上海市金山區(qū)2017年高考數(shù)學一模試卷(解析版).doc

2017年上海市金山區(qū)高考數(shù)學一模試卷一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1若集合M=x|x22x0，N=x|x|1，則MN=2若復(fù)數(shù)z滿足2z+=32i，其中i為虛數(shù)單位，則z=3若sin=，且為第四象限角，則tan的值等于4函數(shù)的最小正周期T=5函數(shù)f（x）=2x+m的反函數(shù)為y=f1（x），且y=f1（x）的圖象過點Q（5，2），那么m=6點（1，0）到雙曲線的漸近線的距離是7若x，y滿足，則2x+y的最大值為8從5名學生中任選3人分別擔任語文、數(shù)學、英語課代表，其中學生甲不能擔任數(shù)學課代表，共有種不同的選法（結(jié)果用數(shù)值表示）9方程x2+y24tx2ty+3t24=0（t為參數(shù)）所表示的圓的圓心軌跡方程是（結(jié)果化為普通方程）10若an是（2+x）n（nN*，n2，xR）展開式中x2項的二項式系數(shù)，則=11設(shè)數(shù)列an是集合x|x=3s+3t，st且s，tN中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，將數(shù)列an中各項按照上小下大，左小右大的原則排成如圖的等腰直角三角形數(shù)表，則a15的值為12曲線C是平面內(nèi)到直線l1：x=1和直線l2：y=1的距離之積等于常數(shù)k2（k0）的點的軌跡，下列四個結(jié)論：曲線C過點（1，1）；曲線C關(guān)于點（1，1）成中心對稱；若點P在曲線C上，點A、B分別在直線l1、l2上，則|PA|+|PB|不小于2k；設(shè)P0為曲線C上任意一點，則點P0關(guān)于直線l1：x=1，點（1，1）及直線f（x）對稱的點分別為P1、P2、P3，則四邊形P0P1P2P3的面積為定值4k2；其中，所有正確結(jié)論的序號是二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13給定空間中的直線l與平面，則“直線l與平面垂直”是“直線l垂直于平面上無數(shù)條直線”的（）條件A充分非必要B必要非充分C充要D既不充分也不必要14已知x、yR，且xy0，則（）ABClog2x+log2y0Dsinxsiny015某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（）A8B8C82D16已知函數(shù)f（x）=（a0，且a1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A（0，B，C，D，）三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PB、PD與平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中點；（1）求異面直線EC與PD所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）求三棱錐PAFD的體積18已知ABC中，AC=1，設(shè)BAC=x，記；（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；（2）試寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求方程的解19已知橢圓C以原點為中心，左焦點F的坐標是（1，0），長軸長是短軸長的倍，直線l與橢圓C交于點A與B，且A、B都在x軸上方，滿足OFA+OFB=180；（1）求橢圓C的標準方程；（2）對于動直線l，是否存在一個定點，無論OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由20已知函數(shù)g（x）=ax22ax+1+b（a0）在區(qū)間2，3上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|），xR；（1）求實數(shù)a、b的值；（2）若不等式對任意xR恒成立，求實數(shù)k的范圍；（3）對于定義在p，q上的函數(shù)m（x），設(shè)x0=p，xn=q，用任意xi（i=1，2，n1）將p，q劃分成n個小區(qū)間，其中xi1xixi+1，若存在一個常數(shù)M0，使得不等式|m（x0）m（x1）|+|m（x1）m（x2）|+|m（xn1）m（xn）|M恒成立，則稱函數(shù)m（x）為在p，q上的有界變差函數(shù)，試證明函數(shù)f（x）是在1，3上的有界變差函數(shù)，并求出M的最小值21數(shù)列bn的前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)n，都有；（1）試證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求其通項公式；（2）如果等比數(shù)列an共有2017項，其首項與公比均為2，在數(shù)列an的每相鄰兩項ai與ai+1之間插入i個（1）ibi（iN*）后，得到一個新數(shù)列cn，求數(shù)列cn中所有項的和；（3）如果存在nN*，使不等式成立，若存在，求實數(shù)的范圍，若不存在，請說明理由2017年上海市金山區(qū)高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1若集合M=x|x22x0，N=x|x|1，則MN=（1，2）【考點】交集及其運算【分析】解x22x0可得集合M=x|0x2，解|x|1可得集合N，由交集的定義，分析可得答案【解答】解：x22x00x2，則集合M=x|0x