高中數(shù)學(xué)錯解剖析得真知(四).doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除錯解剖析得真知（三十一） 第十章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用10.1導(dǎo)數(shù)及其運算一、知識導(dǎo)學(xué)1.瞬時變化率：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當(dāng)趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)c（也就是說平均變化率與某個常數(shù)c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點的瞬時變化率。2.導(dǎo)數(shù)：當(dāng)趨近于零時，趨近于常數(shù)c。可用符號“”記作：當(dāng)時，或記作，符號“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。3.導(dǎo)函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)。這樣，對開區(qū)間內(nèi)每個值，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為或（或）。4.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：1）函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3）函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點的對應(yīng)點處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù),且.6.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑難知識導(dǎo)析 1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是函數(shù)值相對于自變量的變化率2.運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,應(yīng)注意以下幾點（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導(dǎo).(2) 要分清每一步的求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)，不能混淆，一直計算到最后，常出現(xiàn)如下錯誤，如實際上應(yīng)是。(3) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，如選成，計算起來就復(fù)雜了。3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運動的瞬時速度。對導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識，應(yīng)給予足夠的重視。4. 表示處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點的導(dǎo)數(shù)。5.導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在處可導(dǎo)，則此函數(shù)在點處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)在點處連續(xù)，未必在點可導(dǎo)，也就是說，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。6.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點處切線的斜率，因此，曲線在點處的切線方程可如下求得：（1）求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處切線的斜率。（2）在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點的切線平行于軸（此時導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知,則 .錯因：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計算不熟練,其與系數(shù)不一樣也是一個復(fù)合的過程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致錯解為:.正解：設(shè),則.例2已知函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)？錯解：。分析： 分段函數(shù)在“分界點”處的導(dǎo)數(shù)，須根據(jù)定義來判斷是否可導(dǎo) . 解： f(x)在x=1處不可導(dǎo).注：，指逐漸減小趨近于0；，指逐漸增大趨近于0。點評：函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)，是一個極限值，即，x0，包括x0，與x0，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù).例3求在點和處的切線方程。錯因：直接將，看作曲線上的點用導(dǎo)數(shù)求解。分析：點在函數(shù)的曲線上，因此過點的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；點不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過設(shè)切點的方法求切線解：即過點的切線的斜率為4，故切線為：設(shè)過點的切線的切點為，則切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過點的切線為：點評： 要注意所給的點是否是切點若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點坐標(biāo)例4求證：函數(shù)圖象上的各點處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程.