課題第24講數(shù)形結(jié)合思想.doc

課題 第24講 數(shù)形結(jié)合思想考點(diǎn)透析高考數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查主要涉及以下幾點(diǎn)：集合及其運(yùn)算問(wèn)題Venn圖與數(shù)軸；運(yùn)用函數(shù)圖像解決有關(guān)問(wèn)題；與向量相關(guān)的問(wèn)題；解析幾何與立體幾何中的數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；數(shù)軸與直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用知識(shí)整合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，近幾年的高考題注重對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的考查，注重對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題，通?？梢詮囊韵聨讉€(gè)方面入手：函數(shù)、不等式與函數(shù)圖像；曲線與方程；向量的兩重性；概念自身的幾何意義；參數(shù)本身的幾何意義；可行域與目標(biāo)函數(shù)最值；代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)解題時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來(lái)尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決 運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見(jiàn)曲線的代數(shù)特征，注意“數(shù)”與“形”的互化，轉(zhuǎn)換命題，就能化難為易、化繁為簡(jiǎn)，提高解決問(wèn)題的速度和準(zhǔn)確率，達(dá)到事半功倍的效果考點(diǎn)自測(cè)1（2010湖北理9改編）若直線y=x+b與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_.2（2011如皋市月考）已知偶函數(shù)的圖象與軸有五個(gè)公共點(diǎn)，那么方程的所有實(shí)根之和為_(kāi).3（2010北京海淀）若滿足約束條件，則的最大值和最小值分別為 4（2011如東月考）四面體的六條棱中，其中五條棱的長(zhǎng)度都是2，則第六條棱長(zhǎng)的取值范圍是 典型例題高考熱點(diǎn)一：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合探求方程根的個(gè)數(shù)例1：（2011通州市月考）設(shè)是定義在區(qū)間上以為周期的函數(shù)，對(duì)于，用表示區(qū)間，已知當(dāng)時(shí)， 求在上的解析表達(dá)式； 對(duì)自然數(shù),求集合使方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根 【分析】由函數(shù)的周期性不難求出函數(shù)的表達(dá)式，對(duì)于，用代數(shù)解法可以利用一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件，但是如果充要條件的方法則使問(wèn)題的解決變得比較簡(jiǎn)單高考熱點(diǎn)二：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決不等式有關(guān)問(wèn)題例2：（2011海安文科練習(xí)）已知為自然數(shù)，實(shí)數(shù)，解關(guān)于的不等式： 【分析】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解不等式顯得比較直觀清晰高考熱點(diǎn)三：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合將代數(shù)問(wèn)題“幾何化”例3：(2008四川卷改編)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最大值 【分析】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合將代數(shù)問(wèn)題“幾何化”，借助于線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)使問(wèn)題得以解決Ox+2y-6=0x-2y+10=0（圖1）yx2x-y-7=0y（圖2）OxABCDPMN（圖24-1）高考熱點(diǎn)四：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合將幾何問(wèn)題“代數(shù)化”例4：（2008南通一模）在平面區(qū)域內(nèi)有一個(gè)圓，向該區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，將點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率最大時(shí)的圓記為M（1）試求出M的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，3）作M的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B；又過(guò)P作N：x2+y2-4x+y+4=0的兩條切線，切點(diǎn)分別記為C，D試確定的值，使ABCD【分析】平面直角坐標(biāo)系的建立使得利用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題成為了可能，“以數(shù)輔形”，通過(guò)計(jì)算將問(wèn)題得以解決。高考熱點(diǎn)五：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決填空題在填空題里滲透數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)的考查是每年高考的重中之重例5：(2011揚(yáng)州中學(xué)摸底考試改編)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，則關(guān)于的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是_【分析】直接解似乎無(wú)從下手，可畫(huà)出函數(shù)的圖象幫助思考。例6：(2011蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)對(duì),記,函數(shù) 的最小值是_【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象幫助思考（圖24-2）誤區(qū)分析求方程的解的個(gè)數(shù). 