雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程_教案(人教A版選修2-1).docx

2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程三維目標(biāo) 1.知識(shí)與技能理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義，會(huì)用雙曲線的定義解決問(wèn)題；了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程及化簡(jiǎn)無(wú)理方程的常用方法2過(guò)程與方法通過(guò)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)教師指導(dǎo)下學(xué)生的交流探索活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)問(wèn)題重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由于雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類(lèi)似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗(yàn)，所以本節(jié)課用“啟發(fā)探究”式的教學(xué)方式，重點(diǎn)突出以下兩點(diǎn)：以類(lèi)比思維作為教學(xué)的主線；以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，并結(jié)合多媒體輔助教學(xué)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)重點(diǎn)、難點(diǎn)的突破教學(xué)建議 在教法上，宜采用探究性教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法讓學(xué)生根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的要求和題目中的已知條件，自覺(jué)主動(dòng)地創(chuàng)造性地去分析問(wèn)題、討論問(wèn)題、解決問(wèn)題以啟發(fā)、引導(dǎo)為主，采用設(shè)疑的形式，逐步讓學(xué)生進(jìn)行探究性的學(xué)習(xí)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想證明應(yīng)用”的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，把學(xué)生的潛意識(shí)狀態(tài)的好奇心變?yōu)樽杂X(jué)求知的創(chuàng)新意識(shí)又通過(guò)實(shí)際操作，使剛產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)得到完善，提高了學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的能力和增強(qiáng)了研究探索的綜合素質(zhì)教學(xué)流程課標(biāo)解讀1.了解雙曲線的定義及焦距的概念2了解雙曲線的幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn))3.能利用雙曲線的定義和待定系數(shù)法去求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn))雙曲線的定義【問(wèn)題導(dǎo)思】1我們知道，與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和為非零常數(shù)(大于兩定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，那么與兩定點(diǎn)距離的差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？【提示】雙曲線的一支2若定義中的常數(shù)大于或等于|F1F2|時(shí)，軌跡是什么？【提示】當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時(shí)，軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)，在直線F1F2上反向的兩條射線F1A，F(xiàn)2B(包括端點(diǎn))，如圖所示當(dāng)常數(shù)大于|F1F2|時(shí)，軌跡不存在把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【問(wèn)題導(dǎo)思】類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，你能說(shuō)說(shuō)怎樣選擇坐標(biāo)系，建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？【提示】以經(jīng)過(guò)兩焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建坐標(biāo)系焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2雙曲線定義的應(yīng)用已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，若雙曲線上一點(diǎn)P使得F1PF260，求F1PF2的面積【思路探究】(1)在PF1F2中，由余弦定理能得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|三者滿足怎樣的關(guān)系式？(2)結(jié)合雙曲線的定義，能否求出|PF1|PF2|的值進(jìn)而求出F1PF2的面積？【自主解答】由1，得a3，b4，c5.由定義和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sin F1PF26416.求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：法一：(1)根據(jù)雙曲線的定義求出|PF1|PF2|2a；(2)利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；(3)通過(guò)配方，整體的思想求出|PF1|PF2|的值；(4)利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面積法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yP|求得面積本例中若F1PF290，其他條件不變，求F1PF2的面積【解】由雙曲線方程知a3，b4，c5由雙曲線的定義，|PF1|PF2|2a6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36在RtF1PF2中，由勾股定理|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100將代入得：|PF1|PF2|32，SF1PF2|PF1|PF2|16.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(2，)和P2(，4)兩點(diǎn)【思路探究】(1)所求曲線的焦點(diǎn)位置確定嗎？(2)如何求出a2、b2的值？【自主解答】(1)若所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則將a4代入，得1.又點(diǎn)A(1，)在雙曲線上，1.由此得b20，不合題意，舍去若所求雙曲線方程為1(a0，b0)，則將a4代入得1，代入點(diǎn)A(1，)，得b29，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)P1、P2在雙曲線上，解得(不合題意舍去)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)P1、P2在雙曲線上，解得，即a29，b216.故所求雙曲線方程為1.法二因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不確定，所以設(shè)曲線方程為mx2ny21(mn0)，因?yàn)镻1、P2在雙曲線上，所以有，解得.所求雙曲線方程為1，即1.1求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)：(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式(2)定量：是指確定a2、b2的數(shù)值，常由條件列方程求解2若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類(lèi)討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2ny21的形式，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，常標(biāo)明條件mn0.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)一個(gè)焦點(diǎn)是(0，6)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,6)；(2)a5，c7.【解】(1)由已知c6，且焦點(diǎn)在y軸上，另一焦點(diǎn)為(0,6)由雙曲線定義2a|8.a4，b2c2a220.