分析： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，要證函數(shù)的圖象上各點處切線的斜率都小于1，只要證它的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值都小于1，因此，應(yīng)先對函數(shù)求導(dǎo)后，再進行論證與求解. 解：（1），即對函數(shù)定義域內(nèi)的任一，其導(dǎo)數(shù)值都小于，于是由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)圖象上各點處切線的斜率都小于1.（2）令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，曲線的斜率為0的切線有兩條，其切點分別為與，切線方程分別為或。點評： 在已知曲線 切線斜率為的情況下，要求其切線方程，需要求出切點，而切點的橫坐標(biāo)就是的導(dǎo)數(shù)值為時的解，即方程的解，將方程的解代入就可得切點的縱坐標(biāo)，求出了切點坐標(biāo)即可寫出切線方程，要注意的是方程有多少個相異實根，則所求的切線就有多少條. 例5（02年高考試題）已知，函數(shù)，設(shè)，記曲線在點處的切線為 . （1）求 的方程； （2）設(shè) 與 軸交點為，求證： ；若，則分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用其求出切線斜率，導(dǎo)出切線方程 . 解：（1） 切線的方程為即.（2）依題意，切線方程中令y=0得， 由知，例6求拋物線 上的點到直線的最短距離. 分析：可設(shè) 為拋物線上任意一點，則可把點到直線的距離表示為自變量的函數(shù)，然后求函數(shù)最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當(dāng)直線與拋物線相切時的切點到直線的距離即為本題所求. 解：根據(jù)題意可知，與直線 xy2=0平行的拋物線y=x2的切線對應(yīng)的切點到直線xy2=0的距離最短，設(shè)切點坐標(biāo)為（），那么, 切點坐標(biāo)為，切點到直線xy2=0的距離， 拋物線上的點到直線的最短距離為.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.函數(shù)在處不可導(dǎo)，則過點處，曲線的切線 （ ） A必不存在B必定存在 C必與x軸垂直 D不同于上面結(jié)論2.在點x=3處的導(dǎo)數(shù)是_.3.已知，若，則的值為_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點，則與直線平行的曲線的切線方程是 _. 5.如果曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標(biāo)與切線方程.6若過兩拋物線和的一個交點為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過定點，并求出定點的坐標(biāo).錯解剖析得真知（三十二） 10.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、 知識導(dǎo)學(xué)1.可導(dǎo)函數(shù)的極值（1）極值的概念設(shè)函數(shù)在點附近有定義，且若對附近的所有的點都有（或），則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲?，稱為極大（?。┲迭c.（2）求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:求導(dǎo)數(shù)。求方程的根.求方程的根.檢驗在方程的根的左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.2.函數(shù)的最大值和最小值（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進行.求在內(nèi)的極值.將在各極值點的極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.（2）若函數(shù)在上單調(diào)增加，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.二、疑難知識導(dǎo)析1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時，應(yīng)注意：（以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點稱為函數(shù)的駐點可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數(shù)可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導(dǎo)函數(shù)的極值時，常常把駐點附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（?。┲担ㄈ绻x域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個定理很有好處），然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數(shù)值就是最大（小）值。知道這一點是非常重要的，因為它在應(yīng)用上較為簡便，省去了討論駐點是否為極值點，求函數(shù)在端點處的值，以及同函數(shù)在極值點處的值進行比較等步驟.2.極大（?。┲蹬c最大（小）值的區(qū)別與聯(lián)系極值是局部性概念，最大（小）值可以看作整體性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的.極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲担畲螅ㄐ。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（小）值，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知曲線及點，求過點的曲線的切線方程.錯解：，過點的切線斜率，過點的曲線的切線方程為.