大學經(jīng)典課件之高等數(shù)學——11-習題課.pdf

第十一章 無窮級數(shù)習題課 第十一章 無窮級數(shù)習題課 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 xu n n 求和求和 xS 展開展開 在收斂域內(nèi)進行在收斂域內(nèi)進行 0 xu n n 基本問題基本問題 判別斂散 求收斂域 求和函數(shù) 級數(shù)展開 判別斂散 求收斂域 求和函數(shù) 級數(shù)展開 為傅里葉級數(shù)為傅里葉級數(shù) xnbxnaxu nnn sincos 當當 為傅為傅里葉里葉系數(shù)系數(shù) 時時 時為數(shù)項級數(shù)時為數(shù)項級數(shù) 0 xx 當當 n nn xaxu 當當 時為冪級數(shù)時為冪級數(shù) nn ba 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一 數(shù)項級數(shù)的審斂法一 數(shù)項級數(shù)的審斂法 1 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性 2 正項級數(shù)審斂法正項級數(shù)審斂法 必要條件必要條件0lim n n u 不滿足不滿足 發(fā) 散發(fā) 散 滿足滿足 比值審斂法比值審斂法 lim n 1 n u n u 根值審斂法根值審斂法 n n n ulim 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 任意項級數(shù)審斂法任意項級數(shù)審斂法 Leibniz判別法判別法 若若 0 1 nn uu且且 0lim n n u 則交錯級數(shù)則交錯級數(shù) n n nu 1 1 收斂收斂 概念概念 且余項且余項 1 nn ur 1n n u 若收斂若收斂 1n n u 稱 絕對收斂 稱 絕對收斂 1n n u 若發(fā)散若發(fā)散 1n n u稱條件收斂稱條件收斂 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為收斂級數(shù)為收斂級數(shù) 1n n u 二 求冪級數(shù)收斂域的方法二 求冪級數(shù)收斂域的方法 標準形式冪級數(shù)標準形式冪級數(shù) 先求收斂半徑先求收斂半徑 R 再討論再討論 Rx 非標準形式冪級數(shù) 通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式 直接用比值法或根值法 處的斂散性 非標準形式冪級數(shù) 通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式 直接用比值法或根值法 處的斂散性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求部分和式極限求部分和式極限 三 冪級數(shù)和函數(shù)的求法三 冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和求和 逐項求導或求積分逐項求導或求積分 逐項求導或求積分逐項求導或求積分 n n n xa 0 xS 對和式積分或求導對和式積分或求導 xS 難難 直接求和直接求和 直接變換直接變換 間接求和間接求和 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和 再代值 求部分和等 再代值 求部分和等 分解 拆項相消 套用公式 在收斂區(qū)間內(nèi) 分解 拆項相消 套用公式 在收斂區(qū)間內(nèi) 數(shù)項級數(shù) 求和 數(shù)項級數(shù) 求和 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n n nx a 0 常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù) 1 1 1 0 x x n n 1 1 1 2 0 x x n nn 5 0 x n n e n x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的形式 逐項求導化為的形式 逐項求導化為 1 3 1 n n n x 的形式 逐項求積分化為的形式 逐項求積分化為 1 1 4 1 n n xn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1ln 9 1 x n x n n x n x n n n sin 12 1 6 0 12 x n x n n n cos 2 1 7 0 2 1ln 1 8 1 1 x n x n n n 四 函數(shù)的冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)展開法四 函數(shù)的冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)展開法 直接展開法直接展開法 間接展開法間接展開法 利用已知函數(shù)的展開式及冪級數(shù) 的性質(zhì) 利用已知函數(shù)的展開式及冪級數(shù) 的性質(zhì) 利用泰勒級數(shù)利用泰勒級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 函數(shù)的冪級數(shù)展開法函數(shù)的冪級數(shù)展開法 1 2 1 1 2 xx n xxe nx LL 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式 LL 12 1 5 1 3 1 sin 12 53 n x