六年級考點詳解：圖形中的計數(shù).docVIP

八 圖形中的計數(shù)在上節(jié)我們講了最簡單的平面圖形點、線段的計數(shù)問題雖然這類問題比較簡單，但解決時所用到的思想方法（如退、分類等）在解決其它許多問題（包括一些非常復(fù)雜的問題）中將繼續(xù)起作用下面我們就要用這些思想方法去解決由直線段構(gòu)成的平面圖形（如角、三角形、正方形、長方形、梯形等）的計數(shù)問題同時還要給同學(xué)們介紹幾種新的思想方法，它們不但會成為同學(xué)們將來解決許許多多問題的重要武器，而且會成為你的財富，使你變得更聰明、富有問題81 數(shù)一數(shù)在圖8-1所示的圖形中有多少個不同的三角形？我們先用分類的方法求解解法1把三角形中不含其它線段的三角形叫“單三角形”下面以含單三角形的個數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)把圖8-1所含的三角形進(jìn)行分類1類：含1個單三角形的三角形有PAB、PBC、PCD 3個；2類：含2個單三角形的三角形有PAC、PBD 2個；3類：含3個單三角形的三角形有PAD1個故圖 8-1共含3+2+1個三角形解法2 按含“左邊的斜邊”分類1類：含PA的三角形有PAB、PAC、PAD3個；2類：含PB的三角形有PBC、PBD2個；3類：含PC的三角形有PCD1個故共有3+2+1個三角形做到這里，同學(xué)們有什么感覺？你是否感覺到你好像以前做過這道題？如果你再去看看問題72也許你就明白了許多原來上面的解答不但用到的思想方法同問題72處相同，而且結(jié)果也完全一樣也就是說，雖然問題72要求的是線段條數(shù)，而問題81要求的是三角形的個數(shù)，這兩者明明是不同的對象，但對于計數(shù)這點來說它們有共性，或者說其實質(zhì)是一樣的那么用什么辦法來把這個共性或?qū)嵸|(zhì)講清楚呢？讓我們先從人們比較事物多少的方法說起秋收季節(jié)，有一位農(nóng)民伯伯家里裝了一筐雞蛋和一筐蘋果現(xiàn)在他想知道雞蛋多還是蘋果多當(dāng)然只要數(shù)一數(shù)雞蛋，再數(shù)一數(shù)蘋果就有了答案但農(nóng)民伯伯給他的兒子們出了一道動腦筋的題目，問不數(shù)雞蛋和蘋果能否知道它們誰多誰少？他的小兒子小聰最先想了個辦法：他拿出一個大空筐子，然后拿一個蘋果又拿出一個蛋放在里面，然后又不斷地重復(fù)這一動作，直到最后他發(fā)現(xiàn)裝蘋果和蛋的筐子同時空了于是他告訴他父親，蛋和蘋果一樣多父親又問他：“蘋果有多少個？”他想：“要知道蘋果個數(shù)只有一個一個地數(shù)，剛才白忙了半天”正在他懊悔時，他媽媽從街上回來了，進(jìn)門就說：“今天收入還不錯，家里共有300個雞蛋，我只賣了120個就賣了60元錢”話音剛落小聰就高興地笑了，忙告訴父親說：“蘋果有180個”父親忙夸獎小聰真是個有出息的孩子同學(xué)們，小聰是怎么知道蘋果數(shù)的？他剛才是白忙了嗎？以上是一個虛構(gòu)的故事，它告訴我們：人們要想知道一堆事物的多少有兩種方法：一種是逐個地去數(shù)，這叫計數(shù)法；另一種是拿一堆已經(jīng)知道個數(shù)（或更容易計算個數(shù)）的事物來，兩堆中的事物一一配對（也叫把這兩個事物對應(yīng)起來），然后由后一堆事物的個數(shù)就可以推知前一堆事物的個數(shù)，這種方法叫對應(yīng)法當(dāng)一堆事物難于計數(shù)時往往用對應(yīng)法在對應(yīng)法中，對應(yīng)的兩個事物可看成一樣的讓我們再用此法來解問題81解法3分析：現(xiàn)在需要計數(shù)的是三角形，而我們最會計算的是線段，于是想到把三角形與線段對應(yīng)我們把三角形與它的底邊對應(yīng)（見圖8-2）：在上面對應(yīng)中每個三角形與它對應(yīng)的線段可不加區(qū)別，那么計算第一堆事物與計算第二堆事物是一樣的，即解問題81與計算PAD底邊 AD上線段數(shù)是一樣的因為線段AD上有4個點，由上節(jié)的結(jié)論圖8-1中含有同學(xué)們，你現(xiàn)在知道了問題72和問題81的共性或?qū)嵸|(zhì)了嗎？