北師大版選修23 1.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理1 課件（33張）.pptx

第一章計數(shù)原理 1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 第1課時 一 二 一 分類加法計數(shù)原理完成一件事 可以有n類辦法 在第一類辦法中有m1種方法 在第二類辦法中有m2種方法 在第n類辦法中有mn種方法 那么 完成這件事共有n m1 m2 mn種方法 也稱加法原理 一 二 名師點撥應用分類加法計數(shù)原理解題時要注意以下三點 第一 明確題目中 完成一件事 所指的是什么事 怎么才算是完成這件事 完成這件事可以有哪些辦法 第二 完成這件事的n種方法是相互獨立的 無論哪類辦法中的哪種方法都可以單獨完成這件事 而不需要再用到其他的方法 第三 確立恰當?shù)姆诸悩藴?準確地對 這件事 進行分類 要求每一種方法必屬于某一類辦法 不同類辦法的任意兩種方法是不同的方法 也就是分類必須既 不重復 也 不遺漏 一 二 做一做1 把10個蘋果分成3份 要求每份至少1個 至多5個 則不同的分法種數(shù)共有 a 5種b 6種c 4種d 3種解析由于分成3份 每份至少1個 至多5個 故有一份1個蘋果 其余兩份只能選一份5個 一份4個 有一份2個蘋果 則其余兩份可能一份5個 一份3個 或兩份都是4個 有一份3個蘋果 則其余兩份只能是一份4個 一份3個 所以共有1 2 1 4 種 答案c 一 二 二 分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個步驟 缺一不可 做第一步有m1種方法 做第二步有m2種方法 做第n步有mn種方法 那么 完成這件事共有n m1 m2 mn種方法 也稱乘法原理 一 二 名師點撥應用分步乘法計數(shù)原理要注意的問題 1 明確題目中所指的 完成一件事 是什么事 單獨用題目中所給的某一步驟的某種方法是不能完成這件事的 也就是說必須要經(jīng)過幾步才能完成這件事 2 完成這件事需要分成若干個步驟 只有每個步驟都完成了 才算完成這件事 缺少哪一步驟 這件事都不可能完成 3 根據(jù)題意正確分步 要求各步之間必須連續(xù) 只有按照這幾步逐步地去做 才能完成這件事 各步驟之間既不能重復也不能遺漏 一 二 做一做2 2014年南京青奧會是世界體壇的一大盛事 一名志愿者從沈陽趕赴南京為游客提供導游服務 但需在北京停留 已知從沈陽到北京每天有7個航班 從北京到南京每天有6列火車 該志愿者從沈陽到南京共有 種不同的方法 a 13b 42c 7d 6解析根據(jù)乘法原理 該志愿者從沈陽到南京的不同方法共有6 7 42種 答案b 一 二 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內打 錯誤的打 1 在分類加法計數(shù)原理中 某兩類不同方案中的方法可以相同 2 在分類加法計數(shù)原理中 每類方案中的方法都能直接完成這件事 3 在分步乘法計數(shù)原理中 只有各步驟都完成后 這件事情才算完成 4 在分步乘法計數(shù)原理中 每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例1 高三 一班有學生50人 男30人 女20人 高三 二班有學生60人 男30人 女30人 高三 三班有學生55人 男35人 女20人 1 從高三 一班 二班或三班中選一名學生任校學生會主席 有多少種不同的選法 2 從高三 一班 二班男生中 或從高三 三班女生中選一名學生任校學生會體育部長 有多少種不同的選法 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析所謂 完成一件事 有幾類方案 是指對完成這件事情的所有方案的一個分類 利用分類加法計數(shù)原理求解 解 1 分三類 第一類選法 從高三 一班中任選一名 有50種不同的方法 第二類選法 從高三 二班中任選一名 有60種不同的方法 第三類選法 從高三 三班中任選一名 有55種不同的方法 根據(jù)分類加法計數(shù)原理 得50 60 55 165種 因此共有165種不同的選法 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 分三類 第一類選法 從高三 一班男生中任選一名 有30種不同的方法 第二類選法 從高三 二班男生中任選一名 有30種不同的方法 第三類選法 從高三 三班女生中任選一名 有20種不同的方法 根據(jù)分類加法計數(shù)原理 得30 30 20 80種 故共有80種不同的選法 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟運用分類加法計數(shù)原理時 首先要依據(jù)問題的特征 確定恰當?shù)姆诸悩藴?