2=（0，2）|x|1x1或x1，則集合N=x|1x1=（，1）（1，+），則MN=（1，2），故答案為：（1，2）2若復(fù)數(shù)z滿足2z+=32i，其中i為虛數(shù)單位，則z=12i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，（a、b是實數(shù)），則=abi，代入已知等式，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的含義可得a、b的值，從而得到復(fù)數(shù)z的值【解答】解：設(shè)z=a+bi，（a、b是實數(shù)），則=abi，2z+=32i，2a+2bi+abi=32i，3a=3，b=2，解得a=1，b=2，則z=12i故答案為：12i3若sin=，且為第四象限角，則tan的值等于【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos，進而可求tan的值【解答】解：sin=，且為第四象限角，cos=，tan=故答案為：4函數(shù)的最小正周期T=【考點】二階行列式與逆矩陣；兩角和與差的余弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法【分析】利用行列式的計算方法化簡f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，找出的值，即可求出最小正周期【解答】解：f（x）=cos2xsin2x=cos2x，=2，T=故答案為：5函數(shù)f（x）=2x+m的反函數(shù)為y=f1（x），且y=f1（x）的圖象過點Q（5，2），那么m=1【考點】反函數(shù)【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可知：原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對稱，利用對稱關(guān)系可得答案【解答】解：f（x）=2x+m的反函數(shù)y=f1（x），函數(shù)y=f1（x）的圖象經(jīng)過Q（5，2），原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對稱，f（x）=2x+m的圖象經(jīng)過Q（2，5），即4+m=5，解得：m=1故答案為：16點（1，0）到雙曲線的漸近線的距離是【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可【解答】解：雙曲線的一條漸近線方程為：x+2y=0，點（1，0）到雙曲線的漸近線的距離是： =故答案為：7若x，y滿足，則2x+y的最大值為4【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）設(shè)z=2x+y得y=2x+z，平移直線y=2x+z，由圖象可知當直線y=2x+z經(jīng)過點A時，直線y=2x+z的截距最大，此時z最大由，解得，即A（1，2），代入目標函數(shù)z=2x+y得z=12+2=4即目標函數(shù)z=2x+y的最大值為4故答案為：48從5名學生中任選3人分別擔任語文、數(shù)學、英語課代表，其中學生甲不能擔任數(shù)學課代表，共有48種不同的選法（結(jié)果用數(shù)值表示）【考點】排列、組合的實際應(yīng)用【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，先安排數(shù)學課代表，再安排語文、英語課代表【解答】解：先從除了甲之外的4人選1人為數(shù)學課代表，再從包含甲在內(nèi)的4人中選2人為語文、英語課代表，根據(jù)分步計數(shù)原理可得，共有A41A42=48種，故學生甲不能擔任數(shù)學課代表，共有48種不同的選法故答案為489方程x2+y24tx2ty+3t24=0（t為參數(shù)）所表示的圓的圓心軌跡方程是x2y=0（結(jié)果化為普通方程）【考點】軌跡方程【分析】把圓化為標準方程后得到：圓心坐標，令x=2t，y=t，消去t即可得到y(tǒng)與x的解析式【解答】解：把圓的方程化為標準方程得（x2t）2+（yt）2=t2+4，圓心（2t，t）則圓心坐標為，所以消去t可得x=2y，即x2y=0故答案為：x2y=010若an是（2+x）n（nN*，n2，xR）展開式中x2項的二項式系數(shù)，則=2【考點】數(shù)列的極限；二項式定理的應(yīng)用【分析】（2+x）n（其中n=2，3，4，）的展開式，Tr+1，令r=2，可得an，再利用求和公式化簡，利用數(shù)列的極限即可得出【解答】解：（2+x）n（其中n=2，3，4，）的展開式，Tr+1=，令r=2，可得：T3=2n2x2an是二項式（2+x）n（其中n=2，3，4，）的展開式中x的二項式系數(shù)，an=則=2=2故答案為：211設(shè)數(shù)列an是集合x|x=3s+3t，st且s，tN中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，將數(shù)列an中各項按照上小下大，左小右大的原則排成如圖的等腰直角三角形數(shù)表，則a15的值為324【考點】歸納推理【分析】如果用（t，s）表示3s+3t，則4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，利用歸納推理即可得出【解答】解：如果用（t，s）表示3s+3t，則4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，28=（0，3）=30+33，30=（1，3）=31+33，36=（2，3）=32+33，利用歸納推理即可得：a15=（4，5），則a15=34+35=324故答案為：32