浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2015-2016學(xué)年高一(上)期中數(shù)學(xué)試題(含解析).doc

2015-2016學(xué)年浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1設(shè)全集U=x|x4，xN，A=0，1，2，B=2，3，則BUA等于（）A3B2，3CD0，1，2，32滿足不等式的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）ABCD3在下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相等的是（）Af（x）=與g（x）=Bf（x）=與g（x）=Cf（x）=2x，x0，1，2，3與g（x）=Df（x）=|x|與g（x）=4函數(shù)y=的值域是（）Ay|y2或y2By|y2或y2Cy|2y2D5若函數(shù)y=ax+b的部分圖象如圖所示，則（）A0a1，1b0B0a1，0b1Ca1，1b0Da1，0b16偶函數(shù)f（x）（xR）滿足f（4）=f（1）=0，且在區(qū)間0，3與3，+）上分別遞減與遞增，則不等式xf（x）0的解集為（）ABCD（1，4）7設(shè)f（x）=，則f（5）的值為（）A10B11C12D138已知函數(shù)f（x）=loga（x2ax+3）（a0且a1）滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，總有f（x1）f（x2）0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）AC（2，）D（1，）9定義：區(qū)間x1，x2（x1x2）的長(zhǎng)度為x2x1，已知函數(shù)y=2|x|的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?，2，記區(qū)間a，b的最大長(zhǎng)度為m，最小長(zhǎng)度為n則函數(shù)g（x）=mx（x+2n）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D310已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)在0，1上的圖象總長(zhǎng)（）A8060B4030C2015D二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.請(qǐng)將答案填寫在答題卷中的橫線上.）11冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，則=12函數(shù)f（x）=的定義域是13冪函數(shù)y=x，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間0，1上它們的圖象是一族美麗的曲線（如圖）設(shè)點(diǎn)A（1，0），B（0，1），連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y=x，y=x的圖象三等分，即有BM=MN=NA那么，=14下列幾個(gè)命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則m=0；若f（x）的定義域?yàn)?，1，則f（x+2）的定義域?yàn)?，1；函數(shù)y=log2（x+1）+2的圖象可由y=log2（x1）2的圖象向上平移4個(gè)單位向左平移2個(gè)單位得到；若關(guān)于x方程|x22x3|=m有兩解，則m=0或m4；其中正確的有15函數(shù)g（x）=log2（x0），關(guān)于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為三、解答題（本大題共5小題，第16，17題8分，第18題10分，第19，20題每題12分，共50分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.）16（1）計(jì)算2lg5+（2）若，求的值17已知集合A=x|2a+1x3a+5，B=x|3x32，若A（AB），求a的取值范圍18已知函數(shù)（aR）（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明19為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a（1a4）個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）20已知函數(shù)f（x）=x|ax|+2x（1）當(dāng)a=4時(shí)，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（不需要過(guò)程）；（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若存在a2，4，使得函數(shù)y=f（x）at有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍2015-2016學(xué)年浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1設(shè)全集U=x|x4，xN，A=0，1，2，B=2，3，則BUA等于（）A3B2，3CD0，1，2，3【分析】先求出全集U=3，2，1，0，然后進(jìn)行補(bǔ)集、并集的運(yùn)算即可【解答】解：U=3，2，1，0；UA=3；BUA=2，3故選：B【點(diǎn)評(píng)】考查描述法和列舉法表示集合，以及全集的概念，補(bǔ)集、并集的運(yùn)算2滿足不等式的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）ABCD【分析】化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得答案【解答】解：由（）x，得3x，即x，即x，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)不等式的解法，考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，是基礎(chǔ)題3在下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相等的是（）Af（x）=與g（x）=Bf（x）=與g（x）=Cf（x）=2x，x0，1，2，3與g（x）=Df（x）=|x|與g（x）=【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域也相同，即可判斷這兩個(gè)函數(shù)是相等的函數(shù)【解答】解：對(duì)于A，f（x）=x的定義域是R，g（x）=|x|的定義域是R，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以兩個(gè)函數(shù)不相等；對(duì)于B，y=的定義域是（，11，+），g（x）=的定義域是1，+），定義域不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不相等；對(duì)于C，x0，1，2，3時(shí)，f（x）=2x=1，2，4，8，g（x）=+x+1=1，2，4，7，所以這兩個(gè)函數(shù)不是相等的函數(shù)；對(duì)于D，f（x）=|x|=，g（x）=，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以是相等函數(shù)故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域