錯因：曲線在某點處的切線斜率是該曲線對應(yīng)的函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在此題中，點湊巧在曲線上，求過點的切線方程，卻并非說切點就是點，上述解法對求過點的切線方程和求曲線在點處的切線方程，認(rèn)識不到位，發(fā)生了混淆.正解：設(shè)過點的切線與曲線切于點，則過點的曲線的切線斜率，又，。點在曲線上，代入得化簡，得，或.若，則，過點的切線方程為；若，則，過點的切線方程為過點的曲線的切線方程為或例2已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.錯解：在上是減函數(shù)，在上恒成立，對一切恒成立，即，.正解:，在上是減函數(shù)，在上恒成立，且，即且，.例3當(dāng) ，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時，不等式成立.點評：由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而導(dǎo)出及是解決本題的關(guān)鍵.例4設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運貨到工廠A所需運費最省?解 ： 設(shè)BD之間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運費為元/km,那么鐵路運費為元/km.故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運費為:+,().對該式求導(dǎo),得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合實際意義,舍去).且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點,所以=15是函數(shù)的極小值點,而且也是函數(shù)的最小值點.由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運費最省.點評： 這是一道實際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù),用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運用導(dǎo)數(shù)知識,求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡單.一般情況下,對于實際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項式函數(shù)、簡單的分式函數(shù)簡單的無理函數(shù)、簡單的指數(shù)、對數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識在實際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.例5（2006年四川）函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）對滿足11的一切的值，都有0，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線3只有一個公共點.解：（1）由題意 令，對，恒有，即 即解得故時，對滿足11的一切的值，都有.（2）當(dāng)時，的圖象與直線只有一個公共點當(dāng)時，列表： 極大極小又的值域是，且在上單調(diào)遞增當(dāng)時函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點.當(dāng)時，恒有由題意得即解得綜上，的取值范圍是.例6若電燈B可在桌面上一點O的垂線上移動，桌面上有與點O距離為的另一點A，問電燈與點0的距離怎樣，可使點A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）分析：如圖，由光學(xué)知識，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強度有關(guān)的常數(shù)）要想點處有最大的照度，只需求的極值就可以了.解：設(shè)到的距離為，則，于是，.當(dāng)時，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在點取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與點距離為時，點的照度為最大. （0，）+-點評：在有關(guān)極值應(yīng)用的問題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點使得=0且在該點兩側(cè)，的符號各異，一般稱為單峰問題，此時，該點就是極值點，也是最大（?。┲迭c.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1已知函數(shù)，若是的一個極值點，則值為 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函數(shù)在處有極值為10，則= .3給出下列三對函數(shù)：， ，；其中有且只有一對函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是 ， .4已知函數(shù)有極大值和極小值，求的取值范圍.5已知拋物線，過其上一點引拋物線的切線，使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.6設(shè)在上的最大值為，（1）求的表達式；（2）求的最大值.10.3定積分與微積分基本定理一、知識導(dǎo)學(xué)1可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點可微，（1）中的稱為函數(shù)在點的微分，記作或.函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在可導(dǎo)，這時（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間上每點都可微，則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作.2微積分基本定理：如果，且在上可積.則.其中叫做的一個原函數(shù).由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù).二、疑難知識導(dǎo)析1 .