412曲線C是平面內(nèi)到直線l1：x=1和直線l2：y=1的距離之積等于常數(shù)k2（k0）的點的軌跡，下列四個結(jié)論：曲線C過點（1，1）；曲線C關(guān)于點（1，1）成中心對稱；若點P在曲線C上，點A、B分別在直線l1、l2上，則|PA|+|PB|不小于2k；設(shè)P0為曲線C上任意一點，則點P0關(guān)于直線l1：x=1，點（1，1）及直線f（x）對稱的點分別為P1、P2、P3，則四邊形P0P1P2P3的面積為定值4k2；其中，所有正確結(jié)論的序號是【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用【分析】由題意曲線C是平面內(nèi)到直線l1：x=1和直線l2：y=1的距離之積等于常數(shù)k2（k0）的點的軌跡利用直接法，設(shè)動點坐標為（x，y），及可得到動點的軌跡方程，然后由方程特點即可加以判斷【解答】解：由題意設(shè)動點坐標為（x，y），則利用題意及點到直線間的距離公式的得：|x+1|y1|=k2，對于，將（1，1）代入驗證，此方程不過此點，所以錯；對于，把方程中的x被2x代換，y被2y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于（1，1）對稱所以正確；對于，由題意知點P在曲線C上，點A，B分別在直線l1，l2上，則|PA|x+1|，|PB|y1|PA|+|PB|2=2k，所以正確；對于，由題意知點P在曲線C上，根據(jù)對稱性，則四邊形P0P1P2P3的面積=2|x+1|2|y1|=4|x+1|y1|=4k2所以正確故答案為：二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13給定空間中的直線l與平面，則“直線l與平面垂直”是“直線l垂直于平面上無數(shù)條直線”的（）條件A充分非必要B必要非充分C充要D既不充分也不必要【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可【解答】解：若：直線l與平面垂直”，則“直線l垂直于平面上無數(shù)條直線”，是充分條件；若直線l垂直于平面上無數(shù)條直線，則直線l與平面不一定垂直，不是必要條件，故選：A14已知x、yR，且xy0，則（）ABClog2x+log2y0Dsinxsiny0【考點】不等式比較大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，根據(jù)特殊值，判斷C，D，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B【解答】解：因為xy0，所以，故A錯誤，因為y=（）x為減函數(shù)，故B正確，因為當1xy0時，log2x+log2y=log2xy0，故C錯誤，因為當x=，y=時，sinxsiny0，故D錯誤，故選：B15某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（）A8B8C82D【考點】由三視圖求面積、體積【分析】三視圖中長對正，高對齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖，該幾何體為正方體內(nèi)挖去一個圓錐【解答】解：由題意可知，該幾何體為正方體內(nèi)挖去一個圓錐，正方體的邊長為2，圓錐的底面半徑為1，高為2，則正方體的體積為V1=23=8，圓錐的體積為V2=122=，則該幾何體的體積為V=8，故選A16已知函數(shù)f（x）=（a0，且a1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A（0，B，C，D，）【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；根的存在性及根的個數(shù)判斷【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f（x）為減函數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍【解答】解：y=loga（x+1）+1在0，+）遞減，則0a1，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則：；解得，；由圖象可知，在0，+）上，|f（x）|=2x有且僅有一個解，故在（，0）上，|f（x）|=2x同樣有且僅有一個解，當3a2即a時，聯(lián)立|x2+（4a3）x+3a|=2x，則=（4a2）24（3a2）=0，解得a=或1（舍去），當13a2時，由圖象可知，符合條件，綜上：a的取值范圍為，故選：C三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PB、PD與平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中點；（1）求異面直線EC與PD所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）求三棱錐PAFD的體積【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角【分析】（1）分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系利用向量與所成角求得異面直線EC與PD所成角的大??