第八講Matlab在金融工程中的應(yīng)用.ppt

第八講Matlab在金融工程中的應(yīng)用 張樹德著 參考文獻(xiàn) MATLAB金融計(jì)算與金融數(shù)據(jù)處理 北京航空航天大學(xué)出版社 2008 Matlab金融工具箱模塊 1 FinancialToolbox Matlab自帶金融工具箱 具有下列功能 固定收益計(jì)算 日期數(shù)據(jù)處理 資產(chǎn)均值 方差分析 時(shí)間序列分析 有價(jià)證卷的收益和價(jià)格 統(tǒng)計(jì)分析 定價(jià)和靈敏度分析 年金和現(xiàn)金流計(jì)算 抵押支持債卷 FinancialDerivativesToolbox是金融衍生產(chǎn)品工具箱 用于固定收益 金融衍生物以及風(fēng)險(xiǎn)投資評(píng)估分析 也可用于各種金融衍生物定價(jià)策略以及敏感度分析 2 FinancialDerivativesToolbox 3 FinancialTimeSeriesToolbox FinancialTimeSeriesToolbox用于分析金融市場的時(shí)間序列數(shù)據(jù) 金融數(shù)據(jù)是時(shí)間序列數(shù)據(jù) 例如股票價(jià)格或每天的利息波動(dòng) 可以用該工具箱進(jìn)行更加直觀的數(shù)據(jù)管理 該工具箱支持下列功能 技術(shù)分析函數(shù)分析投資 可視化金融時(shí)間序列的對(duì)象 提供兩種創(chuàng)建金融時(shí)間序列的對(duì)象 用構(gòu)造器和轉(zhuǎn)換文本文件 Fixed IncomeToolbox擴(kuò)展了Matlab在金融財(cái)經(jīng)方面的應(yīng)用 可以用固定收益模型進(jìn)行計(jì)算 例如定價(jià) 收益和現(xiàn)金流動(dòng)等有價(jià)證券的固定收益計(jì)算 支持的固定收益類型包括有價(jià)證券抵押回報(bào) 社會(huì)債卷和保證金等 該工具箱還能夠處理相應(yīng)金融衍生物的計(jì)算 支持抵押回收有價(jià)證券 國債和可轉(zhuǎn)換債卷等的計(jì)算 GarchToolbox提供了一個(gè)集成計(jì)算環(huán)境 允許對(duì)單變量金融時(shí)序數(shù)據(jù)的易變性進(jìn)行建模 GarchToolbox使用一個(gè)廣義ARMAX GARCH復(fù)合模型對(duì)帶有條件異方差的金融時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真 預(yù)測和參數(shù)識(shí)別 GarchToolbox提供了基本工具為單變量廣義自回歸條件異方差GARCH GeneralizedAutoRegressiveConditionalHeteroskedasticity 易變性進(jìn)行建模 GarchToolbox采用單變量GARCH模型對(duì)金融市場中的變化性進(jìn)行分析 4 Fixed IncomeToolbox 5 GarchToolbox 上述工具箱基本上囊括了通常的金融計(jì)算 適用于金融學(xué)術(shù)研究 特別適合金融實(shí)務(wù)工作者進(jìn)行金融計(jì)算 FinancialToolbox提供了一個(gè)基于Matlab的財(cái)務(wù)分析支撐環(huán)境 可以完成許多種財(cái)務(wù)分析統(tǒng)計(jì)任務(wù) 從簡單計(jì)算到全面的分布式應(yīng)用 財(cái)務(wù)工具箱都能夠用來進(jìn)行證卷定價(jià) 資產(chǎn)組合收益分析 偏差分析和優(yōu)化業(yè)務(wù)量等工作 金融數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 本講主要介紹了統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本原理和基本統(tǒng)計(jì)量 要求讀者掌握均勻分布 正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)生成辦法 學(xué)會(huì)常用的統(tǒng)計(jì)繪圖命令 掌握回歸的方法 學(xué)會(huì)運(yùn)用主成份 因子分析金融問題 一 隨機(jī)模擬基本原理 1977年 菲利浦 伯耶勒 PhelimBoyle 提出了模擬方法求解金融資產(chǎn)定價(jià)問題 其想法是假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格分布是隨機(jī)波動(dòng) 如果知道了這個(gè)波動(dòng)過程 就可以模擬不同的路徑 每做完一次模擬 就產(chǎn)生一個(gè)最終資產(chǎn)價(jià)值 在進(jìn)行若干次這樣的過程 那么所得到的結(jié)果就是一個(gè)最終資產(chǎn)價(jià)值分布 從這個(gè)分布中可以得到期望的資產(chǎn)價(jià)格 一 隨機(jī)數(shù)生成函數(shù) 在Matlab中unidrnd函數(shù)可以生成1 N的均勻分布隨機(jī)數(shù) 其調(diào)用方式為 R unidrnd N 隨機(jī)數(shù)矩陣 確定輸出隨機(jī)矩陣R的行數(shù) 生成在1 N之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù) 1 均勻分布隨機(jī)數(shù)生成函數(shù) R unidrnd N m R unidrnd N m n 確定輸出隨機(jī)矩陣R的列數(shù) 輸出方陣 unifrnd 0 1 ans 0 4565 如果需要生成服從連續(xù)均勻分布的隨機(jī)數(shù) 則可以調(diào)用unifrnd函數(shù) 其調(diào)用方式為 R unifrnd A B A B是隨機(jī)數(shù)的下界與上界 如 生成一個(gè)0 1之間隨機(jī)數(shù) 2 生成服從連續(xù)均勻分布的隨機(jī)數(shù) R unifrnd A B m R unifrnd A B m n m n表示隨機(jī)數(shù)的維數(shù) 下面介紹兩種方法生成1 2之間隨機(jī)矩陣K K為5行6列矩陣 方法1 方法2 unifrnd 1 2 5 6 ans 1 93341 13381 57511 01291 61241 58691 68331 20711 45141 38401 60851 05761 21261 60721 04391 68311 01581 36761 83921 62991 02721 09281 01641 63151 62881 37051 31271 03531 19011 7176 unifrnd 1 2 5 6 ans 1 69271 15361 55481 27311 90841 64081 08411 67561 12101 25481 23191 