定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個步驟，這里包含著很重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應(yīng)用.1）一般情況下，對于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長度才能都趨近于0，但有的時候為了解題的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.2）對每個小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點或是右端點.3）求極限的時候，不是，而是.2在微積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個就可以了，一般情況下選那個不帶常數(shù)的。因為.3利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數(shù)和.三 、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.錯解：分兩部分，在，在，因此所求面積為 2+（-2）=0。分析：面積應(yīng)為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應(yīng)該將兩部分直接相加。正解：例2用微積分基本定理證明（）分析：即尋找的原函數(shù)代入進行運算。解；設(shè)，則= =由微積分基本定理的逆運用可知：上式所以原式成立，即證。注：該式可用來求分布在軸兩側(cè)的圖形的積分。例3根據(jù)等式求常數(shù)的值。1） 2）分析：利用微積分基本定理，求出原函數(shù)代入求解解：1）2）例4某產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位時的邊際收入（） 求生產(chǎn)了50個單位時的總收入。（） 如果已生產(chǎn)了100個單位時，求再生產(chǎn)100個單位時的總收入。分析：總收入為邊際收入的積分和，求總收入既為求邊際收入在規(guī)定時間內(nèi)的定積分。由收入函數(shù)和邊際收入的關(guān)系可得（1）生產(chǎn)50個單位時的總收入為 = =99875（2）已生產(chǎn)了100個單位時后，再生產(chǎn)100個單位時的總收入為答：生產(chǎn)50個單位時的總收入為99875；生產(chǎn)了100個單位時后，再生產(chǎn)100個單位時的總收入為19850.例5一個帶電量為的電荷放在軸上原點處，形成電場，求單位正電荷在電場力作用下沿軸方向從處移動到處時電場力對它所作的功。分析：變力做功的問題就是定積分問題在物理方面的應(yīng)用。解：單位正電荷放在電場中，距原點處，電荷對它的作用力為在單位電荷移動的過程中，電場對它的作用力為變力。則根據(jù)課本對變力做功的分析可知答：電場力對它做的功為。例6一質(zhì)點以速度沿直線運動。求在時間間隔上的位移。分析：變速求位移和變力求功一樣都可以用定積分解決。解：答：位移為。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. ( )A. B. C. D.2（ ）A0 B.2 C.-2 D.4 3，則 。4利用概念求極限：5求下列定積分；（1） （2） 6寫出下面函數(shù)在給定區(qū)間上的總和及的表達式 錯解剖析得真知（三十三） 第十一章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)11.1 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念一、知識導(dǎo)學(xué)1. 復(fù)數(shù)：形如的數(shù)（），復(fù)數(shù)通常有小寫字母表示，即,其中叫做復(fù)數(shù)的實部、叫做復(fù)數(shù)的虛部，稱做虛數(shù)單位.2. 分類：復(fù)數(shù)()中，當(dāng)時，就是實數(shù)；除了實數(shù)以外的數(shù)，即當(dāng)b時，叫做虛數(shù)；當(dāng),b時，叫做純虛數(shù).3. 復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合.4. 復(fù)數(shù)相等：如果兩個復(fù)數(shù)與的實部與虛部分別相等，記作：=.5. 復(fù)平面、實軸、虛軸：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面.在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實軸， 軸叫做虛軸.6. 復(fù)數(shù)的模：設(shè)=,則向量的長度叫做復(fù)數(shù)的模（或絕對值），記作.(1)；(2)=；(3)；7共扼復(fù)數(shù)：如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)互為共扼復(fù)數(shù).二、疑難知識導(dǎo)析1兩個實數(shù)可以比較大小，而不全是實數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小2則，而，則不一定成立，如時；3，而則不一定成立；4若不一定能推出；5若，則=，但若則上式不一定成立.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1兩個共扼復(fù)數(shù)的差是（ ）.實數(shù) .純虛數(shù) .零 .零或純虛數(shù)錯解:當(dāng)?shù)玫綍r就錯誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共扼的兩復(fù)數(shù)分別為及則 或當(dāng)時，為純虛數(shù)當(dāng)時，因此應(yīng)選D. 注：要認(rèn)真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論. 學(xué)會全面辯證的思考問題，準(zhǔn)確記 憶有關(guān)概念性質(zhì).例2判斷下列命題是否正確 (1)若, 則 (2)若且，則 (3)若，則 錯解：(1)認(rèn)為任何一個實數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正確的 (2)認(rèn)為兩實數(shù)之差大于零等價于前一個大于后一個實數(shù)，也可推到復(fù)數(shù)中來.