并不是所有集合都是可數(shù)的。Cantor證明了，實(shí)數(shù)區(qū)間0,1是不可數(shù)的集合，它的勢(shì)比自然數(shù)集大。你找不出什么方法能把0到1之間的所有實(shí)數(shù)一個(gè)不漏地排列出來(lái)。這個(gè)證明方法很巧妙，假設(shè)你把實(shí)數(shù)區(qū)間0,1里的所有數(shù)按照某種順序排列起來(lái)，那么我總能找到至少一個(gè)0到1之間的實(shí)數(shù)不在你的列表里。把你的列表上的數(shù)全寫成0到1之間的小數(shù)：a1 = 0.0147574628.a2 = 0.3793817237.a3 = 0.2323232323.a4 = 0.0004838211.a5 = 0.9489129145. 那么我就構(gòu)造這么一個(gè)小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后第一位不等于a1的第一位，小數(shù)點(diǎn)后第二位不等于a2的第二位，總之小數(shù)點(diǎn)后第i位不等于ai的第i位。這個(gè)數(shù)屬于實(shí)數(shù)區(qū)間0,1，但它顯然不在你的列表里。這樣，我就證明了實(shí)數(shù)區(qū)間是不可數(shù)的。搜集資料的理解及個(gè)人看法：在證明有理數(shù)的可數(shù)時(shí)，康托爾用到了一一對(duì)應(yīng)的方式來(lái)證明有理數(shù)的可數(shù)性，其實(shí)在上課的時(shí)候老師有用其他的方法證明，例如圖形法，還有對(duì)于一個(gè)帶根號(hào)的有理數(shù)集總能與他的n次方相對(duì)應(yīng)。因?yàn)檫€是有一些方法術(shù)語(yǔ)不甚理解，我又到了知網(wǎng)上下載相關(guān)解讀文章，但是似乎更難懂了，還是上面的語(yǔ)言明白清楚些，但還是附錄如下，摘自沈衛(wèi)國(guó)教授的文章論序數(shù)及連續(xù)統(tǒng)的可數(shù)性與正則公理一、超窮序數(shù)的可數(shù)性問(wèn)題與正則公理眾所周知，康托的超窮序數(shù)理論，依賴于三個(gè)“序數(shù)生成原理”：第一序數(shù)生成原則：對(duì)一已給定的數(shù)，可增加一單位。如從w，可得w+1；第二序數(shù)生成原則：給定任一有特定順序，但其中無(wú)最大元素的集合，可以作為原集合的極限或后繼者而得一新數(shù)，如從整數(shù)集合1，2，3，可得w；等等。第三序數(shù)生成原則（限制原則）：它保證一個(gè)新數(shù)類的基數(shù)大于前一數(shù)類的基數(shù)而且是第一個(gè)這樣大的?？低蟹磸?fù)運(yùn)用這三條序數(shù)生成原則，得到超限（窮）序數(shù)1，2，3，v，w，w+1，w+2，v0wu+v1wu-1+vu1w+ vu,，ww，w1，w2，w3，等等，其中w1被普遍認(rèn)為是第一個(gè)不可數(shù)序數(shù)，而且是一個(gè)基數(shù)。有關(guān)文獻(xiàn)給出其證明如下：如不然，即w1是一可數(shù)序數(shù)即 ，由定義w1a|On（a） 其中：On表示所有集合的類； 、 表示基數(shù)。就有w1w1，這與正則公理（基礎(chǔ)公