19091 45441 69921 45081 86561 23931 84391 44181 72751 71591 23241 04981 17391 35331 47841 89281 80491 07841 1708 R normrnd mu sigma 正態(tài)分布的均值 隨機(jī)矩陣R的行數(shù) 正態(tài)分布的方差 3 生成正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù) R normrnd mu sigma m R normrnd mu sigma m n 隨機(jī)矩陣R的列數(shù) 調(diào)用方式為 normrnd 0 1 ans 0 4326 如 生成均值為0 方差為1正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù) 可用命令 下面用兩種方法生成均值為0 方差為1的正態(tài)分布矩陣 矩陣為5行6列 方法1 方法2 normrnd 0 1 5 6 ans 0 31790 7310 0 25560 11840 7990 1 00781 09500 5779 0 37750 31480 9409 0 7420 1 87400 0403 0 29591 4435 0 99211 08230 42820 6771 1 4751 0 35100 2120 0 13150 89560 5689 0 23400 62320 23790 3899 normrnd 0 1 5 6 ans 0 08800 7812 2 20230 0215 1 0559 1 1283 0 63550 56900 9863 1 00391 4725 1 3493 0 5596 0 8217 0 5186 0 94710 0557 0 26110 4437 0 26560 3274 0 3744 1 21730 9535 0 9499 1 18780 2341 1 1859 0 04120 1286 4 特定分布隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 在Matlab中有統(tǒng)一格式隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 函數(shù)名稱為random 可以生成許多服從不同分布的隨機(jī)數(shù) 調(diào)用方式 y random name A1 A2 A3 m n 輸出參數(shù) name說明隨機(jī)分布的類型 具體如下表所列 特定分布的參數(shù)表 a random Normal 0 1 3 2 a 0 6565 0 2624 1 1678 1 2132 0 4606 1 3194 下面用random函數(shù)生成3行2列的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣 正態(tài)分布的均值為0 方差為1 5 多元正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù) 多元正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)可以用如下形式表示 式中 是均值向量 是協(xié)方差矩陣 Xi N mu均值sigma協(xié)方差cases樣本個(gè)數(shù) 在Matlab中可使用mvnrnd函數(shù)生成多元正態(tài)分布函數(shù) 調(diào)用方式 R mvnrnd mu sigma R mvnrnd mu sigma cases 輸入?yún)?shù) mu 23 均值 SIGMA 11 5 1 53 協(xié)方差矩陣 r mvnrnd mu SIGMA 100 生成100個(gè)隨機(jī)樣本 plot r 1 r 2 下面生成一個(gè)多元正態(tài)分布的例子 樣本的散點(diǎn)圖如右所示 二元正態(tài)分布的散點(diǎn)圖 二 多元正態(tài)分布密度函數(shù) mu 1 1 Sigma 0 90 4 0 40 3 X 21 p mvnpdf X mu Sigma p 1 3828e 005 多元正態(tài)分布的密度函數(shù)是mvnpdf 調(diào)用方式 mvnpdf X mu Sigma 下面是一個(gè)例子 mu 1 1 Sigma 0 90 4 0 40 3 X 21 f mvncdf X mu Sigma f 0 8541 F x y P X x Y y 如果計(jì)算分布函數(shù) 則X Y為二元隨機(jī)正態(tài)分布 分布函數(shù)F x y 的定義如下 調(diào)用方式為 p mvncdf X mu SIGMA 下面舉一個(gè)例子 可以看出 對(duì)于隨機(jī)變量X Y 有P X 2 Y 1 0 8541也即X 2且Y 1的概率為0 8541 二 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 A如果A為向量 則返回值為該向量的平均值 如果A是矩陣 則返回值是每列的平均值 dimdim 1 默認(rèn) 表示每列平均 dim 2表示每行平均 一 計(jì)算平均值 調(diào)用方式 M mean A mean A dim 輸入?yún)?shù) 在Matlab中計(jì)算幾何平均數(shù)的函數(shù)為geomean 計(jì)算調(diào)和平均數(shù)的函數(shù)是harmmean函數(shù) 調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式是注意樣本數(shù)據(jù)不能為0 a 12 34 a 1234 下面是一個(gè)例子 mean a ans 23 mean a 2 ans 1 50003 5000 二 剔除異常值后的平均值 X樣本觀察矩陣 percent剔除比率 例如percent 10表示同時(shí)剔除最大的5 和最小的5 觀察值 dimdim 1 默認(rèn) 表示對(duì)每列求平均值 dim 2表示對(duì)每行求平均值 有時(shí)觀察數(shù)據(jù)中有異常大或異常小的值 這些異常值會(huì)對(duì)平均值產(chǎn)生影響 需要去掉異常值 例如在體操比賽中 去掉一個(gè)最高分和最低分 然后計(jì)算運(yùn)動(dòng)員的最后得分 在Matlab中也有剔除異常值后的平均數(shù) 調(diào)用方式 M trimmean X percent M trimmean X percent dim 輸入?yún)?shù) x rand 1 20 trimmean x 10 ans 0 5145 三 計(jì)算中位數(shù) A樣本觀測矩陣dimdim 1 默認(rèn) 表示對(duì)每列求中位數(shù) dim 2表示對(duì)每行求中位數(shù) 剔除10 的異常值之后的平均數(shù)為0 5145 調(diào)用方式 M median A M median A dim 