認(rèn)為兩復(fù)數(shù)差為實數(shù)則這兩個復(fù)數(shù)也為實數(shù).而認(rèn)為命題(2)是正確的. (3)把不等式性質(zhì)錯誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實數(shù)中成立的前提條件. 正解：(1)錯，反例設(shè)則 (2)錯，反例設(shè)，滿足，但不能比較大小. (3)錯，故，都是虛數(shù)，不能比較大小.例3實數(shù)分別取什么值時，復(fù)數(shù)是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù). 解：實部，虛部.（1）當(dāng) 時，是實數(shù)；（2）當(dāng) ，且 時，是虛數(shù)；（3） 當(dāng) 或 時是純虛數(shù)例4 設(shè)，當(dāng)取何值時， (1) ; (2).分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問題常用的思想方法，這個題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來列出關(guān)于實數(shù) 的方程，求出 的值解：(1)由可得：解之得，即：當(dāng) 時 (2)當(dāng) 可得： 或 ，即 時.例5是兩個不為零的復(fù)數(shù)，它們在復(fù)平面上分別對應(yīng)點P和Q，且，證明OPQ為直角三角形（O是坐標(biāo)原點），并求兩銳角的度數(shù)分析 本題起步的關(guān)鍵在于對條件的處理等式左邊是關(guān)于的二次齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由（，不為零），得即向量與向量的夾角為，在圖中，又，設(shè)，在OPQ中，由余弦定理OPQ為直角三角形，四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系，那么z等于（ ）A B C D2.復(fù)數(shù)系方程有實數(shù)根，則這個實數(shù)是.3.實數(shù)m取何值時，復(fù)數(shù)是(1)純虛數(shù)；(2)在復(fù)平面上的對應(yīng)點位于第二象限4.已知且求復(fù)數(shù).5.設(shè)復(fù)數(shù)滿足且在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限、四象限的角平分線上，求的值.錯解剖析得真知（三十四） 11.2 復(fù)數(shù)的運算一、知識導(dǎo)學(xué)1.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)加法的幾何意義復(fù)數(shù) 是以、為兩鄰邊的平行四邊形對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)是連接向量、的終點，并指向被減數(shù)的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).2. 重要結(jié)論（1） 對復(fù)數(shù)z 、和自然數(shù)m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)設(shè)，二、疑難知識導(dǎo)析1.對于，是復(fù)數(shù)運算與實數(shù)運算相互轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)，也是把復(fù)數(shù)看作整體進行運算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識并逐漸體會.2.在進行復(fù)數(shù)的運算時，不能把實數(shù)的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，如下面的結(jié)論.當(dāng)時，不總是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 滿足條件的點的軌跡是（ ）A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓錯解：選A或B.錯因：如果把看作動點Z到定點（0，2）的距離，由上式表示到兩個定點（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數(shù) 動點的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點間的距離小于定常數(shù).正解：點（0，2）與（-1，0）間的距離為， 動點在兩定點（0，-2）與（-1，0）之間，選C評注：加強對概念的理解加深，認(rèn)真審題.例2 求值：錯解：原式= 錯因：上面的解答錯在沒有真正理解的含義，只是用了三個特殊整數(shù)代替了所有整數(shù)，犯了用特殊代替一般的錯誤.另外還可以看出對虛數(shù)單位的整數(shù)冪的運算不熟悉，沒有掌握虛數(shù)單位整數(shù)冪的運算結(jié)果的周期性.正解：原式=評注：虛數(shù)單位整數(shù)冪的值具有以4為周期的特點，根據(jù)必須按被4整除余數(shù)為0、1、2、3四種情況進行分類討論.例3已知，求的值.分析：結(jié)論是等比數(shù)列的求和問題，所以應(yīng)聯(lián)想到求和公式，若直接將條件代入求和公式，則顯得較為麻煩，不妨先將條件化簡. 原式=評注：由于數(shù)列中的數(shù)可以是復(fù)數(shù)，所以數(shù)列的諸性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中仍成立.例4 （06年上海春卷）已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），求一個以為根的實系數(shù)一元二次方程.解法一： ， . 若實系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根. ， 所求的一個一元二次方程可以是. 解法二：設(shè) ， 得 ， 以下解法同解法一.例5解析 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1（06年四川卷）非空集合關(guān)于運算滿足：（1）對任意，都有； （2）存在，使得對一切，都有，則稱關(guān)于運算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運算： 其中關(guān)于運算為“融洽集”_;（寫出所有“融洽集”的序號）2. 