人教A版必修四 2.3.3 平面向量的坐標運算 教案.doc

2.3.3 平面向量的坐標運算一、教學目標 知識與技能 （1）理解平面向量的坐標的概念；掌握平面向量的坐標運算；（2）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線. 過程與方法 通過對共線向量坐標關系的探究，提高分析問題、解決問題的能力; 會用坐標進行向量的相關運算，理解數(shù) 內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。情感、態(tài)度與價值觀通過 習對 習進行辯證唯物主義思想教育、數(shù) 審美教育，提高 生 習數(shù) 的積極性二重點難點重點 平面向量的坐標運算難點 向量的坐標表示的理解及運算的準確性.三、教材與 情分析1.前面 習了平面向量的坐標表示,實際是平面向量的代數(shù)表示.在引入了平面向量的坐標表示后可使向量完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結合起 ,這就可以使很多幾何問題的解答轉化為 生熟知的數(shù)量運算.2.本小節(jié)主要是運用向量線性運算的交換律、結合律、分配律,推導兩個向量的和的坐標、差的坐標以及數(shù)乘的坐標運算.推導的關鍵是靈活運用向量線性運算的交換律、結合律和分配律.3.引進向量的坐標表示后,向量的線性運算可以通過坐標運算 實現(xiàn),一個自然的想法是向量的某些關系,特別是向量的平行、垂直,是否也能通過坐標 研究呢?前面已經(jīng)找出兩個向量共線的條件(如果存在實數(shù),使得a=b,那么a與b共線),本節(jié)則進一步地把向量共線的條件轉化為坐標表示.這種轉化是比較容易的,只要將向量用坐標表示出 ,再運用向量相等的條件就可以得出平面向量共線的坐標表示.要注意的是,向量的共線與向量的平行是一致的.四、教 方法 問題引導，主動探究，啟發(fā)式教 五、教 過程（一）導入新課 思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標系緊密相聯(lián).那么我們在 習直線和圓的方程以及點、直線、平面之間的位置關系時,直線與直線的平行是一種重要的關系.關于x、y的二元一次方程ax+by+c=0(a、b不同時為零)何時所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運算如何體現(xiàn)？ 思路2.對于平面內(nèi)的任意向量a,過定點o作向量=a,則點a的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點o為原點建立平面直角坐標系,那么點a的位置可通過其坐標 反映,從而向量a也可以用坐標 表示,這樣我就可以通過坐標 研究向量問題了.事實上,向量的坐標表示,實際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結合起 ,這就可以使很多幾何問題的解答轉化為 生熟知的數(shù)量運算.引進向量的坐標表示后,向量的線性運算可以通過坐標運算 實現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標 研究呢？（二）新知探究、提出問題我們研究了平面向量的坐標表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,a的坐標表示嗎?如圖1,已知a(x1,y1),b(x2,y2),怎樣表示的坐標？你能在圖中標出坐標為(x2-x1,y2-y1)的p點嗎?標出點p后,你能總結出什么結論? 活動 教師讓 生通過向量的坐標表示 進行兩個向量的加、減運算,教師可以讓 生到黑板去板書步驟.可得 圖1a+b=(x1+y1j)+(x2+y2j)=(x1+x2)+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又a=(x1+y1j)=x1+y1j.a=(x1,y1). 教師和 生一起總結,把上述結論用文字敘述分別為 兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差);實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原 向量的相應坐標.教師再引導 生找出點與向量的關系 將向量平移,使得點a與坐標原點o重合,則平移后的b點位置就是p點.向量的坐標與以原點為始點,點p為終點的向量坐標是相同的,這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系. 生通過平移也可以發(fā)現(xiàn) 向量的模與向量的模是相等的. 由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點間的距離公式 = =. 教師對總結完全的同 進行表揚,并鼓勵 生,只要善于開動腦筋,勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.討論結果 能. =-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結論 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.提出問題 如何用坐標表示兩個共線向量?若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共線的什么條件?活動 教師引導 生類比直線平行的特點 推導向量共線時的關系.此處教師要對探究困難的 生給以必要的點撥 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0.