xxxx n n x LL 2 1 4 1 2 1 1cos 2 42 n x xxx n n x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1 x L L L n x n n xx x 1 1 2 1 1 1 2 1ln x LL n x xxx n n 132 1 3 1 2 1 1 1 x 1 周期為 1 周期為 2 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理 sincos 2 1 0 xnbxna a xf nn n 其中其中 xxnxfandcos 1 xxnxfbndsin 1 2 1 L n 2 1 L n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxfad 1 0 2 函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開法函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開法 xff xxfxf xxf xs 0 0 2 1 0 0 2 1 為間斷點 為連續(xù)點 為間斷點 為連續(xù)點 則和函數(shù)為 則和函數(shù)為 余弦級數(shù) 2 周期為 余弦級數(shù) 2 周期為 2 的奇 偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 的奇 偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)正弦級數(shù)正弦級數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 周期為 3 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式 xf 2 0 a l xn b l xn a nn n sincos 1 其中其中 n a x l xn xf l l l dcos 1 n bx l xn xf l l l dsin 1 1 0 L n 2 1 L n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 lxlflf xxfxf xxf xs 0 0 2 1 0 0 2 1 為間斷點 為連續(xù)點 為間斷點 為連續(xù)點 則和函數(shù)為 則和函數(shù)為 求傅里葉展開式的步驟 求傅里葉展開式的步驟 1 驗證是否滿足狄利克雷條件 3 求出傅里葉系數(shù) 4 寫出傅里葉級數(shù) 1 驗證是否滿足狄利克雷條件 3 求出傅里葉系數(shù) 4 寫出傅里葉級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5 寫出和函數(shù) 5 寫出和函數(shù) 2 判斷奇偶性 2 判斷奇偶性 習題習題10 7 P424 1 8 12 15 2 1 4 5 10 11 14 16 17 3 6 18 19 1 4 6 21 2 5 7 24 27 作業(yè)作業(yè) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1例1 二 典型例題二 典型例題 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知 已知 0n n nx a 在 在2 x處條件收斂 求冪處條件收斂 求冪級級 數(shù)的收斂半徑 數(shù)的收斂半徑 解 解 由冪級數(shù)的性質(zhì)知 由冪級數(shù)的性質(zhì)知 2 R 2 R若若 處收斂在使則存在 處收斂在使則存在 0 0 0 2xxax n n n 內(nèi)絕對收斂因此該級數(shù)在 內(nèi)絕對收斂因此該級數(shù)在 00 xx 而 而 2 00 xx 與題設矛盾 故此冪級數(shù)的收斂半徑為 與題設矛盾 故此冪級數(shù)的收斂半徑為 2 R 例2例2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求 求 1 2 1 2 n n n n x 的收斂半徑 的收斂半徑 解 解 此題用公式及比值法都求不出極限 用根值法此題用公式及比值法都求不出極限 用根值法 n n n xu lim n n n n n x 2 1 2 lim 2 x 時即 時即2 1 2 1 x x 級數(shù)發(fā)散 故此冪級數(shù)的收斂半徑為 級數(shù)發(fā)散 故此冪級數(shù)的收斂半徑為 2 R 例3 例3 1 3 1 的收斂半徑求冪級數(shù)的收斂半徑求冪級數(shù) n n nn x n 解 解 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù) lim 1 n n n a a n n n a lim 極限不存在極限不存在 1 k k x 2 4 2 1 2 k k k x k 1 k k x 12 1 12 12 2 k k k x k lim 1 x x n n n 4 2 x 4 1 1 R lim 1 x x n n n 2 2 x 2 1 2 R 原級數(shù) 原級數(shù) 1 k k x 1 k k x 其收斂半徑 其收斂半徑 4 1 min 21 RRR 注意 注意 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1 1 1 n n n n n n n 例4 例4 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性 解解 n n n n n n nn u 1 1 1 1 2 1 n n n