3計算4.計算 5解下列方程：(1)；(2). 錯解剖析得真知（三十五） 第十二章 統(tǒng)計121抽樣方法一、知識導(dǎo)學(xué)1抽簽法：（1）將總體中的所有個體編號（號碼可以從1到N）；（2）將1到N這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可以用小球、卡片、紙條等制作）；（3）將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（4）從箱中每次抽出1個號簽，并記錄其編號，連續(xù)抽取k次；（5）從總體中將與抽到的簽的編號相一致的個體取出.2隨機數(shù)表法：（1）對總體中的個體進行編號（每個號碼位數(shù)一致）；（2）在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始；（3）從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，得到的數(shù)碼若不在編號中，則跳過；若在編號中，則取出；如果得到的號碼前面已經(jīng)取出，也跳過；如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；（4） 根據(jù)選定的號碼抽取樣本.3系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）：（1）采用隨機的方式將總體中的個體編號；（2）將整個的編號按一定的間隔（設(shè)為k）分段，當(dāng)（N為總體中的個體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，；當(dāng)不是整數(shù)時，從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中個體的個數(shù)N能被n整除，這時，并將剩下的總體重新編號；（3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；（4）將編號為的個體抽出.4分層抽樣：（1）將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；（2）計算各層的個體數(shù)與總體的個數(shù)的比；（3）按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣）.二、疑難知識導(dǎo)析1簡單隨機抽樣是從總體中逐個不放回地抽取.2簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣都是一種等概率抽樣，即每個個體被抽到的可能性都是相同的.3簡單隨機抽樣適用于總體中個體較少的情況；系統(tǒng)抽樣適用于總體中個體數(shù)較多的情形；分層抽樣用于總體由幾個差異明顯的部分組成的情況.4 分層抽樣時，在每一層內(nèi)進行抽樣時可根據(jù)具體情況，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣.5 在使用分層抽樣時，在每一層內(nèi)抽樣的比例相同.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1某工廠生產(chǎn)A,B,C,D四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5：1，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A型號有16件，那么此樣本容量n是多少？錯解：樣本容量16=2（件）錯因：混淆了A型號產(chǎn)品與樣本容量的比例關(guān)系.正解：在分層抽樣中，每一層所抽的個體數(shù)的比例與總體中各層個體數(shù)的比例是一致的，所以，樣本容量為答：此樣本容量為88件.例2從1002名學(xué)生中選取100名進行抽樣檢查.請用系統(tǒng)抽樣法設(shè)計一種方案，敘述其步驟.解：（1）將1002名學(xué)生進行編號，號碼分別為1，2，1002； （2）用隨機數(shù)表法剔除2個個體，并將剩下的學(xué)生重新編號，號碼分別為1，2，1000；（3）將1000個號碼平均分成100組，并在第一組1，2，10中用簡單隨機抽樣法確定一個號碼（如）；（2） 將號碼為的個體抽出.例3某學(xué)校有2005名學(xué)生，從中選取20人參加學(xué)生代表大會，采用簡單隨機抽樣方法進行抽樣，是用抽簽法還是隨機數(shù)表法？如何具體實施？分析：由于學(xué)生人數(shù)較大，制作號簽比較麻煩，所以決定用隨機數(shù)表法解：采用隨機數(shù)表法實施步驟：（1） 對2005名同學(xué)進行編號，0000-2004（2） 在隨機數(shù)表中隨機地確定一個數(shù)作為開始，如21行45列的數(shù)字9開始的4位：9706；依次向下讀數(shù)，5595，4904,，如到最后一行，轉(zhuǎn)向左邊的四位數(shù)字號碼，并向上讀，凡不在0000-2004范圍內(nèi)的，則跳過，遇到已讀過的數(shù)也跳過，最后得到號碼為：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的學(xué)生組成容量為20的樣本.例4某工廠有3條生產(chǎn)同一產(chǎn)品的流水線，每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別是3000件，4000件，8000件.若要用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為150件產(chǎn)品的樣本，應(yīng)該如何抽樣？解：總體中的個體數(shù)N=3000+4000+8000=15000樣本容量n=150抽樣比例為所以應(yīng)該在第一條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取3000=30件產(chǎn)品在第二條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽?。?000=40件產(chǎn)品在第三條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽?。?000=50件產(chǎn)品這里因為每條流水線所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)都較多，所以，在每條流水線的產(chǎn)品中抽取樣品時，宜采用系統(tǒng)抽樣方法。