有時(shí)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)NaN 在計(jì)算中位數(shù)時(shí)需要忽略NaN 這時(shí)需要調(diào)用nanmedian函數(shù) 四 計(jì)算方差與標(biāo)準(zhǔn)差 A樣本值flag0 默認(rèn)值 表示方差計(jì)算公式為1表示方差計(jì)算公式為 一般說來 資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)越大 方差越大 波動(dòng)性越大 方差由于其簡單 直觀以及良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)使其成為風(fēng)險(xiǎn)的代名詞 在Matlab中計(jì)算方差 標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)分別是Var Std 方差調(diào)用方式 Var A Var A flag 標(biāo)準(zhǔn)差調(diào)用方式 Std A Std A flag 輸入?yún)?shù) 五 計(jì)算樣本的百分位數(shù) x rand 1 20 prctile x 20 ans 0 1688 調(diào)用方式 Y prctile X p dim 輸入?yún)?shù) X觀察值p計(jì)算大于p 值的數(shù)dim同上 下面是一個(gè)例子 六 計(jì)算樣本極差 r range q r range q dim 極差就是樣本極大值與極小值的差 反映樣本的離散程度 調(diào)用方式 x rand 1 20 range x ans 0 8404 下面是一個(gè)例子 七 計(jì)算偏度與峰度 方差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo)并不是完整的 比如講 兩種資產(chǎn)收益分布的均值和方差都是相同的 但是一種資產(chǎn)收益是左偏的 另一種是右偏的 對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)而言 相對(duì)于大概率和小損失人們更加厭惡小概率大損失的情況 后一種情況給人們帶來的痛苦遠(yuǎn)大于第一情況 從這個(gè)意義上講 收益分布左偏的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)水平要小于右偏的資產(chǎn) 此時(shí) 方差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo)就不是完全的 還要考慮峰度 偏度等指標(biāo) 偏度和峰度是兩個(gè)高階的統(tǒng)計(jì)量 計(jì)算偏度的目的在于考察組合收益率水平是否是對(duì)稱分布 也就是組合產(chǎn)生虧損與獲得盈利的概率如何 峰度是考察組合的收益率情況是否接近正態(tài)分布 如果組合的收益率存在尖峰厚尾的分布特征 則說明組合產(chǎn)生虧損和盈利的概率偏大 也就是在一定程度上認(rèn)為組合收益率出現(xiàn)極端性的可能性偏大 這種組合的收益率穩(wěn)定性是比較差的 正態(tài)分布的峰度等于3 大于3表示尖峰 小于3表示分布比較均勻 股票市場收益率的時(shí)間序列大都為尖峰肥尾 偏度的計(jì)算公式為 式中 分別為樣本x的均值與方差 如果skewness 0 則表示分布形態(tài)與正態(tài)分布偏度相同 如果skewness 0 則表示正偏差數(shù)值較大 長尾巴拖在右邊 如果skeqness 0 則表示負(fù)偏差數(shù)值較大 長尾巴拖在左邊 峰度的計(jì)算公式為 x rand 1 20 skewness x ans 0 0487 1 計(jì)算偏度 調(diào)用方式 Y skewness A Y skewness A flag 輸入?yún)?shù) A樣本值flag偏度的計(jì)算方式 0 默認(rèn) 為無偏估計(jì) 1為有偏估計(jì) 下面是一個(gè)例子 k kurtosis X k kurtosis X flag k kurtosis X flag dim 2 計(jì)算峰度 調(diào)用方式 X樣本觀察矩陣flag峰度的計(jì)算方式 0 默認(rèn) 為無偏估計(jì) 1為有偏估計(jì)dimdim 1 默認(rèn) 表示對(duì)每列求平均 dim 2表示對(duì)每行求平均 輸入?yún)?shù) x rand 1 20 kurtosis x ans 1 4407 下面是一個(gè)例子 八 計(jì)算絕對(duì)離差 絕對(duì)離差是以偏差絕對(duì)數(shù)來衡量決策方案的風(fēng)險(xiǎn) 在期望值相同的情況下 絕對(duì)離差越大 風(fēng)險(xiǎn)越大 絕對(duì)離差越小 風(fēng)險(xiǎn)越小 調(diào)用方式 Y mad X Y mad X n 輸入?yún)?shù) X觀察值n絕對(duì)偏差計(jì)算方式n 0 默認(rèn) 計(jì)算公式為mean abs X mean X n 1計(jì)算公式為median abs X median X x rand 1 20 mad x ans 0 1750 下面是一個(gè)絕對(duì)離差的例子 九 計(jì)算中心矩 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常用到中心矩的概念 k階中心矩的計(jì)算公式為 可以看出1階中心矩為0 如果觀察值是矩陣則以每列為樣本計(jì)算中心矩 X觀察樣本值order中心矩的階數(shù) 必須為正整數(shù) 調(diào)用方式 M moment X order 輸入?yún)?shù) X rand 65 X 0 41540 99010 32000 43990 13380 30500 78890 96010 93340 20710 87440 43870 72660 68330 60720 01500 49830 41200 21260 62990 76800 21400 74460 83920 37050 97080 64350 26790 62880 5751 m moment X 3 m 0 01130 00140 0032 0 0058 0 0023 下面計(jì)算樣本的3階矩 十 計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差是一個(gè)用于衡量投資組合任意兩個(gè)資產(chǎn)相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)指標(biāo) 當(dāng)協(xié)方差為正值時(shí) 表示兩種資產(chǎn)的收益率呈同方向變動(dòng) 協(xié)方差為負(fù)值時(shí) 表示兩種資產(chǎn)的收益率呈相反方向變化 協(xié)方差等于0時(shí) 表示兩種資產(chǎn)不存在相關(guān)性 