解：畫(huà)出和的草圖(圖24-2)，由圖像可以看出，方程只有一個(gè)解,隨堂練習(xí)1方程sin(x)=x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是 2已知（其中ab，且、是方程f(x)=0的兩根（，則實(shí)數(shù)、的大小關(guān)系為 3已知集合A=x5x,B=xx2axxa，當(dāng)AB時(shí)，則a的取值范圍是 4兩個(gè)圓與的公切線有且僅有 條 5已知A（1，1）為橢圓=1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn) 求PF1+PA的最大值和最小值 6已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍學(xué)力測(cè)評(píng)1不等式一定有解，則a的取值范圍是 2無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)值，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)都是 （圖24-3）3已知函數(shù)的圖象如右（圖24-3）所示，則b的范圍是 4設(shè)，則函數(shù)的最小值是 5(2011全國(guó)卷,理15) 直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是 .6若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 7已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 8設(shè)分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,且,則不等式的解集是_ 9設(shè)函數(shù),其中,解不等式.10已知向量,，,求與夾角的最小值和最大值11已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和且,求12已知二次函數(shù)的圖像以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn),反比例函數(shù)的圖像與直線的兩個(gè)交點(diǎn)距離為8，求函數(shù)的表達(dá)式；證明當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程，有三個(gè)實(shí)數(shù)解參考答案第24講 數(shù)形結(jié)合思想考點(diǎn)自測(cè)1； 2. 0；3.17，-11 4. 典型例題例1：解：由題意，代數(shù)解法需解方程， 即方程 在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其充要條件是（圖24-4） 由這個(gè)不等式組解得的取值范圍。用數(shù)形結(jié)合思想則比較直觀。 由圖24-4中，立即可得, 的取值范圍為例2：解：由，不等式的左邊化為首先，對(duì)按奇數(shù)和偶數(shù)分類，再畫(huà)出圖象求解。（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式化為，即化為不等式組（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式化為，即化為不等式組畫(huà)出圖象，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)是（圖24-5）.（圖24-5）因?yàn)?，則的解為,則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式的解為,即,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式的解為,即.（圖24-6）例3：解：由題意， ， 即 ， ， 建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出可行域 （如圖24-6），畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)即直線，當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi) 點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最大值 例4：解：（1）設(shè)M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，則點(diǎn)(a，b)在所給區(qū)域的內(nèi)部 于是有 解得 a=3，b=4，r=，所求方程為(x-3)2+(y-4)2=5 （2）當(dāng)且僅當(dāng)PMPN時(shí)，ABCD 因，故，解得=6當(dāng)=6時(shí)，P點(diǎn)在圓N外，故=6即為所求的滿足條件的解 （圖24-7）例5：解：畫(huà)出函數(shù)的圖象（圖24-7）,該圖像關(guān)于對(duì)稱,且,令,若有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解,則方程有2個(gè)不同實(shí)數(shù)解,且為一正根,一零根.因此, 且。 （圖24-8）（圖24-9）例6：解：畫(huà)出函數(shù)和的圖象（圖24-8），由的定義,可得，則.誤區(qū)分析解：準(zhǔn)確地畫(huà)出圖象(圖24-9),可知有三個(gè)解隨堂自測(cè)1，2，a3，2，解 由可知a=3,b=,c=2，左焦點(diǎn)F1(2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0) 由橢圓定義，PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如圖（24-10）（圖24-10）由PAPF2AF2=知PAPF2 當(dāng)P在AF2延長(zhǎng)線上的P2處時(shí)，取右“=”號(hào)；當(dāng)P在AF2的反向延長(zhǎng)線的P1處時(shí)，取左“=”號(hào) 即PAPF2的最大、最小值分別為， 于是PF1+PA的最大值是6+,最小值是6 （圖24-11）已知方程化為. 作函數(shù)的圖象，這是以為圓心,以為半徑,在軸上方的半圓再作函數(shù)的圖象如圖（24-11）,這是以為斜率.且過(guò)點(diǎn)的直線已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根就是直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切半圓于，由圖2-11可知，斜率應(yīng)滿足 ，因?yàn)闉閳A的切線，所以，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為學(xué)力測(cè)評(píng)1，22，3，4，5，6，7，8 ,9解：不等式可化為，（圖24-12）作函數(shù)的圖象，它是雙曲線的上支，作函數(shù)的圖象如圖（24-12），它是過(guò)的直線系，不等式的意義是雙曲線在直線的下方時(shí)，橫坐標(biāo)的取值.從圖象可以看出,當(dāng)時(shí), 函數(shù)的圖象的右半部分在直線的下方,因此,不等式的解是,當(dāng)時(shí), 直線與的圖象交于兩點(diǎn).解方程得,于是解為由以上,不等式的解集為: 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 10本題用直接法相當(dāng)麻煩,下面先用直接法求解 由及可知,向量與向量的夾角就是直線的傾斜角, 向量是直線的方向向量,于是 .設(shè)，則 ， 由于,則, 解得 ,（圖24-13） 即 而根據(jù)向量的幾何意義用圖形解題就比較簡(jiǎn)單 由則點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,又由已知, ,則是軸上的一個(gè)向量,所以圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的傾斜角即為與的夾角. 如圖24-13,可以求出, ,. 因而, Opqn(圖24-14)11解：，由題設(shè)知，是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，其圖像是由過(guò)原點(diǎn)的拋物線上的點(diǎn)構(gòu)成（圖24-14）又拋物線對(duì)稱軸方程為，故12解：由已知，設(shè)，由得