n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n n n n n nn 1 22 1 1 lim 1 1 lim 2 1 0 e x x n n xn 11 limlim x x x e ln 1 lim xx e 1 lim 1 0 e 01lim n n u 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件 原級數(shù)發(fā)散 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件 原級數(shù)發(fā)散 x xx e ln 1 lim 2 3 cos 2 1 2 n n n n 解解 22 3 cos 2 nn n n n n u 2n n n v 令 令 n n v v n n n n n n 2 2 1 limlim 1 1 Q n n n 2 1 lim 1 2 1 1 0 1 2ln 3 n n a n a n 解解 n a n u n n n n n 1 2ln limlim 2ln lim 1 n n n a 2 2 n enn 時 時Q從而有從而有 2ln 1 n n nn 1lim n n n由于由于 1 2ln lim n n n 1 lim a u n n n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1 00時即當 時即當 a a原級數(shù)收斂 原級數(shù)收斂 1 1 10時即當 a a原級數(shù)發(fā)散 原級數(shù)發(fā)散 1時當 時當 a 1 1 2ln 1 nn n n 原級數(shù)為原級數(shù)為 1 1 2ln lim n n n n Q原級數(shù)也發(fā)散 原級數(shù)也發(fā)散 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 lim a u n n n 1 1 4 1 n nn n 解解 1 1 1 n nn n 1 1 1 n nnn 級數(shù)收斂級數(shù)收斂 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 57 6 5 n nn n 解解 1 57 6 n nn n 1 7 5 1 7 6 n n n n n 比較與 比較與 1 7 6 n n n 知級數(shù)收斂知級數(shù)收斂 1 sin 6 n nn 解解 2 0 時因時因 x sinxx 時是正項級數(shù)故此級數(shù)當 n 比較與 比較與 1 3 n n 3 0 sin lim x xx x 2 0 3 cos1 lim x x x x x x 6 sin lim 0 6 1 6 1 sin lim 3 n nn n 故故 知級數(shù)收斂知級數(shù)收斂 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1 ln 1 7 n n n n 解解 0時因時因 x 1ln xx Q 1 1 發(fā)散而 發(fā)散而 nn ln 1 ln 1 11 發(fā)散 發(fā)散 nn n nnnn 原級數(shù)非絕對收斂原級數(shù)非絕對收斂 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x x n n xn ln lim ln lim Q 0 1 lim x x n n n nln 1 1 lim nn n ln 1 lim Q 0 1 上單增在 上單增在 ln 1 單減即單減即 xx 1 ln 1 時單減當故 時單減當故 n nn 1 1ln 1 1 ln 1 1 nu nnnn u nn 所以此交錯級數(shù)收斂 故原級數(shù)是條件收斂 所以此交錯級數(shù)收斂 故原級數(shù)是條件收斂 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由萊布尼茨定理 由萊布尼茨定理 0 ln xxxxfQ 1 0 1 1 x x xf 例 7 例 7 判斷級數(shù) 判斷級數(shù) 1 2 1 1 n n n n 的收斂性 在收斂的 的收斂性 在收斂的情情 況下 說明是絕對收斂還是條件收斂 況下 說明是絕對收斂還是條件收斂 解 解 此級數(shù)是交錯級數(shù) 且此級數(shù)是交錯級數(shù) 且0 1 lim 2 n n n 0 1 x x xxf令令0 0 1 1 2 x x xf 即 即 f x 單增 從而單增 從而 n n n n 1 1 1 2 單減 由萊布尼茨定理 級數(shù)收斂 單減 由萊布尼茨定理 級數(shù)收斂 比較與而 比較與而 11 2 1 1 nn nn n 故原級數(shù)條件收斂 知其發(fā)散 故原級數(shù)條件收斂 知其發(fā)散 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例8例8 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求下列級數(shù)的收斂域及和函數(shù) 求下列級數(shù)的收斂域及和函數(shù) 1 12 1 n n xn 解 解 易求得此級數(shù)的收斂域為 易求得此級數(shù)的收斂域為 1 1 1 12 n n xn 11 2 n n n n xnx 1 1 1 1 2 n n n n xxnxx x x xx n n 1 2 1 x x xx n n 1 2 1 x x x x x 1 1 2 x x x x 1 1 2 22 2 1 3 x xx 0 1 1 2 n n xn 解解 1 1 1 0 Rxn n n 斂半徑為的收斂半徑為的收Q 111 x收斂域為收斂域為 20 x即即 