典型例題：用放縮法證明不等式.doc

用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過(guò)程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見(jiàn)題型。一. “添舍”放縮通過(guò)對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例1. 設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3b3a2b2，求證。證明：由題設(shè)得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 已知a、b、c不全為零，求證：證明：因?yàn)?，同理，。所以? 分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則為真分?jǐn)?shù)，則，同理，故.綜合得。三. 裂項(xiàng)放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。 例4. 已知nN*，求。證明：因?yàn)?，則，證畢。例5. 已知且，求證：對(duì)所有正整數(shù)n都成立。證明：因?yàn)?，所以，又，所以，綜合知結(jié)論成立。四. 公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。例6. 已知函數(shù)，證明：對(duì)于且都有。證明：由題意知，又因?yàn)榍?，所以只須證，又因?yàn)樗浴＠?. 已知，求證：當(dāng)時(shí)。證明：證畢。五. 換元放縮對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問(wèn)題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。例8. 已知，求證。證明：因?yàn)?，所以可設(shè)，所以則，即。例9. 已知a，b，c為ABC的三條邊，且有，當(dāng)且時(shí)，求證：。 證明：由于，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，所以。六. 單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過(guò)構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。例10. 已知a，bR，求證。證明：構(gòu)造函數(shù)，