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1為了解某班50名同學(xué)的會考及格率，從中抽取10名進行考查分析，則在這次考查中，考查的總體內(nèi)個體總數(shù)為 樣本容量為 .2采用系統(tǒng)抽樣從含有2000個個體的總體（編號為0000，0001，1999）中抽取一個容量為100的樣本，則第一段的編號為 若在第一段中用簡單隨機抽樣得到起始個體編號為0013，則前6個入樣編號為 . 3某市為了了解職工的家庭生活狀況，先將職工所在的國民經(jīng)濟行業(yè)分成13類，然后每個行業(yè)抽的職工家庭進行調(diào)查，這種抽樣方法是 .4用分層抽樣的方法在一個企業(yè)中抽取一個樣本容量為50的樣本，其中在管理營銷部門抽了15人，技術(shù)部門10人，其余在生產(chǎn)工人中抽取，已知該企業(yè)有生產(chǎn)工人375人，那么這個企業(yè)共有多少職工？5采用簡單隨機抽樣從含有5個人的身高的總體中抽取一個容量為2的樣本，寫出全部樣本，并計算各個樣本的平均值，各樣本平均值的平均值.12.2頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖一、知識導(dǎo)學(xué)1頻率分布表：反映總體頻率分布的表格.2一般地，編制頻率分布表的步驟如下：（1）求全距，決定組數(shù)和組距，組距=；（2）分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；（3）登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.3 頻率（分布）直方圖：利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律.4 一般地，作頻率分布直方圖的方法為：（1）把橫軸分成若干段，每一線段對應(yīng)一個組的組距；（2）以此線段為底作矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形；（3）每個矩形的面積恰好是該組上的頻率.5 頻率折線圖：如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連接起，就得到一條折線，稱這條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖.6 制作莖葉圖的方法是：將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從大到?。ɑ驈男〉酱螅┑捻樞蛲辛谐?二、疑難知識導(dǎo)析1 在編制頻率分布表時，要選擇適當(dāng)?shù)慕M距和起始點才可以使頻率分布表更好地反映數(shù)據(jù)的分布情況.2 在編制頻率分布表時，如果取全距時不利于分組（如不能被組數(shù)整除），可適當(dāng)增大全距，如在左右兩端各增加適當(dāng)范圍（盡量使兩端增加的量相同）.3 頻率折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢，如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線.4 莖葉圖對于分布在099的容量較小的數(shù)據(jù)比較合適，此時，莖葉圖比直方圖更詳盡地表示原始數(shù)據(jù)的信息.5 在莖葉圖中，莖也可以放兩位，后面位數(shù)多可以四舍五入后再制圖.三、典型例題導(dǎo)講例1（06全國卷）一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人用再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在（元）月收入段應(yīng)抽出 人.解析:由直方圖可得（元）月收入段共有人，按分層抽樣應(yīng)抽出人.故答案 25點評：頻率分布直方圖中，關(guān)健要理解圖中數(shù)據(jù)的意義，特別是圖中每個小矩形的面積才是這一組距內(nèi)個體的頻率.例2從有甲乙兩臺機器生產(chǎn)的零件中各隨機抽取15個進行檢驗，相關(guān)指標(biāo)的檢驗結(jié)果為：甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514畫出上述數(shù)據(jù)的莖葉圖錯解：錯因：對于兩位數(shù)是將兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從大到小（或從小到大）的順序同行列出，對于三位數(shù)字，應(yīng)該把前兩位數(shù)字作為莖，最后一位數(shù)字作為葉，然后從圖中觀察數(shù)據(jù)的分布情況，而不是仍考慮兩位數(shù)，盡管此題的效果一樣.正解：用前兩位數(shù)作為莖，莖葉圖為從圖中可以看出，甲機床生產(chǎn)的零件的指標(biāo)分布大致對稱，平均分在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)都是522，乙機床生產(chǎn)的零件的指標(biāo)分布也大致對稱，平均分也在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)分別是520和516，總的看，甲的指標(biāo)略大一些.例3在繪制頻率分布直方圖的第三個矩形時，矩形高度 與這個矩形的寬度（組距）有關(guān)； 與樣本容量n無關(guān)； 與第三個分組的頻數(shù)有關(guān)； 與直方圖的起始點無關(guān).以上結(jié)論中正確的共有（）A0個 B.1個 C. 2個 D.3個錯解：D.錯因：起始點與組距均影響第三組的頻數(shù)，所以矩形高度與以上各因素均有關(guān)，正確，正解：C.例4根據(jù)中國銀行的外匯牌價，2005年第一季度的60個工作日中，歐元的現(xiàn)匯買入價（100歐元的外匯可兌換的人民幣）的分組與各組頻數(shù)如下：1050，1060：1，1060，1070：7，1070，1080：20，1080，1090：11，1090，1100：13，1100，1110：6，1110，1120：2.