則有設此級數(shù)的和函數(shù)為則有設此級數(shù)的和函數(shù)為 xs 1 1 0 n n xnxs 兩邊逐項積分兩邊逐項積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 1 1 1 n xn x 0 11 1 1 n xnx dxxndxxs 0 1 1 n n x 1 1 1 x x 2 1 x x 求導 得兩邊再對求導 得兩邊再對x 2 1 x x xs 2 1 2 x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 2 2 1 3 n n n x n n 解 解 易求得此級數(shù)的收斂域為 易求得此級數(shù)的收斂域為 00 22 2 1 2 1 nn nn n x n n x n n xs 0 2 1 1 n n x n nnn xs 012 2 1 2 2 1 n n n n n n x n x n nx n nn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 012 2 1 2 1 1 2 2 1 n n n n n n x n x n x n 01 1 2 22 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 n n n n n n x n x n xx n x 222 2 2 2 xxx ee x e x 2 2 1 24 x e xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 2 1 1 n n x n nnn xs 012 2 1 2 2 1 n n n n n n x n x n nx n nn 1 121 12 2 1 4 n nn x n n 解 解 易求得此級數(shù)的收斂域為 易求得此級數(shù)的收斂域為 1 121 12 2 1 n nn x n n xs 1 2 1 12 1 n n n n x 1 2 1 12 1 n n n n x 1 12 1 12 1 n n n n x x sin xxxxxcossin 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 22 2 12 5 n n n x n 解 解 易求得此級數(shù)的收斂域為 易求得此級數(shù)的收斂域為 2 2 1 22 2 12 n n n x n xs 1 12 2 n n n x 時時0 1 x n n x x xs 2 1 1 2 1 1 22 2 2 1 n n xx x 2 1 1 2 2 x x 2 2 x x 22 2 2 2 x x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時時0 2 x 2 1 0 s 2 1 2 2 0 22 2 x x x 于是于是 1 22 2 12 n n n x n xs 22 2 2 2 x x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1 1 1 6 n n x nn 解 解 易求得此級數(shù)的收斂域為 易求得此級數(shù)的收斂域為 1 1 時時0 1 x 1 1 1 1 n n x nn xs 1 1 2 1 1 n n nn x x 1 0 2 11 n x ndx x nx x n n dx n x x 0 1 2 1 x n x n dxdxx x 0 1 0 1 2 1 xx n n dxdxx x 00 1 1 2 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx dxdx xx 00 2 1 1 1 x dxx x 0 2 1ln 1 1 11 1ln 1 0 02 x x dx x x xx x 1ln 1 1 2 xxx x 時時0 2 x 1 1 1 1 n n x nn xs 2 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1 7 n n x n n 解 解 易求得此級數(shù)的收斂域為 易求得此級數(shù)的收斂域為 1 1 1 1 n n x n n 11n n n n n x x 1ln 1 x x x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 9 例 9 求下列數(shù)項級數(shù)的和 求下列數(shù)項級數(shù)的和 0 2 1 1 n n n 解解1 0 2 1 n n x n n xs令 令 易求得易求得s x 的收斂域為的收斂域為 所求級數(shù)為所求級數(shù)為s 1 0 n n x n x eQ 0 1 n n x n x xe 兩邊求導兩邊求導 n n xx x n n exe 0 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩邊乘以兩邊乘以x 1 0 2 1 n n xx x n n xeex 兩邊求導兩邊求導 n n xxxx x n n xeeexxe 0 2 2 1 2 xs eeees 2 1 e5 e n n n 5 1 0 2 即即 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 2 1 1 n n n 解解2 0 2 1 n n x n n xs令 令 0 2 1 n n x n n xs 0 2 12 n n x n nn 000 2 1 2 n n n n n n x n x n n x n n 01 1 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n nx x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 