就可確定一個(gè)函數(shù)，是基礎(chǔ)題目4函數(shù)y=的值域是（）Ay|y2或y2By|y2或y2Cy|2y2D【分析】把已知函數(shù)式變形，然后分類利用基本不等式求得函數(shù)的最值，則函數(shù)的值域可求【解答】解：y=，當(dāng)x+10時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即x+1=1，也就是x=0時(shí)上式等號(hào)成立；當(dāng)x+10時(shí)，有y=（x+1）+，當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）=，即x+1=1，也就是x=2時(shí)上式等號(hào)成立函數(shù)y=的值域是y|y2或y2故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題5若函數(shù)y=ax+b的部分圖象如圖所示，則（）A0a1，1b0B0a1，0b1Ca1，1b0Da1，0b1【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷【解答】解：由圖象可以看出，函數(shù)為減函數(shù)，故0a1，因?yàn)楹瘮?shù)y=ax的圖象過(guò)定點(diǎn)（0，1），函數(shù)y=ax+b的圖象過(guò)定點(diǎn)（0，b），1b0，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，利用函數(shù)過(guò)定點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵6偶函數(shù)f（x）（xR）滿足f（4）=f（1）=0，且在區(qū)間0，3與3，+）上分別遞減與遞增，則不等式xf（x）0的解集為（）ABCD（1，4）【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意進(jìn)行求解【解答】解：求xf（x）0即等價(jià)于求函數(shù)在第二、四象限圖形x的取值范圍偶函數(shù)f（x）（xR）滿足f（4）=f（1）=0 f（4）=f（1）=f（4）=f（1）=0 且f（x）在區(qū)間0，3與3，+）上分別遞減與遞增 如右圖可知：即x（1，4）函數(shù)圖象位于第四象限x函數(shù)圖象位于第二象限 綜上說(shuō)述：xf（x）0的解集為：（1，4）故答案選：D【點(diǎn)評(píng)】考察了偶函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題7設(shè)f（x）=，則f（5）的值為（）A10B11C12D13【分析】欲求f（5）的值，根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x10內(nèi)的函數(shù)值即可求出其值【解答】解析：f（x）=，f（5）=ff（11）=f（9）=ff（15）=f（13）=11故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分段函數(shù)、求函數(shù)的值屬于基礎(chǔ)題8已知函數(shù)f（x）=loga（x2ax+3）（a0且a1）滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，總有f（x1）f（x2）0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）AC（2，）D（1，）【分析】由題意可得函數(shù)f（x）在（，）上是減函數(shù)令t=x2ax+3，則函數(shù)t在（，）上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可得a1，且a+30，由此求得a的范圍【解答】解：由題意可得函數(shù)f（x）在（，）上是減函數(shù)令t=x2ax+3，則函數(shù)t在（，）上是減函數(shù)，且f（x）=logat由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可得a1，且a+30解得 1a2，故選 D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，屬于中檔題9定義：區(qū)間x1，x2（x1x2）的長(zhǎng)度為x2x1，已知函數(shù)y=2|x|的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?，2，記區(qū)間a，b的最大長(zhǎng)度為m，最小長(zhǎng)度為n則函數(shù)g（x）=mx（x+2n）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3【分析】作函數(shù)y=2|x|的圖象，從而結(jié)合圖象可得m=2，n=1；從而化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）=2x（x+2）；再作函數(shù)y=2x與y=x+2的圖象，從而求得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可【解答】解：作函數(shù)y=2|x|的圖象如下，則m=2，n=1；則函數(shù)g（x）=2x（x+2）；作函數(shù)y=2x與y=x+2的圖象如下，故有2個(gè)零點(diǎn)；故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象的作法及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題10已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)在0，1上的圖象總長(zhǎng)（）A8060B4030C2015D【分析】由已知中函數(shù)f（x）=，分段討論，求出函數(shù)g（x）=f（f（x）在0，1上各段的解析式，畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而可得求出函數(shù)g（x）=f（f（x）在0，1上的圖象總長(zhǎng)，同法，類比可得函數(shù)在0，1上的圖象總長(zhǎng)【解答】解：先求出函數(shù)g（x）=f（f（x）在0，1上的圖象總長(zhǎng)函數(shù)f（x）=，當(dāng)x0，時(shí)，f（x）0，g（x）=f（f（x）=22x=4x，當(dāng)x（，時(shí)，f（x）（，1，g（x）=f（f（x）=222x=24x，當(dāng)x（，）時(shí)，f（x）（，1），g（x）=f（f（x）=22（22x）=4x2，當(dāng)x，1時(shí)，f（x）0，g（x）=f（f（x）=2（22x）=44x，故函數(shù)g（x）=f（f（x）在0，1上的圖象如圖所示：其長(zhǎng)度為：4=，同法，類比可得函數(shù)在0，1上的圖象總長(zhǎng)為故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分段函數(shù)分段處理，是解答分段函數(shù)的基本思路，也是分類討論思想最好的印證二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.