（1）列出歐元的現(xiàn)匯買入價的頻率分布表；（2）估計歐元的現(xiàn)匯買入價在區(qū)間10651105內(nèi)的頻率；（3）如果歐元的現(xiàn)匯買入價不超過x的頻率的估計值為0.95，求此x解：（1）歐元的現(xiàn)匯買入價的頻率分布表為：分組頻數(shù)頻率1050，106010.0171060，107070.1171070，1080200.3331080，1090110.1831090，1100130.2171100，111060.1001110，112020.033合計601.000（2）歐元現(xiàn)匯買入價在區(qū)間10651105內(nèi)的頻率的估計值為（3）因為0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.8670.95，0.017+0.217+0.100=0.9670.95，所以在1100，1110內(nèi)，且滿足0.867+0.100即歐元現(xiàn)匯買入價不超過1108.3的頻率的估計為0.95例5初一年級某班期中考試的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下：分?jǐn)?shù)段100909980-8970-7960-690-59人數(shù)26122172如果80分以上（包括80分）定為成績優(yōu)秀，60分以上（包括60分）定為成績及格.那么，在這個班級的這次成績統(tǒng)計中，成績不及格的頻率是多少？成績及格的頻率是多少？成績優(yōu)秀的頻率是多少？解：被統(tǒng)計的對象（參加這次考試的本班學(xué)生）共有2+6+12+21+7+2=50個.60分以上的有48個，80分以上的有20個，所以成績不及格的頻率是，成績及格的頻率是，成績優(yōu)秀的頻率是.說明 要計算一組數(shù)據(jù)中某個對象的頻率，要先計算數(shù)據(jù)的總的個數(shù)，再計算符合這個對象要求的數(shù)據(jù)的個數(shù).某個對象可以是一個確定的數(shù)據(jù)，也可以是在某一范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的總數(shù).例6在英語單詞frequency和英語詞組relative frequency中，頻數(shù)最大的各是哪個字母？它們的頻數(shù)和頻率各是多少？解：在frequency和英語詞組relative frequency中，頻數(shù)最大的字母都是e，在單詞frequency中，e的頻數(shù)是2，頻率是；在詞組relative frequency中，e的頻數(shù)是4，頻率是.點評：在兩組數(shù)據(jù)中，同一個對象的頻數(shù)相等，但頻率不一定相等，頻數(shù)大，不一定頻率大.在同一組數(shù)據(jù)中，某兩個對象的頻數(shù)相等，頻率也相等；頻數(shù)大，頻率也大.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1（06年重慶卷）為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為歲的男生體重，得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在的學(xué)生人數(shù)是（ ）.A 20 B.30 C.40 D. 502 一個容量為800的樣本，某組的頻率為6.25%，則這一組的頻數(shù)是 3 某校隨機抽取了20名學(xué)生，測量得到的視力數(shù)據(jù)如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0（1） 列出頻率分布表（共分5組）（2） 估計該校學(xué)生的近視率（視力低于4.9）4 用一個容量為200的樣本制作頻率分布直方圖時，共分13組，組距為6，起始點為10，第4組的頻數(shù)為25，則直方圖中第4個小矩形的寬和高分別是多少？5 200名學(xué)生某次考試的成績的分組及各組頻率如下表：分組頻數(shù)21130528520則及格率，優(yōu)秀率（）的估計分別是6某地隨機檢查了140名成年男性紅細(xì)胞（L），數(shù)據(jù)的分組及頻率如下表：分組頻數(shù)頻率分組頻數(shù)頻率21761311425232127合計140（1）完成上面的頻率分布表（2）根據(jù)上面的圖表，估計成年男性紅細(xì)胞數(shù)在正常值（4.05.5）內(nèi)的百分比7名著簡愛的中英文版本中，第一節(jié)部分內(nèi)容每句句子所含單詞（字）數(shù)如下：英文句子所含單詞數(shù)10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字?jǐn)?shù)11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.（1）作出這些數(shù)據(jù)的莖葉圖；（2）比較莖葉圖，你能得到什么結(jié)論？錯解剖析得真知（三十六） 123平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差一、知識導(dǎo)學(xué)1n 個數(shù)據(jù)，.的平均數(shù)或平均值一般記為=.2一般地，若取值的頻率分別為，則其平均數(shù)為.3把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差.4 一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱為這個樣本的方差，算術(shù)平方根為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別簡稱樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差.二、疑難知識導(dǎo)析1.平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)都是總體的數(shù)字特征，從不同角度反映了分布的集中趨勢，平均數(shù)是最常用的指標(biāo)，也是數(shù)據(jù)點的“重心”位置，它易受極端值（特別大或特別小的值）的影響，中位數(shù)位于數(shù)據(jù)序列的中間位置，不受極端值的影響，在一組數(shù)據(jù)中，可能沒有眾數(shù)，也可能有多個眾數(shù).2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差是總體的數(shù)字特征，反映了分布的分散程序（波動大?。瑯?biāo)準(zhǔn)差也會受極端值（特別大或特別小的值）的影響.3.分布的分散程序還可以用極差來描述，但較粗略.4.樣