e n n n 5 1 0 2 即即 01 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n x x 01 1 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n x xx xxx exexex 2 xxx exeex 3 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 1 1 2 2 2 n n n 解 解 設設 1 2 2 n n n x xs 則則 1 1 收斂域為收斂域為 2 1 12 n n n xx 2 1 12 1 n n n x x 0 x 1 2 n n n xx 3 2 1 n n n x x n n x nn xs 1 1 1 1 2 1 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1n n n x 1 0 1 d n x n xx而而 xx x n n d 0 1 1 x x x 0 1 d 1ln x 4 2 1ln 2 1 2 x x x x xs 故故 2 2 2 1 1 n n n 0 x 1 2 1 2 n n n x x x 2 2 1 2 x x x 2 1 s 2ln 4 3 8 5 0 x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 2 n n n xx xs 3 2 1 n n n x x 2 2 1 1 3 n n n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解 解 設設 1 2 2 n n n x xs 1 1 收斂域為收斂域為 4 2 1ln 2 1 2 x x x x xs 0 x由上題知 故 由上題知 故 2 2 1 1 n n n 1 s 4 1 問題 問題 1 1 2 2 n n4 3 lim 1 xs x Q 4 3 1 1 2 2 n n 例 10 例 10 把函數(shù) 把函數(shù) xx x x xf arctan 2 1 1 1 ln 4 1 展開成展開成 x的冪級數(shù) 的冪級數(shù) 解解 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 2 xxx xf 1 1 1 4 x 1 4 n n x兩邊積分兩邊積分 x n ndx xfxf 0 1 4 0 1 0 4 n x ndx x 1 14 14 n n n x 0 0 f而而 1 14 14 n n n x xf故故11 x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1lnarctan 2 克勞林級數(shù) 展開成麥將 克勞林級數(shù) 展開成麥將xxxxf 例11例11 解解 32 1ln 32 LQ xx xx 1 32 1ln 2 1 64 22 LL n xxx xx n n 11 x x dx x x 02 1 1 arctan又又 xnn dxxxxx 0 2642 1 1 LL 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 LL 12 1 753 12753 n xxxx x n n 11 x 1 2 1 0 22 2 1 2 1 12 1 1lnarctan n n n n n n n x n x xxx故故 0 22 0 22 22 1 2 1 12 1 n n n n n n n x n x 22 12 1 0 22 n n n nn x 11 x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1 12 2 1 20 12 1 1 1 Sx xS n x n n n n 的冪級數(shù) 并求成 展開的和函數(shù)將級數(shù) 的冪級數(shù) 并求成 展開的和函數(shù)將級數(shù) 例12 解 例12 解的展開式 是分析的展開式 是分析x n x n n n sin 12 1 1 12 1 Q 1 12 1 1 12 1 1 2 12 1 2 12 2 1 n n n n n n n x nn x 2 sin2 x 2 11 sin2 x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 1 sin 2 1 cos2 2 1 cos 2 1 sin2 xx 0 2 2 1 2 1 2 1 sin2 n n n x n 0 2 1 2 2 1 2 1 sin2 n n n n x n x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 12 2 1 12 1 2 1 cos2 n n n x n 0 12 1 12 2 1 2 1 cos n n n n x n 202 1 2 1 sin2 20 1 10 10 20 S 2 1 sin 2 2 1 10 20 S 例13 例13 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 12 1 1 12 0 的和函數(shù)的和函數(shù) n n n x n n 法1 法1 易求出級數(shù)的收斂域為易求出級數(shù)的收斂域為 0 22 12 1 1 2 1 n nn x n 原式原式 12 0 12 1 2 1 n n n x n x sin 2 1 xx cos 2 sin 2 1 x x x x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 法2法2先求出收斂區(qū)間先求出收斂區(qū)間 xS則則 x n n n x xx n