相關(guān)系數(shù)總是在 1 1之間的范圍內(nèi)變動(dòng) 1表示完全負(fù)相關(guān) 反向 1表示完全正相關(guān) 同向 0則表示不相關(guān) Matlab計(jì)算協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)的函數(shù)分別是cov和corrcoef 協(xié)方差 調(diào)用方式 C cov X C cov x y 下面是一個(gè)例子 A 112 231 403 cov A ans 10 333 4 16673 0000 4 16672 3333 1 50003 0000 1 50001 0000 X觀察值矩陣Y觀察向量param1參數(shù)1 參數(shù)的值如下 alpha表示置信度 在0 1之間val1參數(shù)1的值param2參數(shù)2val2參數(shù)2的值 2 相關(guān)系數(shù) 調(diào)用方式 R corrcoef X R corrcoef x y R P corrcoef X param1 val1 param2 val2 輸入?yún)?shù) R相關(guān)系數(shù)矩陣P每個(gè)相關(guān)系數(shù)的概率矩陣 輸出參數(shù) x rand 30 4 x 4 sum x 2 r p corrcoef x i j find p i j 下面是一個(gè)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的例子 r 1 00000 1412 0 19540 49930 14121 0000 0 13120 5848 0 1954 0 13121 00000 37290 49930 58480 37291 0000p 1 00000 45660 30080 00500 45661 00000 48960 00070 30080 48961 00000 04240 00500 00070 04241 0000ans 414243142434 三 統(tǒng)計(jì)繪圖 x 1235733 4 x 1 00002 00003 00005 00007 00003 00003 4000 tabulate x ValueCountPercent1114 29 2114 29 3228 57 3 4114 29 5114 29 7114 29 一 樣本頻率分布圖 樣本頻率分布圖函數(shù)是tabulate 下面調(diào)用cdfplot函數(shù)繪出x的分布圖 cdfplot x 向量x的分布圖 二 最小二乘擬合圖 在Matlab中繪制最小二乘擬合圖的命令是lsline 下面是一個(gè)例子 x rand 1 20 x cumsum x plot x lsline 最小二乘擬合圖 三 正態(tài)分布概率圖 有時(shí)需要判斷樣本數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布 normplot函數(shù)用圖的形式給出直觀的判斷 如果數(shù)據(jù)點(diǎn)越靠近直線則分布越近似正態(tài)分布 越遠(yuǎn)則越偏離正態(tài)分布 x normrnd 0 1 20 1 plot x normplot x 正態(tài)分布擬合圖 從圖中可以看出 數(shù)據(jù)點(diǎn)基本上是直線 所以符合正態(tài)分布 如果判斷數(shù)據(jù)是否服從Weibull分布則可以對(duì)生成的數(shù)據(jù)用wblplot函數(shù)進(jìn)行判斷 下圖給出了Weibull分布擬合的結(jié)果 從圖中看出對(duì)于數(shù)據(jù)較小 較大的點(diǎn)偏離較大 數(shù)據(jù)不服從Weibull分布 Weibull分布擬合圖 四 樣本密度圖 randn seed 0 x randn 1 20 x cumsum x capaplot x 0 10 在Matlab中繪出樣本數(shù)據(jù)的密度圖函數(shù)為capaplot 樣本的密度示意圖如右圖所示 樣本的密度示意圖 五 頻率直方圖 Y觀察值 如果Y是一個(gè)向量 則畫出一個(gè)頻率圖 如果Y是一個(gè)m p階矩陣 則對(duì)Y每一列分別作頻率圖nbins頻率圖分成nbins等分的區(qū)間段 默認(rèn)值為10 調(diào)用方式 n hist Y n hist Y nbins n xout hist Y nbins 輸入?yún)?shù) n樣本落在區(qū)間段的頻率xout區(qū)間斷的刻度 輸出參數(shù) 下面是一個(gè)例子 randn seed 0 x randn 1 200 hist x 頻率直方圖如右圖所示 hist x min x 0 3 max x 其中min x 0 3 max x 表示頻率圖X軸的刻度起點(diǎn)是x最小元素 終點(diǎn)是x中最大元素 刻度間隔0 3 規(guī)定刻度間隔的頻率直方圖如下圖所示 如果在頻率圖的基礎(chǔ)上加上正態(tài)分布擬合圖 則可以用histfit函數(shù) randn seed 0 x randn 1 20 histfit x 帶有密度函數(shù)的頻率直方圖如右圖所示 六 盒圖 X樣本觀察值G各組的名稱Param1參數(shù)1的名稱val1參數(shù)1的值 在Matlab中繪制樣本數(shù)據(jù)的盒圖函數(shù)是boxplot 調(diào)用方式 boxplot X boxplot X G boxplot X Param1 val1 Param2 val2 輸入?yún)?shù) 各參數(shù)的名稱和內(nèi)容如下表所列 x1 normrnd 5 1 100 1 x2 normrnd 6 1 100 1 boxplot x1 x2 notch on 盒子的上下兩條線分別為樣本的25 和75 分位數(shù) 盒子的上下底之間的距離為四分位的間距 盒子的中間線為樣本中值 如果樣本中值不在盒子的中間 表示存在一定的偏度 盒子的上方和下方有兩條虛線 顯示了樣本的范圍 野值 異常值 位于超過盒子頂端 底端1 5倍的四分位數(shù) 含有缺口的盒圖中齒形缺口表示樣本中值的置信區(qū)間 圖中的內(nèi)容說明如下 正態(tài)分布盒圖如右圖所示 四 多元線性回歸分析 在金融上常常需要對(duì)金融 經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸 其中最簡單的是多元線性回歸 一 多元線性回歸 b regress Y X b bint regress Y X b bint r regress Y X b bint r rint regress Y X b bint r rint stats regress Y X b bint r rint stats regress Y X alpha 假設(shè)因變量Y和自變量X之間服從以下的線性模型 式中 Y是因變量的觀察值 X是自變量回歸矩陣 是參數(shù)向量 是白噪聲 的最小二乘解是 調(diào)用方式 