實(shí)驗(yàn)一 觀察Runge現(xiàn)象和對非光滑函數(shù)進(jìn)行插值的可能.doc

計 算 方 法實(shí)驗(yàn)報告實(shí)驗(yàn)序號：實(shí)驗(yàn)一 實(shí)驗(yàn)名稱：觀察Runge現(xiàn)象和對非光滑函數(shù)進(jìn)行插值的可能性實(shí) 驗(yàn) 人： 鮑梅專業(yè)年級：10計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué) 號：21016775實(shí)驗(yàn)時間：2013.10.08江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)一觀察Runge現(xiàn)象和對非光 滑函數(shù)進(jìn)行插值的可能性一、相關(guān)原理在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為，構(gòu)造其Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為，Lagrange插值多項式為其截斷誤差為其中，二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠^察高次Lagrange插值多項式的Runge現(xiàn)象；觀察非光滑函數(shù)進(jìn)行多項式插值的可能性三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容考慮在一個固定的區(qū)間上用Lagrange插值逼近一個函數(shù)顯然Lagrange插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值多項式似的次數(shù)就越高我們自然關(guān)心插值多項式的次數(shù)增加時，是否也更加靠近被逼近的函數(shù)設(shè)區(qū)間上函數(shù)考慮區(qū)間上的一個等距分割，節(jié)點(diǎn)為作在上的Lagrange插值多項式其中為Lagrange插值基函數(shù)連續(xù)非光滑函數(shù)的幾何特性非常差，在幾何圖象上一般會出現(xiàn)大量的尖點(diǎn)在構(gòu)造非光滑函數(shù)的多項式插值時，由于多項式具有高階光滑度，兩者之間會產(chǎn)生怎樣的現(xiàn)象？選擇區(qū)間上的連續(xù)非光滑函數(shù)作區(qū)間上的Lagrange插值多項式四、實(shí)驗(yàn)要求選擇不斷增大的節(jié)點(diǎn)數(shù)目，畫出原函數(shù)及插值多項式在區(qū)間的上的圖象，比較并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果選擇其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間上的函數(shù)重復(fù)上述的實(shí)驗(yàn)過程，觀察其結(jié)果又將如何如果不取等距節(jié)點(diǎn)，而改為取如下節(jié)點(diǎn)，以為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述函數(shù)的Lagrange插值多項式，比較其結(jié)果選擇不同的和，用等距節(jié)點(diǎn)作的次Lagrange插值多項式，觀察其誤差大小及收斂情況 五、實(shí)驗(yàn)選擇不斷增大的節(jié)點(diǎn)數(shù)目，畫出原函數(shù)及插值多項式在區(qū)間的上的圖象，比較并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果原函數(shù)及插值多項式在區(qū)間的上的圖象如圖所示，出現(xiàn)runge現(xiàn)象。選擇其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間上的函數(shù) 重復(fù)上述的實(shí)驗(yàn)過程，觀察其結(jié)果，如下圖所示： 隨著n的增加，出現(xiàn)runge現(xiàn)象。 如圖所示，隨著n的增加，出現(xiàn)runge現(xiàn)象。如果不取等距節(jié)點(diǎn)，而改為取如下節(jié)點(diǎn)，以為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述函數(shù)的Lagrange插值多項式，比較其結(jié)果不取等距節(jié)點(diǎn)，函數(shù)的Lagrange插值多項式不出現(xiàn)runge現(xiàn)象。 選擇不同的和，用等距節(jié)點(diǎn)作的次Lagrange插值多項式，觀察其誤差大小及收斂情況如圖所示，k取10時，隨著n的增加，出現(xiàn)runge現(xiàn)象。六、實(shí)驗(yàn)結(jié)論取等距節(jié)點(diǎn)時，高次Lagrange插值多項式隨著次數(shù)n的增大，Runge現(xiàn)象越明顯。不取等距節(jié)點(diǎn)時，高次Lagrange插值多項式隨著次數(shù)n的