2011高考二輪復習數(shù)學教案(16)導數(shù)及其應用.doc

導數(shù)及其應用【專題要點】1. 導數(shù)的定義:利用導數(shù)的定義解題;高考資源網(wǎng)2. 求導數(shù)(包括求導函數(shù)和某一點的導數(shù));3. 導數(shù)的簡單應用,包括求函數(shù)的極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,證明函數(shù)的單調(diào)性等,復現(xiàn)率較高;4. 導數(shù)在實際問題中的應用(利潤最大,用料最省,效率最高等優(yōu)化問題);5. 綜合考查,將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關不等式和函數(shù)的單調(diào)性、方程根的分布、解析幾何中的切線問題等有機地結合在一起，設計綜合問題。包括：（1） 函數(shù)、導數(shù)、方程、不等式綜合在一起，解決單調(diào)性、參數(shù)的范圍等問題，這類問題涉及含參數(shù)的不等式、不等式的恒成立的求解；高考資源網(wǎng)（2） 函數(shù)、導數(shù)、方程、不等式綜合在一起，解決極值、最值等問題，這類問題涉及求極值和極值點、求最值，有時需要借助方程的知識求解；（3） 利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，解決與切線方程有關的問題；（4） 通過構造函數(shù)，以導數(shù)為工具證明不等式；（5） 導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖像的混合問題，這是一個重要問題，也是高考中考察綜合能力的一個方向【考綱要求】了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念熟記基本導數(shù)公式（(為有理數(shù)),的導數(shù)）掌握兩個函數(shù)四則運算的求導法則和復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系，了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數(shù)要極值點兩側異號），會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值【知識縱橫】【教法指引】（1）近幾年各地高考題一直保持對導數(shù)知識考查力度，體現(xiàn)了在知識網(wǎng)絡交匯點出題的命題風格，重點考查導數(shù)概念、單調(diào)性、極值等傳統(tǒng)、常規(guī)問題，這三大塊內(nèi)容是本專題復習的主線，在復習中應以此為基礎展開，利用問題鏈向?qū)W生展示題目間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示解題的通法通解，如講解利用導數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性問題時，可設計這樣的問題鏈：已知函數(shù)求單調(diào)區(qū)間知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)若函數(shù)不單調(diào)如何求參數(shù)（2）要認識到新課程中增加了導數(shù)內(nèi)容，增添了更多的變量數(shù)學，拓展了學習和研究的領域，在復習中要明確導數(shù)作為一種工具在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等方面的作用，這種作用不僅體現(xiàn)在導數(shù)為解決函數(shù)問題提供了有效途徑，還在于它使學生掌握了一種科學的語言和工具，能夠加深對函數(shù)的深刻理解和直觀認識高考資源網(wǎng)（3）在教學中有意識的與解析幾何（特別是切線、最值）、函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值極值，二次函數(shù)，方程，不等式，代數(shù)不等式的證明等進行交匯，綜合運用。特別是精選一些以導數(shù)為工具分析和解決一些函數(shù)問題、切線問題的典型問題，以及一些實際問題中的最大（小）值問題【典例精析】1.導數(shù)定義的應用2BCAyx1O34561234例1 (2008北京高考）如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標分別為， _ 解：由圖可知，根據(jù)導數(shù)的定義知例(2006重慶高考)已知函數(shù),其中，（）略，（）若且，試證：解：，易知故， 所以解得2. 利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像高考資源網(wǎng)例3 （2009安徽高考）設b,函數(shù)的圖像可能是 解：，由得，當時，取極大值0，當時取極小值且極小值為負故選C或當時，當時，選C點評:通過導數(shù)研究函數(shù)圖像的變化規(guī)律,也是考試的熱點題型.例4（2009年湖南卷）若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解: 因為函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在區(qū)間上各點處函數(shù)的變化率是遞增的，故圖像應越來越陡峭由圖易知選A.點評：這是一道非常精彩的好題，題目考察了導數(shù)的概念函數(shù)的變化率以及圖像的變化規(guī)律，是以高等數(shù)學中函數(shù)圖像的凹凸性為背景命制的，雖然試題的設計來源于高等數(shù)學，但考察的還是中學所學的初等數(shù)學知識這也是近年來高考命題的一大特色3.利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題例5（2008全國高考）已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；高考資源網(wǎng)（）設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍解：（1）求導得當時，在上遞增；當，求得兩根為，即在遞增，遞減， 遞增。（2）因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以當時恒成立，結合二次函數(shù)的圖像可知解得點評：函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)轉(zhuǎn)化為導函數(shù)或在區(qū)間上恒成立問題，是解決這類問題的通法本題也可以由函數(shù)在上遞減，所以求解【變式1】（2004年全國高考）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：，令得或，結合圖像知，故點評：本題也可轉(zhuǎn)化為恒成立且恒成立來解【變式2】(2005年湖南高考)已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；解：因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上解，從而有正解高考資源網(wǎng)當時，為開口向上的拋物線，總有正解；當時，為開口向下的拋物線，要使總有正解，則,解得 綜上所述，a的取值范圍為【變式3】（2009浙江高考）已知函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍解：函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價于在區(qū)間上有實數(shù)解，且無重根又，由，得。從而或解得或所以的取值范圍是點評：這種逆向設問方式是今后高考命題的一種趨勢，充分體現(xiàn)高考“能力立意”的思想，高考中應高度重視。（4）利用導數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問題例6 （2009江西高考）若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于 A或 B或 C或 D或解：設過的直線與相切于點，所以切線方程為即，又在切線上，則或，當時，由與相切可得，當時，由與相切可得，所以選.點評：函數(shù)的切線問題，切點是關鍵，因為它是聯(lián)結曲線和其切線的“橋梁”，在做題中往往需要設出切點【變式】（2008遼寧高考）設為曲線：上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為（ ）高考資源網(wǎng)ABCD解：由曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，可得曲線在點處切線的斜率范圍為，又，設點的橫坐標為，則，解得，故選5. 利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值例7（2009天津卷理）已知函數(shù)其中（1） 當時，求曲線處的切線的斜率； （2） 當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。 （I）解：高考資源網(wǎng)（II） 以下分兩種情況討論。（1），則.當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值 （2），則，當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值 點評: 本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。例8（2008年天津高考）已知函數(shù)（），其中若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍解：，顯然不是方程的根為使僅在處有極值，必須成立，即有解不等式，得這時，是唯一極值因此滿足條件的的取值范圍是高考資源網(wǎng)6.利用導數(shù)解決實際問題例9用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？解：設長方體的寬為（m），則長為 (m)，高為.故長方體的體積為從而令，解得（舍去）或，因此.當時，；當時，故在處取得極大值，并且這個極大值就是的最大值，從而最大體積，此時長方體的長為2 m，高為1.5 m例10(2009年湖南高考)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元高考資源網(wǎng) （）試寫出關于的函數(shù)關系式；高考資源網(wǎng) （）當=640米時，需新建