X自變量觀察值 注意如果模型中有常數(shù)項(xiàng) 則X的第一列所有元素為1 Y因變量觀察值向量alpha參數(shù)的置信度 輸入?yún)?shù) 例1首先按照下面模型生成一系列隨機(jī)數(shù) 然后回歸 b 的估計(jì)值 注意b中已經(jīng)包含了常數(shù)項(xiàng)bint 的置信區(qū)間r殘值rint殘值的置信區(qū)間statsR2 F 概率p 輸出參數(shù) b bint r rint stats regress Y ones 10 1 X 0 05 下面生成一組隨機(jī)數(shù) X 1 10 Y 0 1 0 4 X normrnd 0 0 1 1 10 下面估計(jì) rint 0 17940 1149 0 14350 1764 0 16250 1737 0 20050 1417 0 17950 1712 0 10460 2290 0 05690 2470 0 2559 0 0402 0 06670 2238 0 18890 1008stats 1 0e 003 0 00102 28370 00000 0000 b 0 13030 3953bint 0 01200 24870 37620 4144r 0 03230 01650 0056 0 0294 0 00410 06220 0950 0 14800 0785 0 0440 從b的估計(jì)值可以得知常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)分別為0 1303 0 3953 在0 05置信水平下常數(shù)項(xiàng)系數(shù)估計(jì)區(qū)間為 0 01200 2487 X的系數(shù)置信區(qū)間為 0 37620 4144 由于樣本數(shù)量非常少 參數(shù)估計(jì)并不穩(wěn)定 下圖是殘差及其置信區(qū)間圖 rcoplot r rint 二 多元正態(tài)回歸 在Matlab中mvnrmle函數(shù)可以進(jìn)行多元正態(tài)回歸 假設(shè)Yk為隨機(jī)變量 其分布如下 式中 N g g 為多元正態(tài)分布 調(diào)用方式 Parameters Covariance Resid Info mvnrmle Y Design MaxIterations TolParam Tol0bj Covar0 Parameters參數(shù)Covariance協(xié)方差Resid殘差I(lǐng)nfo估計(jì)過程的相關(guān)系數(shù) Y觀察值矩陣 Yn k中n是樣本的個(gè)數(shù) k是資產(chǎn)的數(shù)目Design自變量單元變量矩陣 如果Y只有一個(gè)資產(chǎn)時(shí) Design是一個(gè)矩陣 如果Y中的資產(chǎn)個(gè)數(shù)大于一個(gè)時(shí) Design是一個(gè)單元向量 每個(gè)元素都是一個(gè)矩陣 Y的k列和Design第k個(gè)元素中的矩陣進(jìn)行回歸MaxIterationsTolParamTol0bjCovaro 輸出參數(shù) 輸入?yún)?shù) 三 估計(jì)多元正態(tài)分布每個(gè)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差 Data觀察值矩陣 Yn k中n樣本的個(gè)數(shù) k是資產(chǎn)的數(shù)目Design自變量單元變量矩陣 如果Y只有一個(gè)資產(chǎn)時(shí) Design是一個(gè)單元向量 如果Y含有多于一個(gè)資產(chǎn)時(shí) Design是一個(gè)單元變量矩陣Covariance回歸時(shí)的殘值 調(diào)用方式 StdParameters StdCovariance mvnrstd Data Design Covariance 輸入?yún)?shù) StdParameters每個(gè)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差StdCovariance協(xié)方差 輸出參數(shù) 四 嶺回歸 線性回歸中參數(shù)估計(jì) 如果觀察值X存在自相關(guān)性 則XTX是奇異矩陣 估計(jì)值就會(huì)出現(xiàn)非常大的誤差 這時(shí)矩陣XTX需要加上一個(gè)對(duì)角元素是常數(shù)k的單位陣 即 Matlab提供了嶺回歸ridge函數(shù)求解該問題 b模型估計(jì)參數(shù) 調(diào)用方式 b1 ridge Y X k b0 ridge Y X k 0 輸入?yún)?shù) Y因變量觀察值X自變量觀察值kk表示控制系數(shù) 可以根據(jù)需要進(jìn)行選擇 輸出參數(shù) k 0 0 01 1 b ridge heat ingredients k plot k b xlabel Ridgeparameter ylabel Standardizedcoef title RidgeTraceforHaldData legend x1 x2 x3 x4 例2對(duì)hald文件中的數(shù)據(jù)進(jìn)行嶺回歸 loadhald 查看工作區(qū)中的變量 whoYourvariablesare haldheatingredients 五 主成分分析 主成分分析是在各個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系研究的基礎(chǔ)上 用較少的新變量代替原來較多的變量 而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來較多的變量所反映的信息 一 主成分分析基本原理 首先對(duì)樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理 為簡單起見 標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本仍記為X1 X2 X3 Xp 設(shè)樣本為X1 X2 X3 Xp 其對(duì)應(yīng)的樣本均值為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為S1 S2 S3 Sp 設(shè)F1 F2 F3 Fp是主成分 也即是X1 X2 X3 Xp的線性表示 同時(shí)滿足下面的條件 主成分是原樣本的正交變換 各主成分之間互不相關(guān) 主成分的總方差不變 主成分按方差從大到小排序 主成分具有如下性質(zhì) 這一性質(zhì)說明 主成分是原變量的線性組合 是對(duì)原變量信息的一種改良 主成分不增加總信息量 也不減少總信息量 設(shè)為主成分的特征值 前k個(gè)方差累積貢獻(xiàn)率為一般當(dāng)累積貢獻(xiàn)率大于85 時(shí)不再增加新的主成分 保留多少個(gè)主成分取決于保留部分的累積方差在總方差中占的百分比 即累計(jì)貢獻(xiàn)率 