然后在這個標準下進行分類 分類應滿足 完成一件事的任何一種方法 必須屬于某一類而且僅屬于這一類 即各類辦法是互斥的 相互獨立的 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練1某班有男生26人 女生22人 從中選一位同學為數(shù)學課代表 則不同選法的種數(shù)為 a 22b 26c 48d 572解析 由分類加法計數(shù)原理可知不同選法有26 22 48 種 答案 c 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 有六名同學報名參加三個智力競賽項目 在下列情況下各有多少種不同的報名方法 不一定六名同學都能參加 1 每人恰好參加一項 每項人數(shù)不限 2 每項限報一人 且每人至多參加一項 3 每項限報一人 但每人參加的項目不限 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 每人都可以從這三個比賽項目中選報一項 各有3種不同的報名方法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 可得不同的報名方法共有36 729種 2 每項限報一人 且每人至多參加一項 因此可由項目選人 第一個項目有6種選法 第二個項目有5種選法 第三個項目只有4種選法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 可得不同的報名方法共有6 5 4 120種 3 每人參加的項目不限 因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 可得不同的報名方法共有6 6 6 216種 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 使用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)的兩個注意點 一是要按照事件發(fā)生的過程合理分步 即分步是有先后順序的 二是各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各個步驟都完成才算完成這件事 2 利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練2在運動會比賽中 8名男運動員參加100米決賽 其中甲 乙 丙三人必須在1 2 3 4 5 6 7 8八條跑道的奇數(shù)號跑道上 則安排這8名運動員比賽的方式共有種 解析分兩步安排這8名運動員 第一步 安排甲 乙 丙三人 共有1 3 5 7四條跑道可安排 故安排方式有4 3 2 24 種 第二步 安排另外5人 可在2 4 6 8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排 所以安排方式有5 4 3 2 1 120 種 故安排這8人的方式共有24 120 2880 種 答案2880 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例3 從0 1 2 3 4 5共六個數(shù)字中取四個數(shù)字組成一個四位數(shù) 問 1 總共能組成多少個四位數(shù) 2 在 1 中所有的四位數(shù)中 則能被5整除的四位數(shù)有多少個 分析 1 要完成的一件事是組成四位數(shù) 所以首位數(shù)字不能是0 2 要使所組成的數(shù)字能被5整除 則末位數(shù)字必須是0和5中的一個 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 第一步 千位上的數(shù)不能取0 只能取1 2 3 4 5 共5種情形 第二步 因為千位取了一個數(shù) 還剩下5個數(shù)字供百位上取 所以有5種情形 第三步 因為千位 百位分別取了一個數(shù) 還剩下4個數(shù)字供十位上取 所以有4種情形 第四步 因為千位 百位 十位分別取了一個數(shù) 還剩下3個數(shù)字供個位上取 所以有3種情形 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 取得的四位數(shù)總共有5 5 4 3 300個 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 因為四位數(shù)能被5整除 所以個位數(shù)字只能是0或5 第一類情形 當個位數(shù)字為0時 依次取千位數(shù)字 