請(qǐng)將答案填寫在答題卷中的橫線上.）11冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，則=【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念設(shè)f（x）=x，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得值，從而求得函數(shù)解析式【解答】解：設(shè)f（x）=x，冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn) （2，），2=，=這個(gè)函數(shù)解析式為 f（x）=，f（）=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式、指數(shù)方程的解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題12函數(shù)f（x）=的定義域是（，1【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，即可得到結(jié)論【解答】解：要使函數(shù)f（x）有意義，則，即，則03x21，解得x1，故函數(shù)的定義域的（，1，故答案為：（，1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件13冪函數(shù)y=x，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間0，1上它們的圖象是一族美麗的曲線（如圖）設(shè)點(diǎn)A（1，0），B（0，1），連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y=x，y=x的圖象三等分，即有BM=MN=NA那么，=1【分析】先確定M、N的坐標(biāo)，然后求得，；再求的值【解答】解：BM=MN=NA，點(diǎn)A（1，0），B（0，1），所以MN，分別代入y=x，y=x故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，冪函數(shù)的圖象，是基礎(chǔ)題14下列幾個(gè)命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則m=0；若f（x）的定義域?yàn)?，1，則f（x+2）的定義域?yàn)?，1；函數(shù)y=log2（x+1）+2的圖象可由y=log2（x1）2的圖象向上平移4個(gè)單位向左平移2個(gè)單位得到；若關(guān)于x方程|x22x3|=m有兩解，則m=0或m4；其中正確的有、【分析】判斷函數(shù)的對(duì)稱性，利用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行判斷根據(jù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系進(jìn)行判斷利用數(shù)形結(jié)合以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷【解答】解：若函數(shù)關(guān)于x=m對(duì)稱，若f（x）為偶函數(shù)，則m=0；故正確，若f（x）的定義域?yàn)?，1，由0x+21得2x1，即則f（x+2）的定義域?yàn)?，1；故正確，由y=log2（x1）2的圖象向上平移4個(gè)單位得到由y=log2（x1）2+4=log2（x1）+2，然后向左平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)log2（x+2）1+2=log2（x3）+2，故錯(cuò)誤，設(shè)f（x）=|x22x3|，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，若f（x）=m有兩解，則m=0或m4；故正確，故答案為：、【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的定義域，圖象，奇偶性的性質(zhì)，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，但難度不大15函數(shù)g（x）=log2（x0），關(guān)于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m【分析】可判斷函數(shù)y=在（0，+）上單調(diào)遞增，y=log2x在（0，2）上單調(diào)遞增，從而可得|g（x）|=0或0|g（x）|1，0|g（x）|1或|g（x）|1；從而解得【解答】解：當(dāng)x0時(shí)，02，且函數(shù)y=在（0，+）上單調(diào)遞增，y=log2x在（0，2）上單調(diào)遞增，且y1；故若關(guān)于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則|g（x）|=0或0|g（x）|1，0|g（x）|1或|g（x）|1；若|g（x）|=0，則2m+3=0，故m=；故|g（x）|=0或|g（x）|=，不成立；故0|g（x）|1或|g（x）|1；故，解得，m；故答案為：m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題三、解答題（本大題共5小題，第16，17題8分，第18題10分，第19，20題每題12分，共50分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.）16（1）計(jì)算2lg5+（2）若，求的值【分析】根據(jù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可【解答】（1）原式=2（lg5+lg2）+lg5（1+lg2）+（lg2）2=2+lg5+lg2（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=2+1=3，（2），x+x1=5，x2+x2=23，原式=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題17已知集合A=x|2a+1x3a+5，B=x|3x32，若A（AB），求a的取值范圍【分析】由A（AB），可得AB，再分類討論，即可求a的取值范圍【解答】解：A（AB），ABA=，2a+13a+5，a4（4分）A，32a+1，3a+532，1a9，（4分）綜上所述，a4或1a9【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的關(guān)系與運(yùn)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題18已知函數(shù)（aR）（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明【分析】（1）直接根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，對(duì)應(yīng)的f（x）+f（x）=0恒成立即可求出a的值；（2）直接根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)的值域按單調(diào)性的證明過(guò)程即可得到結(jié)論【解答】解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）+f（x）=0，即：，則有：，即：，4a1=0，；（2）f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：任取x1，x2R，且x1x2，則f（x1）f（x2）=y=3x在R上是增函數(shù)，且x1x2，即：又3x0，f（x1）f（x2）0，即：f（x1）f（x2），故f（x）在R上是增函數(shù)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）+f（x）=0恒成立求出a的值19為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a（1a4）個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）【分析