它標(biāo)志著前幾個(gè)主成分概括的信息的多寡 在實(shí)踐中 粗略規(guī)定一個(gè)百分比就可以決定保留幾個(gè)主成分 如果多留一個(gè)主成分 但累積方差增加無幾 便不再多留 二 主成分分析函數(shù) COEFF主成分系數(shù)SCORE新坐標(biāo)系latentX的協(xié)方差矩陣的特征值tsquareHotelling統(tǒng)計(jì)量的值 在Matlab中提供了兩個(gè)主成分分析函數(shù)princomp和pcacov COEFF SCORE princomp X COEFF SCORE latent princomp X COEFF SCORE latent tsquare princomp X 輸入?yún)?shù) X觀察變量 輸出參數(shù) 調(diào)用方式 corrcoef ingredients ans 1 00000 2286 0 8241 0 24540 22861 0000 0 1392 0 9730 0 8241 0 13921 00000 0295 0 2454 0 97300 02951 0000 例3用Matlab自帶數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析 Matlab中自帶了數(shù)據(jù)文件hald 可以直接調(diào)用進(jìn)行主成分分析 hald數(shù)據(jù)考慮影響溫度的4個(gè)因素 溫度保存在heat變量中 4個(gè)因素的觀察值保存在ingredients中 由于4個(gè)因素之間存在相關(guān)性 無法直接回歸 為解決這個(gè)問題 首先進(jìn)行主成分分析 生成四個(gè)主成分變量 主成分之間互不相關(guān) 而且和觀察值的信息是同樣的 第一步 載入數(shù)據(jù) 考察變量之間的相關(guān)性 loadhald 載入Matlab自帶的數(shù)據(jù)文件 考察相關(guān)性 發(fā)現(xiàn)自變量2與變量3之間的高度相關(guān) 所以需要剔除相關(guān)性 第二步 主成分分析 pc score latent tsquare princomp ingredients 主成分系數(shù) pc 0 06780 6460 0 56730 50620 67850 02000 54400 4933 0 0290 0 7553 0 40360 5156 0 73090 10850 46840 4844 主成分的方差貢獻(xiàn)率 score 36 82186 87094 59090 3967 29 6073 4 61092 2476 0 395812 98184 2049 0 9022 1 1261 23 71476 6341 1 8547 0 37860 55324 46176 08740 142410 81253 6466 0 9130 0 135032 5882 8 97981 60630 0818 22 6064 10 7259 3 23650 32439 2626 8 98540 0169 0 54373 284014 1573 7 04650 3405 9 2200 12 3861 3 42830 435225 58492 78170 38670 446826 90322 93102 44550 4116 協(xié)方差的特征值 latent 517 796967 496412 40540 2372tsquare 5 68033 07586 00022 61983 36810 56683 48183 97942 60867 48184 18302 23272 7216 由此可以得到4個(gè)主成分如下 從特征值可以看出前面兩個(gè)主成分可以很好的解釋98 的方差 517 7969 67 4964 517 7969 67 4964 12 4054 0 2372 98 covx cov ingredients pc latent explain pcacov covx 采用pcacov函數(shù)計(jì)算主成分的結(jié)果同princomp函數(shù)的結(jié)果是一樣的 loadhald 然后計(jì)算觀察變量ingredients協(xié)方差 new ingredients pc 在確定主成分后對(duì)主成分進(jìn)行回歸 將生成的4個(gè)主成分 保存在變量new中 變量new中的每列就是一個(gè)主成分 regress heat new 1 2 ans 2 18431 0894 驗(yàn)證主成分之間的相關(guān)性 corrcoef new ans 1 00000 00000 00000 00000 00001 00000 00000 00000 00000 00001 00000 00000 00000 00000 00001 0000 發(fā)現(xiàn)主成分之間是不相關(guān)的 第三步 用前兩個(gè)主成分進(jìn)行回歸 2 1843 pc 1 1 0894 pc 2 ans 0 85191 5039 0 8862 1 4783 這樣溫度和主成分之間的關(guān)系如下 還原成線性回歸形式 這樣溫度和自變量之間的關(guān)系如下 第四步 驗(yàn)證主成分分析優(yōu)點(diǎn) 下面計(jì)算heat和ingredients中各個(gè)分量的相關(guān)系數(shù) corr heat ingredients 1 ans 0 7307 corr heat ingredients 2 ans 0 8163 corr heat ingredients 3 ans 0 5347 corr heat ingredients 4 ans 0 8213 相關(guān)系數(shù)表明前兩個(gè)自變量和因變量之間是正相關(guān) 后兩個(gè)自變量和因變量之間負(fù)相關(guān) 式 1 和實(shí)際結(jié)果相印證 從式 2 可以看出自變量和因變量之間都是正相關(guān) 顯然和實(shí)際結(jié)果不相印證 自變量和因變量之間的函數(shù)關(guān)系如下 c0 regress heat ingredients c0 2 19301 15330 75850 4863 如果不用主成分回歸 而是直接對(duì)自變量和因變量進(jìn)行回歸 六 因子分析 因子分析法 factoranalysis 是一種用來分析隱藏在表象背后的因子作用的一類統(tǒng)計(jì)模型和方法 它起源于心理度量學(xué) 最初是研究如何使用少數(shù)幾個(gè)變量來解釋眾多原始變量 同時(shí)又盡量避免信息丟失的多元統(tǒng)計(jì)分析方法 在實(shí)際問題的分析過程中 常用因子分析去除重疊信息 將原始的眾多指標(biāo)綜合成較少的幾個(gè)因子變量來分析 1 因子分析法相關(guān)概念 設(shè)樣本為 其對(duì)應(yīng)的樣本均值為 對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為 因子分析的核心問題有兩個(gè) 一是確定因子的個(gè)數(shù) 