百位數(shù)字 十位數(shù)字 分別有5種情形 4種情形 3種情形 所以共計有5 4 3 60個四位數(shù) 第二類情形 當個位數(shù)字為5時 依次取千位數(shù)字 百位數(shù)字 十位數(shù)字 分別有4種情形 4種情形 3種情形 所以共計有4 4 3 48個四位數(shù) 根據(jù)分類加法計數(shù)原理 能被5整除的四位數(shù)總共有60 48 108個 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟利用兩個計數(shù)原理解題的思路 1 當題目無從下手時 可考慮分類完成這件事 2 分類時標準要明確 做到不重不漏 有時要恰當畫出示意圖或樹形圖 使問題的分析更直觀 清楚 便于探索規(guī)律 3 混合問題一般是先分類再分步 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練3有甲 乙 丙三個盒子 分別裝有除顏色外都一樣的紅色小球6個 白色小球5個 黃色小球4個 從中取兩個小球 球的顏色互不相同的取法有多少種 解分三類 每一類又分兩步 第一類 從甲 乙兩個盒子中分別取一個小球 有6 5 30種不同的取法 第二類 從乙 丙兩個盒子中分別取一個小球 有5 4 20種不同的取法 第三類 從丙 甲兩個盒子中分別取一個小球 有4 6 24種不同的取法 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有30 20 24 74種取法 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因忽視限制條件而致誤 典例 有3張卡片的正 反兩面上分別寫有1和2 4和5 8和9 將它們并排組成三位數(shù) 共有多少個不同的三位數(shù) 易錯分析計數(shù)原理出錯的主要原因有兩種 一是混淆分步乘法和分類加法 二是忽視題干所隱含的客觀限制條件而致誤 解分三步進行 第一步 確定個位上數(shù)字有6種選法 第二步 確定十位上數(shù)字 因個位上數(shù)字已定 其反面數(shù)字不能選取 只能從剩余的2張卡片中選取 有4種選法 第三步 確定百位上數(shù)字 只能從剩余的1張卡片中選取 有2種選法 由分步乘法計數(shù)原理知 共有6 4 2 48 個 不同的三位數(shù) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得1 正確分清是分類問題還是分步問題 選用加法計數(shù)原理還是乘法計數(shù)原理 2 要正確認識題目的條件 本題是有約束條件的問題 即同一張卡片的兩數(shù)在同一個三位數(shù)中不能同時出現(xiàn) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示 某人從點p處進 點q處出 沿圖中線路游覽a b c三個景點及沿途風景 則不重復 除交匯點o外 的不同游覽線路有 a 6種b 8種c 12種d 48種 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解析從點p處進入交匯點o以后 游覽每一個景點所走環(huán)形路線都有2條 若先游覽完a景點 再進入另外兩個景點 最后從點q處出 有2 2 2 2 16種不同的方法 同理 若先游覽b景點 有16種不同的方法 若先游覽c景點 有16種不同的方法 因而所求的不同游覽線路有3 16 48種 答案d 1 2 3 4 1 將2名教師 4名學生分成2個小組 分別安排到甲 乙兩地參加社會實踐活動 每個小組由1名教師和2名學生組成 不同的安排方案共有 a 12種b 10種c 9種d 8種解析分到甲地 第一步選1名教師 有2種方法 第二步選2名學生 有6種方法 第三步 剩下1名教師和2名學生分到乙地 有1種方法 由分步乘法計數(shù)原理知共有2 6 1 12種方法 故選a 答案a 1 2 3 4 2 已知ax2 b 0是關于x的一元二次方程 其中a b 1 2 3 4 則解集不同的一元二次方程的個數(shù)為 a 4b 6c 11d 16 1 2 3 4 3 有a b c三個城市 上午從a城去b城有5班汽車 2班火車 都能在12 00前到達b城 下午從b城去c城有3班汽車 2班輪船 某人上午從a城出發(fā)去b城 要求12 00前到達 然后他下午去c城 則不同的走法共有 種 a 12b 15c 35d 60解析 根據(jù)分類加法計數(shù)原理 上午從a城去b城 并在12 00前到達 共有5 2 7種不同的走法 下午從b城去c城 共有3 2 5種不同的走法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 上午