；（2）直接利用VPAFD=VPACDVFADC求解【解答】解：（1）分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)P=2，PDA=，AB=2，AD=4，則P（0，0，2），D（0，4，0），E（1，0，1），C（2，4，0），cos=異面直線EC與PD所成角的大小為；（2）VPAFD=VPACDVFACD=18已知ABC中，AC=1，設(shè)BAC=x，記；（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；（2）試寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求方程的解【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】（1）由條件利用正弦定理、兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求出x的值【解答】解：（1）由正弦定理有=BC=sinx，AB=，=sinxsin（x）=（cosxsinx）sinx=sin（2x+），其定義域為（0，）（2）+2k2x+2k，kZ，+kx+k，kZ，x（0，）遞增區(qū)間，方程=sin（2x+），sin（2x+）=1，解得19已知橢圓C以原點為中心，左焦點F的坐標是（1，0），長軸長是短軸長的倍，直線l與橢圓C交于點A與B，且A、B都在x軸上方，滿足OFA+OFB=180；（1）求橢圓C的標準方程；（2）對于動直線l，是否存在一個定點，無論OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標準方程【分析】（1）由題意可知設(shè)橢圓的標準方程為：（ab0），2a=2b，即a=b，代入求得：a2=2，b2=1，即可求得橢圓C的標準方程；（2）B關(guān)于x軸的對稱點B1在直線AF上設(shè)直線AF方程：y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式，代入由x=，此能證明直線l總經(jīng)過定點M（2，0）【解答】解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為：（ab0），由題意可知：2a=2b，即a=b，由c=1，則a2=b2+c2=b2+1，代入求得：a2=2，b2=1，橢圓C的方程為：；（2）存在一個定點M（2，0），無論OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點證明：由OFA+OFB=180，則B關(guān)于x軸的對稱點B1在直線AF上設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，y2設(shè)直線AF方程：y=k（x+1），代入，得：（k2+）x2+2k2x+k21=0，由韋達定理可知：x1+x2=，x1x2=，由直線AB的斜率kAB=AB的方程：yy1=（xx1），令y=0，得：x1y1，y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），x=2，直線l總經(jīng)過定點M（2，0）20已知函數(shù)g（x）=ax22ax+1+b（a0）在區(qū)間2，3上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|），xR；（1）求實數(shù)a、b的值；（2）若不等式對任意xR恒成立，求實數(shù)k的范圍；（3）對于定義在p，q上的函數(shù)m（x），設(shè)x0=p，xn=q，用任意xi（i=1，2，n1）將p，q劃分成n個小區(qū)間，其中xi1xixi+1，若存在一個常數(shù)M0，使得不等式|m（x0）m（x1）|+|m（x1）m（x2）|+|m（xn1）m（xn）|M恒成立，則稱函數(shù)m（x）為在p，q上的有界變差函數(shù)，試證明函數(shù)f（x）是在1，3上的有界變差函數(shù)，并求出M的最小值【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】（1）由已知中g(shù)（x）在區(qū)間2，3的最大值為4，最小值為1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值，我們易構(gòu)造出關(guān)于a，b的方程組，解得a，b的值；（2）求出f（x），對任意xR恒成立等價于F（x）min=f（x）+g（x）恒成立，求實數(shù)k的范圍；根據(jù)有界變差函數(shù)的定義，我們先將區(qū)間1，3進行劃分，進而判斷|m（xi）m（xi1）|M是否恒成立，進而得到結(jié)論【解答】解：（1）函數(shù)g（x）=ax22ax+1+b，a0，對稱軸x=1，g（x）在區(qū)間2，3上是增函數(shù)，又函數(shù)g（x）故在區(qū)間2，3上的最大值為4，最小值為1，解得：a=1，b=0g（x）=x22x+1故實數(shù)a的值為1，b的值為0（2）由（1）可知g（x）=x22x+1，f（x）=g（|x|），f（x）=x22|x|+1，對任意xR恒成立，令F（x）=f（x）+g（x）=x22x+1+x22|x|+1=根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得F（x）min=f（1）=0則F（x）min恒成立，即：0令log2k=t，則有：t22t30，解得：1t3，即，得：故得實數(shù)k的范圍為（3）函數(shù)f（x）為1，3上的有界變差函數(shù)因為函數(shù)f（x）為1，3上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對任意劃分T：1=x0x1xixn=3有f（1）=f（x0）f（x1）f（xI）f（xn）=f（3）所以|m（xi）m（xi1）|=f（x1）f（x0）+f（x2）f（x1）f（xn）f（xn1）=f（xn）f（x0）=f（3）f（1）=4恒成立，所以存在常數(shù)M，使得|m（xi）m（