二是對(duì)因子變量進(jìn)行命名 首先對(duì)樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理 為簡單起見 標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本仍記為 因子分析的數(shù)學(xué)模型如下 X fX s 式中 X是經(jīng)過正交處理的樣本值 f是負(fù)荷矩陣 表示公共因子部分 s是其他特殊因子 要求f s之間不相關(guān)而且不可觀察 lambda負(fù)荷矩陣估計(jì)值psi特殊因素矩陣估計(jì)值T因素負(fù)荷旋轉(zhuǎn)矩陣stats假設(shè)檢驗(yàn)FF是n m維因子的分矩陣 2 因子分析函數(shù)調(diào)用方式 調(diào)用方式 lambda factoran X m lanmba psi factoran X m lanmba psi T factoran X m lanmba psi T stats factoran X m lanmba psi T stats F factoran X m 輸入?yún)?shù) X觀察值矩陣 每列屬于同一個(gè)變量m公共因素的個(gè)數(shù) 輸出參數(shù) 下面用一個(gè)例子說明 例4在Matlab中自帶了10個(gè)公司100周的收益率數(shù)據(jù) 10家公司分成3個(gè)行業(yè) 4家屬于科技公司 3家屬于金融公司 另外3家屬于零售類公司 一般來講 同一行業(yè)內(nèi)上市公司同質(zhì)性強(qiáng) 走勢也相同 不同行業(yè)內(nèi)之間股票受不同風(fēng)險(xiǎn)因素影響 走勢差別較大 下面驗(yàn)證該結(jié)論 loadstockreturns m 3 考慮3個(gè)行業(yè)的因素 LoadingsPM specificVarPM factoran stocks m rotate promax 從上述結(jié)果可以明顯看出第1到第4家公司屬于同一類公司 第5家到第7家屬于同一類公司 第8家到第10家屬于同一類公司 說明不同行業(yè)間的股票收益率存在不同 LoadingsPM 0 94520 1214 0 06170 7064 0 01780 20580 3885 0 09940 09750 4162 0 0148 0 12980 10210 90190 07680 08730 7709 0 0821 0 16160 5320 0 08880 21690 28440 66350 0016 0 18810 7849 0 22890 06360 6475specificVarPM 0 09910 34310 80970 85590 14290 36910 69280 31620 33110 6544 七 方差分析 方差分析主要用來檢驗(yàn)兩個(gè)以上樣本的平均值差異的顯著程度 由此判斷樣本究竟是否抽自具有同一均值的總體 一 單因素方差分析 一般地 假定所檢驗(yàn)的結(jié)果受同一因素A的影響 可以取k個(gè)不同的水平1 2 3 k 對(duì)于因素的每一個(gè)水平i都進(jìn)行n次試驗(yàn) 結(jié)果分別為 一般把這一組樣本記作Xi 假定 即對(duì)于因素的每一個(gè)水平 所得到的結(jié)果都服從正態(tài)分布 且方差相等 在方差分析中 通常把對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生影響和起作用的自變量稱為因素 如果分析一個(gè)因素對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果的影響和作用 就稱為單因素方差分析 二 方差分析步驟 方差分析一方面確定因素的不同水平下均值之間的方差 作為所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)所組成的全部總體方差的一個(gè)估計(jì)值 另一方面 再考慮同一水平下不同試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)于這一水平的均值的方差 由此 計(jì)算出全部數(shù)據(jù)的總體方差的第二個(gè)估計(jì)值 最后 比較上述兩個(gè)估計(jì)值 如果這兩個(gè)方差的估計(jì)值比較接近就說明因素的差異并不大 則接受零假設(shè) 否則接受備擇假設(shè) 根據(jù)上述思路可以得到方差分析的方法和步驟 1 提出假設(shè) H0 1 2 k 即因素的不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響 H1 不是所有的 i都相等 i 1 2 k 即因素的不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響 2 方差分解 下面先定義總離差平方和為各樣本觀察值與總均值的離差平方和 記 將總離差平方和分解為兩部分 N nk為樣本觀察值總數(shù) 記 表示同一樣本組內(nèi) 由于隨機(jī)因素影響所產(chǎn)生的離差平方和 簡稱組內(nèi)平方和 記 表示不同的樣本組之間 由于變異因素的不同水平影響所產(chǎn)生的離差平方和 簡稱為組間平方和 對(duì)應(yīng)于SST SSR和SSE的自由度分別為n 1 k 1 n k 由此可以得到 SST SSR SSE 當(dāng)原假設(shè)H0 1 2 k成立時(shí) E MSE E MSR 2 此時(shí)MSR較小 F值也較小 反之H0不成立時(shí) MSR較大 F值也較大 對(duì)于給定的顯著性水平 查F分布表得到F1 k 1 n k 如果F F1 k 1 n k 則原假設(shè)不成立 即k個(gè)組的總體均值之間有顯著的差異 就拒絕H0 若F F1 k 1 n k 則原假設(shè)成立 即k個(gè)組的總體均值之間沒有顯著的差異 就接受H0 3 F檢驗(yàn) 將SSR和SSE分別除以自由度 即得各自的均方差 組間均方差MSR SSR k 1 組內(nèi)均方差MSE SSE n k 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 由于方差分析表 見下表 概括了方差分析的統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系 在進(jìn)行方差分析時(shí)就可以直接按照方差分析表來逐行 逐列地計(jì)算出有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量 最后得到檢驗(yàn)量F的值 并把這一F值與查表所得到的一定顯著性水平下的F檢驗(yàn)的臨界值進(jìn)行比較 然后作出接受或拒絕原假設(shè)的結(jié)論 4 方差分析表 上述方差分析的方法可以用一張標(biāo)準(zhǔn)形式的表格來實(shí)現(xiàn) 稱為方差分析表 方差分析表分為五列 第一列表示方差的來源 第二列表示方差的離差的平方和 