原來在對應(yīng)的觀點下，它們是完全一樣的把兩堆事物能不多不少地一一配對（對應(yīng)），那么這兩堆事物個數(shù)一樣多，我們把這叫對應(yīng)原理問題82 圖8-3的兩個圖形中各含有多少個三角形？分析 由于這兩個圖中所有的三角形都共一個頂點，我們把每個三角形都與它們的底邊（線段）對應(yīng)那么由對應(yīng)原理，要計算圖中三角形的個數(shù)就只需要計算線段AB和AB上含線段的條數(shù)就行了（1）由于AB上有102個點，AB上有n個點，由上節(jié)的結(jié)論易知圖（1）、（2）中所含的三角形個數(shù)分別為規(guī)律 在PAB中，若從P點出發(fā)向底邊引n-2條線段（即包括邊PA、問題82這么難，但是我們解決它卻那么容易你知道其間的奧妙嗎？原來，我們利用對應(yīng)原理把計算三角形個數(shù)的困難問題轉(zhuǎn)化成了計算線段條數(shù)的熟悉問題，對應(yīng)原理在此起到了橋梁作用另外，在計算線段條數(shù)時，我們又直接用了上節(jié)“規(guī)律2”的結(jié)論，并沒有去計算由此可見，利用已學(xué)過的結(jié)論去解題，可省去思考的中間過程，從而使運(yùn)算速度加快如果你想提高解題速度，就請你多記些重要的結(jié)論問題83 圖8-4的兩個圖形中各含有多少個三角形？分析 我們希望用上面的規(guī)律求解但圖（1）比較復(fù)雜，顯然需分類計算一個很自然的想法就是把圖（1）分解成如圖8-5的三個三角形這樣就可分別直接用上面規(guī)律的結(jié)論求解了由上規(guī)律知圖8-5（1）、（2）、（3）中含三角形分別有6、6、3個，則圖8-4（1）共含15個三角形這樣計算雖然結(jié)論正確，但方法是錯誤的事實上在圖8-5中遺漏了原圖中的CD1B1和CD2B2，而ADC與ABC又分別在圖8-5中算了兩次，故圖8-5不能當(dāng)作圖8-4（1）的一個分類數(shù)復(fù)雜圖形中簡單圖形個數(shù)的問題中正確的分類方法是：先把圖形分割成幾個不相交的獨(dú)立圖形，分別計算各獨(dú)立圖中簡單圖形的個數(shù)，然后再把這幾個獨(dú)立圖形合起來，再數(shù)一數(shù)由于合并圖形帶來的新簡單圖形的個數(shù)，最后再把這幾個數(shù)加起來才完成了整個求解過程如本例中圖8-4（1）可先分為ADC和DCB，它們中各含6個和3個三角形，而合為ABC時又產(chǎn)生了ABB2等6個三角形，故共有6+6+3=15個三角形圖8-4（2）留給同學(xué)們自己去完成問題84 數(shù)一數(shù)圖8-6中含多少個銳角？解法1 由于APB中射線有n-2條，而n是一個抽象的數(shù)，故先退下來：當(dāng)n=3時，如圖8-7（1）用分類的思想可知有2+1個角；當(dāng)n=4時，如圖8-7（2）同樣可知有3+2+1個角；由此可上升到n=n時，共有（n-1）+（n-2）+2+1個角以上我們用的是退的思想方法其實本題還可用分類的思想直接求解，而問題82也可用退的思想方法去求解那么本題能不能用對應(yīng)法求解呢？如果能，就要找一些事物來與圖8-6中的角一一配對怎么去找這些事物呢？顯然圖中難以找到這樣的事物，因為圖中只有射線，這些射線是不能與角一一配對的（事實上，若把角與它左邊的一條邊對應(yīng)，那么射線PA就會與APC1、APCS2、都對應(yīng)，這就不是一個對一個的對應(yīng)了）另一方面，前面剛學(xué)會了數(shù)線段和數(shù)三角形，加之從解法1的結(jié)果看，剛好與前面數(shù)線段、數(shù)三角形的結(jié)果相同，因此我們自然會想到去作一些線段或三角形與這些角一一配對解法2 