n xxS 0 12 0 0 d 12 1 1 d 22 0 12 1 n n n x n2 1 12 0 12 1 2 n n n x n x x x sin 2 cos 2 sin 2 1 x x xxS 設和函數(shù)為設和函數(shù)為 x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例13 例13 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 12 1 1 12 0 的和函數(shù)的和函數(shù) n n n x n n 例14 例14 設設 xf 0 arctan 1 2 xx x x 0 1 x 將 將 f x 展開成展開成 x 的冪級數(shù) 的冪級數(shù) 1 2 41 1 n n n 的和 的和 01考研 01考研 解 解 2 1 1 x Q 1 0 2 n nn x 1 1 x xarctan x x x 0 2 d 1 1 12 1 0 12 n n n x n 1 1 x xf 1 2 12 1 1 n n n x n 0 22 12 1 n n n x n 于是 并求級數(shù) 于是 并求級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 22 12 1 n n n x n 1 2 1 12 1 n n n x n xf 1 2 12 1 1 n n n x n 1 2 12 1 1 n n n x n 1 2 12 1 12 1 1 1 n nn x nn 41 1 21 1 2 2 n n n x n 1 1 x 1 2 41 1 n n n 1 1 2 1 f 2 1 4 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例15 例15 LL 3 9 6 3 1 3963 n xxxx xy n 1 驗證函數(shù) 1 驗證函數(shù) x 滿足微分方程滿足微分方程 x eyyy 2 利用 1 的結(jié)果求冪級數(shù) 2 利用 1 的結(jié)果求冪級數(shù) 3 3 0 n x n n 的和 的和 解 解 1 1 LL 3 9 6 3 1 3963 n xxxx xy n LL 13 8 5 2 13852 n xxxx xy n LL 23 7 4 2374 n xxx xxy n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02考研 02考研 0 n x n n 所以所以 yyy x e 2 由 1 的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足 2 由 1 的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足 x eyyy 1 0 y0 0 y 其特征方程 其特征方程 01 2 rr特征根 特征根 ir 2 3 2 1 2 1 齊次方程通解為 齊次方程通解為 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 xCxCeY x 設非齊次方程特解為設非齊次方程特解為 x eAy 代入原方程得代入原方程得 3 1 A 故非齊次方程通解為故非齊次方程通解為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x e 3 1 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 xCxCey x 代入初始條件可得代入初始條件可得0 3 2 21 CC 故所求級數(shù)的和故所求級數(shù)的和 3 1 2 3 cos 3 2 2 1 xexe x x 3 3 0 n x n n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的圖形 的和函數(shù) 同時畫出它 寫出該級數(shù)期的正弦級數(shù)并在 為周內(nèi)展開成以在將 的圖形 的和函數(shù) 同時畫出它 寫出該級數(shù)期的正弦級數(shù)并在 為周內(nèi)展開成以在將 22 20cos x xx 例16 解 例16 解 cos sincos 2 0 cos 1 進行奇開拓內(nèi)對 必須在為周期的正弦級數(shù) 內(nèi)展開成以在要將 進行奇開拓內(nèi)對 必須在為周期的正弦級數(shù) 內(nèi)展開成以在要將 x nxbx xxf n n 0 cos 00 0 cos xx x xx xF令令 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 sincos 2 nxdxxbn 0 1sin 1 sin 1 dxxnxn 1 1 1 1 1 1 1 11 nn nn mn n n mn 2 1 4 12 0 2 1 n 0 n a 2 1 0 L n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 01 2sin 1 xdxb 0 1 2 0 2sin 14 8 cos m xmx m m x 上級數(shù)的和函數(shù)為在上級數(shù)的和函數(shù)為在 22 x 2 0 cos 2 00 2 0 cos U U xx x xx xs 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 和函數(shù)的圖形為和函數(shù)的圖形為 x y o 2 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的和 由此求級數(shù)為周期的付氏級數(shù) 并以 內(nèi)展開成將函數(shù) 