第三列表示自由度 第四列表示均方差 第五列表示統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量F 表格又分為三行 第一行是組間的方差SSR和均方差MSR 表示因素的不同水平的影響所產(chǎn)生的方差 其值作為計(jì)算統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量F時(shí)的分子 第二行是組內(nèi)方差SSE和均方差MSE 表示隨機(jī)誤差所引起的方差 其值作為計(jì)算統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量F的分母 第三行是檢驗(yàn)行 表示總的方差SST 單因素方差分析表 三 單因素方差分析函數(shù) p anova1 X p anova1 Y group p anova1 Y group displayopt p table anova1 Y group displayopt p table stats anova1 Y group displayopt 單因素方差分析是比較兩組和多組樣本的均值 假設(shè)各組變量之間相互獨(dú)立 方差相等 且服從正態(tài)分布 原假設(shè)是各組均值全部相等 調(diào)用方式 輸入?yún)?shù) X樣本觀察值 要求各列均為彼此獨(dú)立的樣本Y觀察值向量group組別 Y中每個(gè)元素所屬的類別displayopt取值為 off 與 on 分別表示掩藏與顯示方差分析表圖和盒圖 盒圖上下線為25 和75 分位數(shù) 中間線為中位數(shù) 輸出參數(shù) p各列均值相等的概率table方差分析表stats統(tǒng)計(jì)量 例5恒瑞醫(yī)藥 600276 和ST達(dá)聲 000007 的股價(jià)如下表所列 恒瑞醫(yī)藥和ST達(dá)聲價(jià)格收益表 group stds stds stds stds stds stds stds stds stds stds stds hryy hryy hryy hryy hryy hryy hryy hryy hryy hryy hryy 下面檢驗(yàn)二者的收益率是否相等 rate 0 030960 037344 0 008 0 02016 0 00823 0 00415 0 0 01250 0210970 0247930 0040320 005762 0 015150 007730 00220200 0085630 06582 0 002960 0004240 0096120 p table stat anova1 rate group on p 0 2412table Source SS df MS F Prob F Groups 8 7401e 004 1 8 7401e 004 1 4976 0 2412 Error 0 0082 14 5 8360e 004 Total 0 0090 15 stat gnames 2x1cell n 115 source anova1 means 3 4636e 0040 0163 df 14s 0 0242 從結(jié)果可知p 0 2412 0 05 所以不能拒絕原假設(shè) 可以認(rèn)為二者在此期間的收益率相等 其原因可能是以日收益率為樣本 間隔時(shí)間太短 不足以反映股票之間的差別 ST達(dá)聲和恒瑞醫(yī)藥方差分析表如右上圖所示 從圖中可以看出方差分析表 第一列顯示數(shù)據(jù)源 source 第二列顯示各類數(shù)據(jù)的平方和 SS 第三列顯示各類數(shù)據(jù)相應(yīng)的自由度 df 第四列顯示均方差MS 第五列顯示Friendman檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量 F 第六列顯示F統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值 ST達(dá)聲和恒瑞醫(yī)藥收益率盒圖如右下圖所示 四 雙因素方差分析 設(shè)因素A有a個(gè)水平 因素B有b個(gè)水平 試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)記作n 記Xijk為在因素A的第i個(gè)水平 因素B的第j個(gè)水平下進(jìn)行第k次試驗(yàn)時(shí)的觀察值 i 1 2 a j 1 2 b k 1 2 n 記 前面所研究的是試驗(yàn)結(jié)果僅受一個(gè)因素影響的情形 要求檢驗(yàn)的是當(dāng)因素取兩個(gè)不同水平時(shí)對(duì)結(jié)果所產(chǎn)生的影響是否顯著 但在實(shí)踐中 某種試驗(yàn)結(jié)果往往受到兩個(gè)或兩個(gè)以上因素的影響 雙因素方差分析的基本思想與單因素方差分析基本相同 首先分別計(jì)算出總變差 各個(gè)因素的變差以及隨機(jī)誤差的變差 其次根據(jù)各變差相應(yīng)的自由度求出均方差 最后計(jì)算出F值并作F檢驗(yàn) 為在因素A的第i個(gè)水平 因素B的第j個(gè)水平下進(jìn)行各次重復(fù)試驗(yàn)的所有觀察值的總和 記 記 i 1 2 a j 1 2 b 為在因素A的第i個(gè)水平 因素B的第j個(gè)水平下進(jìn)行各次重復(fù)試驗(yàn)的所有觀察值的平均值 式中 N abn是所有觀測值的總數(shù) 是所有觀察值的平均值 對(duì)于因素A H0 因素A的各個(gè)水平的影響無顯著差異 H1 因素A的各個(gè)水平的影響有顯著差異 對(duì)于因素B H0 因素B的各個(gè)水平的影響無顯著差異 H1 因素B的各個(gè)水平的影響有顯著差異 對(duì)于因素AB的交互作用 H0 因素AB的各個(gè)水平的影響無顯著差異 H1 因素AB的各個(gè)水平的影響有顯著差異 利用上面所引入的符號(hào) 可以得到有交互作用的兩因素方差分析的步驟如下 建立假設(shè) 由于兩因素有交互影響 因此除了分別檢驗(yàn)兩因素單獨(dú)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響外 還必須檢驗(yàn)兩因素交互作用的影響是否顯著 2 離差平方和的分解 總離差平方和SST的自由度為N 1 有交互作用的兩因素方差分析的總離差平方和可以分解為4項(xiàng) 表示因素間交互作用的離差平方和 自由度為 N 1 a 1 b 1 n 1 ab a 1 b 1 分別記 為因素A的離差平方和 自由度為a 1 為因素B的離差平方和 自由度為b 1 表示隨機(jī)誤差的離差平方和 自由度為N ab abn ab ab n 1 有交互影響的雙因素方差分析表 編制方差分析表 進(jìn)行F檢驗(yàn) 從方差分解式所得到的SSA SSB和SSE除以各自的自由度 就得到了各自相應(yīng)的均方差 然后對(duì)因素A 因素B和因素AB的交互作用分別做F檢驗(yàn) 與前面所討論的情形一樣 雙因素方差分析表如下表所列 對(duì)于因素A而