我們在原圖中作一條直線l，與各射線相交于A，C1，C2，Cn-2，B（見圖8-8）考察PAB，它里面所含的所有三角形正好與所有的銳角一一對應(yīng)，故由對應(yīng)原理三角形數(shù)與銳角個數(shù)一樣多由問題82的結(jié)論可知三不難驗證，解法1、解法2的結(jié)果是相同的解法2是把角與三角形作一一對應(yīng)事實上還可以把它們與線段AB上所含的線段一一配對把問題72、問題82、84連起來看，線段數(shù)、三角形數(shù)與銳角數(shù)全都相同用對應(yīng)原理就可以理解這種巧合的必然性另外，本題中原來并沒有三角形或線段，是我們?yōu)榱私忸}的需要人為地作出來的作一種東西出來幫助解題的思想叫構(gòu)造思想問題85 在圖8-9的兩個圖形中，各含多少個長方形？分析 數(shù)四邊形個數(shù)的問題與數(shù)線段條數(shù)的問題，它們關(guān)系非常密切圖（1）中所有長方形的寬都等于AB，所以以AB為寬的長方形個數(shù)故長方形有10個圖（2）中，AB有幾條線段就相當(dāng)于有幾個不同的寬，再把 BC上不同的線段當(dāng)作長一個寬配一個長就得到一個長方形由于AB上有3條線段（3個寬），BC上有10條線段（10個長），故圖（2）中共有310=30個長方形注意：由長方形、正方形的意義可知，正方形一定是長方形，但反之不然故求長方形個數(shù)時，不必把正方形分開考慮問題86 算一算圖8-10中有多少個長方形？在長方形內(nèi)分別作n-1和m-1條平行并等于長和寬的線段形成的圖形叫mn長方格網(wǎng)問題87 圖8-11中含有多少梯形？并請讀者自己總結(jié)數(shù)梯形網(wǎng)中含梯形個數(shù)的規(guī)律再把這一規(guī)律同數(shù)長方形的規(guī)律比較，并思考、比較結(jié)果的必然性問題88 圖8-12中，（1）有多少長方形？（2）有多少正方形？解（1）因為圖8-12是44長方格網(wǎng)故由上規(guī)律有長方形：（2）分析：數(shù)正方形和數(shù)長方形是不相同的，因為正方形要求長等于寬為了方便，不妨假定圖中每個小方格的邊長為1個長度單位那么AB上有幾種長度不同的線段就有幾個不同的豎邊長，這點和長方形是相同的但在AB上取一條作豎邊長的線段，并不是BC邊上任一條線段作橫邊長都能組成正方形的，而只有BC邊上的那些與所取的那條豎線段等長的線段作橫邊長時才能組成正方形（如取AB邊作豎邊長時，只有取BC作橫邊長才能構(gòu)成正方形）分類：（按豎邊的邊長分）1類：當(dāng)豎邊長為4個單位時（此時橫邊長也為4個單位），因為AB和BC上長為4的線段各只有1條，故圖中含44的正方形有11=12（個）2類：當(dāng)豎邊長為3個單位圖（1）時（此時橫邊長也為3個單位），因為AB和BC上長為3的線段各有2條，故圖中含33的正方形有22=22（個）3類：當(dāng)豎邊長為2個單位圖（2）時，仿上可得正方形有33=32（個）4類：當(dāng)豎邊長為1個單位圖（3）時，同樣可得正方形有44=42（個）如果把一個小方格的面積稱作一個面積單位，那么圖8-12中正方形的面積只能為1、4、9、16四個數(shù)以上分類也可以看成按面積分類的問題8.9 數(shù)一數(shù)，圖8-13中有多少個正方形？分析 我們完全可以像解問題88一樣去分類計數(shù)，但由于連n的大小也不知道，很抽象，故我們用以退求進(jìn)的思想求解.當(dāng)n=2時，見圖8-14(1) 有22+12個；當(dāng)n=3時，見圖8-14(2)有32+22+12個；當(dāng)n=4時，見圖8-14(3) 有42+32+22+12個；當(dāng)n取n時，共有n2+(n-1)2+12個.由nn個單位正方形合并成一個大正方形叫作一個nn方格網(wǎng).規(guī)律nn方格網(wǎng)中共含有n2+(n-1)2+12個正方形.*將來可以算得：為了訓(xùn)練同學(xué)們思維的周密性，在本節(jié)結(jié)束的時候，我們再出一道陷阱題.問題8.10 一個方桌4個角，割掉了一個角還剩幾個角.