人教B版選修45 2.2　排序不等式 學案.doc

2.2排序不等式1.了解排序不等式的數(shù)學思想和背景.2.理解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理，會用排序不等式解決簡單的不等式問題.基礎初探教材整理1順序和、亂序和、反序和的概念設a1a2an，b1b2bn為兩組實數(shù)，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，稱a1b1a2b2anbn為這兩個實數(shù)組的順序和；稱a1bna2bn1anb1為這兩個實數(shù)組的反序和；稱a1c1a2c2ancn為這兩個實數(shù)組的亂序和.教材整理2定理(排序原理，又稱為排序不等式)設a1a2an，b1b2bn為兩組實數(shù)，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，則有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等號成立(反序和等于順序和)a1a2an或b1b2bn，可簡記作：反序和亂序和順序和.已知xy，mx4y4，nx3yy3x，則m與n的大小關系是()a.mnb.mnc.m0，于是，又c0，0，從而.同理，bc0，于是，a0，0，于是得，從而.(2)由(1)知0且abc0，a2b2c2.由排序不等式，順序和亂序和得，故.利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組.再練一題1.已知0a1a2an，求證：a1a2an. 【導學號：38000035】【證明】0a1a2an，aaa，由排序不等式知，亂序和不小于反序和，得aaa.因此a1a2an.字母大小順序不定的不等式證明設a，b，c為正數(shù)，求證：.【精彩點撥】(1)題目涉及到與排序有關的不等式；(2)題目中沒有給出a，b，c的大小順序.解答本題時不妨先設定abc，再利用排序不等式加以證明.【自主解答】不妨設0abc，則a3b3c3，00，則a2b2c2，則a2b2c2(亂序和)a2b2c2(反序和)，同理，b2c2a2(亂序和)a2b2c2(反序和).兩式相加再除以2，可得abc.利用排序不等式求最值設a，b，c為任意正數(shù)，求的最小值.【精彩點撥】由對稱性，不妨設abc0，注意到1，設法構(gòu)造數(shù)組，利用排序不等式求解.【自主解答】不妨設abc，則abacbc，由排序不等式得，上兩式相加，則23，即.當且僅當abc時，取最小值.1.分析待求函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造兩個有序數(shù)組.2.運用排序原理求最值時，一定驗證等號是否成立，若等號不成立，則取不到最值.再練一題3.已知x，y，z是正數(shù)，且xyz1，求t的最小值. 【導學號：38000036】【解】不妨設xyz0，則x2y2z2，.由排序不等式，亂序和反序和.x2y2z2xyz.又xyz1，1，當且僅當xyz時，等號成立.故t的最小值為1.探究共研型排序不等式的特點探究1排序不等式的本質(zhì)含義是什么？【提示】排序不等式的本質(zhì)含義是兩實數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減)時所得兩兩乘積之和最大；反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小.注意等號成立的條件是其中一個序列為常數(shù)序列.探究2排序原理的思想是什么？【提示】在解答數(shù)學問題時，常常涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預先規(guī)定大小順序，那么在解答問題時，我們可以利用排序原理的思想方法，將它們按一定順序排列起 ，繼而利用不等關系 解題.因此，對于排序原理，我們要記住的是處理問題的這種思想及方法，同時要學會善于利用這種比較經(jīng)典的結(jié)論 處理實際問題.若某 吧的3臺電腦同時出現(xiàn)了故障，對其維修分別需要45 min,25 min和30 min，每臺電腦耽誤1 min， 吧就會損失0.05元.在只能逐臺維修的條件下，按怎樣的順序維修，才能使經(jīng)濟損失降到最??？【精彩點撥】這是一個實際問題，需要轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.要使經(jīng)濟損失降到最小，即三臺電腦維修的時間與等候的總時間之和最小，又知道若維修第一臺所用時間t1 min時，三臺電腦等候維修的總時間為3t1 min，依此類推，等候的總時間為3t12t2t3 min，求其最小值即可.【自主解答】設t1，t2，t3為25,30,45的任一排列，由排序原理知3t12t2t332523045180(min)，所以按照維修時間由小到大的順序維修，可使經(jīng)濟損失降到最小.1.首先，理解題意，實際問題數(shù)學化，建立恰當模型.2.三臺電腦的維修時間3t12t2t3就是問題的數(shù)學模型，從而轉(zhuǎn)化為求最小值(運用排序原理).再練一題4.有5個人各拿一只水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這5個人的水桶需要時間分別是4分鐘，8分鐘，6分鐘，10分鐘，5分鐘，那么如何安排這5個人接水的順序，才能使他們等待的總時間最少？【解】根據(jù)排序不等式的反序和最小，可得最少時間為4554638210184(分鐘).即按注滿時間為4分鐘，5分鐘，6分鐘，8分鐘，10分鐘依次等水，等待的總時間最少.1.設a1，a2，a3為正數(shù)，且a1，a2，a3的任一排列為a1，a2，a3，則的最小值為()a.3b.6c.9d.12【解析】由題意，不妨設a1a2a30，則0，3，當且僅當a1a2a3時等號成立.【答案】a2.設a，b，c為正數(shù)，pa3b3c3，qa2bb2cc2a，則p與q的大小關系是()a.pqb.pqc.p0，則a2b2c20.由排序不等式得a2ab2bc2ca2bb2cc2a.pq.【答案】b3.銳角三角形中，設p，qacos cbcos bccos a，則p，q的關系為()a.pqb.pqc.pqd.不能確定【解析】不妨設abc，則abc，cos acos bcos c，則由排序不等式有qacos cbcos bccos aacos bbcos cccos ar(2sin acos b2sin bcos c2sin ccos a)rsin(ab)sin(bc)sin(ac)r(sin csin asin b)p.【答案】c4.若c1，c2，c3是4,5,6的一個排列，則c12c23c3的最大值是_，最小值是_.【解析】由排序不等式，順序和最大，反序和最小.最大值為14253632，最