的和 由此求級數(shù)為周期的付氏級數(shù) 并以 內(nèi)展開成將函數(shù) 1 2 1 2 11 2 nn xxxf例17 解 例17 解 11 2 是偶函數(shù)是偶函數(shù) xxxfQ 1 00 2 1 2 dxxa 5 1 0 1 cos 2 1 2 dx xn xan 1 0 cos2xdxnx 1 0 sin 2 xnxd n 1 1 2 22 n n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12 4 2 0 22 kn n kn 2 1 L k 0 n b 1 22 12cos 12 4 2 5 2 k xk k x 故故 1 22 12 12cos 4 2 5 kk xk 11 x 2 1 L n 0 x取取 由上式得由上式得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 22 12 14 2 5 2 kk 1 2 2 8 12 1 kk 1 2 1 2 1 2 2 1 12 11 kknkkn 而而 1 4 1 12 1 1 2 1 2 kkkk 3 4 8 1 2 1 2 nn 6 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 18 例 18 設設 0 01 xx x xf xS是是 xf的以的以 2 為周期的傅里葉級數(shù)的和函數(shù) 寫出為周期的傅里葉級數(shù)的和函數(shù) 寫出 xS的函數(shù)表的函數(shù)表達達 式 并求式 并求 2 1 S 5 S 解解 00 00 2 1 0 ffs 2 1 01 2 1 0 0 2 1 ffs 1 2 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x x x xx xs 1 2 1 01 0 2 1 0 故故 2 1 2 1 2 1 s 52 5 ss1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解 00 00 2 1 0 ffs 2 1 01 2 1 02 02 2 1 2 ffs 212 2 1 2 3 故故 2 3 2 s 4 2 5 2 5 ss 2 1 0 s 2 3 s 2 3 例 19 例 19 設設 201 02 xx xx xf xS是是 xf的以的以4為 周期的傅里葉級數(shù)的和函數(shù) 求 為 周期的傅里葉級數(shù)的和函數(shù) 求 2 S 0 S 2 5 S 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 20 例 20 設設 2 xxf 0 x xS是是 xf在在 0上上 的以的以 2為周期的正弦級數(shù)的和函數(shù) 寫出為周期的正弦級數(shù)的和函數(shù) 寫出 xS在在 0 上的函數(shù)表達式 并求上的函數(shù)表達式 并求 5 S 6 S 解解 上作奇延拓在把 上作奇延拓在把 xf xx xx xf 0 0 2 2 0 0 2 1 ffs0 2 1 22 故故 x xx xs 0 0 2 45 5 ss0 s0 0 6 ss 2 xy 2 xy x y o 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 21 例 21 設設 1 2 1 22 2 1 0 xx xx xf xS是是 xf在在 1 0 上的以上的以 2為周期的余弦級數(shù)的和函數(shù) 寫出為周期的余弦級數(shù)的和函數(shù) 寫出 xS在在 1 1 上的函數(shù)表達式 并求上的函數(shù)表達式 并求 2 5 S 解解 延拓成偶函數(shù)把 延拓成偶函數(shù)把 xf 2 1 2 1 11 oo x y o 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 ffs 4 3 2 1 1 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 ffs 4 3 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 1 0 0 2 1 2 1 122 xx xx xx xx xf 01 01 2 1 1 ffs0 00 2 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n a 0 n b 并 并且且 11 nnnn baba 證明 若 證明 若 1n n b收斂 則收斂 則 1n n a也收斂 也收斂 證 證 n nn n b ba a 1 1 n n n a b b 1 1 1 1 n n n n n a b b b b 2 2 1 1 1 n n n n n a b b b b L 1 1 1 a b bn 1 1 1 n b b a 是常數(shù) 是常數(shù) 1 1 b a 1 收斂收斂 n n bQ 1 收斂收斂 n n a 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 25 例 25 若級數(shù)若級數(shù) 1 2 n n a收斂 則級數(shù)收斂 則級數(shù) 1n n n a 絕對收斂 絕對收斂 證 證 n an 1 n a n 1 2 1 2 2n a n 都收斂和因為 都收斂和因為 1 2 1 2 1 n n n a n 收斂所以 收斂所以 1 n n n a 絕對收斂從而 絕對收斂從而 1n n n a 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 26 例 26 已知 已知 Anu n n 級數(shù) 級數(shù) 1 1 1 n n