我們知道,a、b共線,當且僅當存在實數(shù),使a=b.如果用坐標表示,可寫為(x1,y1)=(x2,y2),即消去后得x1y2-x2y1=0.這就是說,當且僅當x1y2-x2y1=0時向量a、b(b0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價的,但這與是不等價的.因為當x1=x2=0時,x1y2-x2y1=0成立,但均無意義.因此是向量a、b共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應用更具一般性,更簡捷、實用,讓 生仔細體會這點.討論結果 x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b0)共線. 充分不必要條件.提出問題 a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數(shù)使得a=b,那么這個充要條件如何用坐標 表示呢？活動 教師引導推證 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中ba,由a=b,(x1,y1)=(x2,y2)消去,得x1y2-x2y1=0.討論結果 ab(b0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.教師應向 生特別提醒感悟 1消去時不能兩式相除,y1、y2有可能為0,而b0,x2、y2中至少有一個不為0.2充要條件不能寫成(x1、x2有可能為0).3從而向量共線的充要條件有兩種形式 ab(b0)（三）應用示例例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標. 活動 本例是向量代數(shù)運算的簡單應用,讓 生根據(jù)向量的線性運算進行向量的和、差及數(shù)乘的坐標運算,再根據(jù)向量的線性運算律和向量的坐標概念得出的結論.若已知表示向量的有向線段的始點和終點坐標,那么終點的坐標減去始點的坐標就是此向量的坐標,從而使得向量的坐標與點的坐標可以相互轉化.可由 生自己完成.解 a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點評 本例是平面向量坐標運算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標運算公式.變式訓練1.1. 已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量ab等于( )a.(-2,-1) b.(-2,1) c.(-1,0) d.(-1,2)答案 d2. 已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b( )a.垂直 b.不垂直也不平行 c.平行且同向 d.平行且反向答案 a圖2例2 如圖2,已知abcd的三個頂點a、b、c的坐標分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點d的坐標.活動 本例的目的仍然是讓 生熟悉平面向量的坐標運算.這里給出了兩種解法 解法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標相等”,解題過程中應用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標,進而得到點d的坐標.解題過程中,關鍵是充分利用圖形中各線段的位置關系(主要是平行關系),數(shù)形結合地思考,將頂點d的坐標表示為已知點的坐標.解 方法一 如圖2,設頂點d的坐標為(x,y).=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y). 頂點d的坐標為(2,2).方法二 如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),頂點d的坐標為(2,2).點評 本例的目的仍然是讓 生熟悉平面向量的坐標運算.變式訓練2.圖3如圖3,已知平面上三點的坐標分別為a(-2,1),b(-1,3),c(3,4),求點d的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解 當平行四邊形為abcd時,仿例二得 d1=(2,2); 當平行四邊形為acdb時,仿例二得 d2=(4,6);當平行四邊形為dacb時,仿上得 d3=(-6,0).例3 已知a(-1,-1),b(1,3),c(2,5),試判斷a、b、c三點之間的位置關系.活動 教師引導 生利用向量的共線 判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量,然后根據(jù)兩個向量共線的充要條件 判斷這兩個向量是否共線從而 判斷這三點是否共線.教師引導 生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標形式 判斷向量之間的關系.讓 生通過觀察圖象領悟先猜后證的思維方式.解 在平面直角坐標系中作出a、b、c三點,觀察圖形,我們猜想a、b、c三點共線.下面給出證明.=(1-(-1),3-(-1)=(2,4), =(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又26-34=0,且直線ab、直線ac有公共點a,a、b、c三點共線. 點評 本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法,其實質是從同一點出發(fā)的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過 的.變式訓練3.已知a=(4,2),b=(6,y),且ab