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由已知a5，c7，b2c2a224，焦點(diǎn)不確定所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 的實(shí)際應(yīng)用“神舟”九號(hào)飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米，P為航天員著陸點(diǎn)某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號(hào)，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，在此4秒后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)已知該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角【思路探究】由“A接收到P的求救信號(hào)的時(shí)間比其他兩個(gè)救援中心早4 s”能否得到|PB|與|PA|的差為定值？是否說(shuō)明點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支上？【自主解答】因?yàn)閨PC|PB|，所以P在線段BC的垂直平分線上又因?yàn)閨PB|PA|4，所以P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線所在直線為y軸，正東方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示則A(3,0)，B(3,0)，C(5，2)所以雙曲線方程為1(x0)，BC的垂直平分線方程為xy70.聯(lián)立兩方程解得 x8，y5，所以P(8,5)，kPAtanPAx，所以PAx60.所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東30方向解答此類(lèi)題首先應(yīng)建立平面直角坐標(biāo)系，取兩定點(diǎn)所在的直線為x軸，以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；然后根據(jù)雙曲線的定義求出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由標(biāo)準(zhǔn)方程解有關(guān)問(wèn)題本題的解法主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP，BP運(yùn)到P處(如圖231所示)，|PA|100 m，|PB|150 m，APB60，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土才能最省工圖231【解】設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)，則有：|MA|PA|MB|PB|，于是|MA|MB|PB|PA|15010050.在PAB中，由余弦定理得，|AB|2|PA|2|PB|22|PA|PB| cos 6010021502210015017 500.以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則分界線是雙曲線，即1(x25)故運(yùn)土?xí)r，將此雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工.混淆a、b、c的關(guān)系致誤雙曲線8kx2ky28的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)，求k的值【錯(cuò)解】將雙曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為1.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以a2，b2.所以c3，即9，所以k.【錯(cuò)因分析】上述解法有兩處錯(cuò)誤：一是a2，b2值確定錯(cuò)誤，應(yīng)該是a2，b2；二是基本量a、b、c的關(guān)系錯(cuò)誤，在雙曲線中基本量a、b、c的關(guān)系應(yīng)該是c2a2b2.【防范措施】在橢圓中，a、b、c的關(guān)系是c2a2b2；而在雙曲線中，a、b、c的關(guān)系是c2a2b2，二者極易混淆，要注意區(qū)分，以防錯(cuò)誤【正解】將雙曲線的方程化成kx2y21.因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)，所以焦點(diǎn)在y軸上，且c3.所以a2，b2.所以9，解得k1.1理解雙曲線定義應(yīng)注意以下三點(diǎn)：定義中的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)在同一平面內(nèi)；距離的差要加絕對(duì)值，否則只表示雙曲線的一支；距離差的絕對(duì)值必須小于焦距，否則不是雙曲線，而是兩條射線或無(wú)軌跡2利用待定系數(shù)法可以求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解步驟包括“定位”與“定量 ”兩步.1動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)的距離之差的絕對(duì)值為2，則點(diǎn)P的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C兩條射線 D一條射線【解析】|PM|PN|2|MN|，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線【答案】C2(2013徐州高二檢測(cè))雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(，0) B(，0)C(，0) D(，0)【解析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式x21，所以a21，b2，c，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)【答案】C3滿足條件a2，一個(gè)焦點(diǎn)為(4,0)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.1C.1 D.1【解析】由a2，c4，得b2c2a212，又一焦點(diǎn)(4,0)在x軸上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.【答案】A4已知雙曲線1的左支上一點(diǎn)M到其左焦點(diǎn)F1的距離為10，求點(diǎn)M到該曲線左焦點(diǎn)F2的距離【解】由1得a4，點(diǎn)M在雙曲線的左支上|MF2|MF1|，|MF2|MF1|2a8，又|MF1|10，|MF2|18.一、選擇題1(2013東營(yíng)高二檢測(cè))方程1表示雙曲線，則m的取值范圍()A2m2Bm0Cm0 D|m|2【解析】已知方程表示雙曲線，(2m)(2m)0.2m2.【答案】A2設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到A(5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A.1 B.1C.1(x3) D.1(x3)【解析】由題意，應(yīng)為以A(5,0)，B(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支由c5，a3，知b216，P點(diǎn)的軌跡方程為1(x3)【答案】D3(2013泉州高二檢測(cè))已知定點(diǎn)A、B且|AB|4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值是()A.B.C.D5【解析】由題意知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以定點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支(如圖)從圖上不難發(fā)現(xiàn)，|PA|的最小值是圖中AP的長(zhǎng)度，即ac.【答案】C4若橢圓1(mn0)和雙曲線1(a0，b0)有相同的焦點(diǎn)F1、F2，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|PF2|的值是()Ama B.(ma)Cm2a2 D.【解析】由橢圓定義知|PF1|PF2|2.由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2.22得4|PF1|PF2|4(ma)，|PF1|PF2|ma.【答案】A5已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且PF1PF2，|PF1|PF2|2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.1Cx21 D.y21【解析】設(shè)|PF1|m，|PF2|n，在RtPF1F2中，m2n2(2c)220，mn2，由雙曲線定義，知|mn|2m2n22mn16.4a216.a24，b2c2a21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.【答案】D二、填空題6雙曲線1的焦距為_(kāi)【解析】c2m2124m216，c4,2c8.【答案】87(2013鄭州高二檢測(cè))設(shè)點(diǎn)P是雙曲線1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，若|PF1|10，則|PF2|_.【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，a3，b4.于是c5.(1)若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則|PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；(2)若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|6，|PF2|PF1|61064.綜上，|PF2|16或4.【答案】16或48(2013泰安高二檢測(cè))方程1表示的曲線為C，給出下列四個(gè)命題：曲線C不可能是圓；若1k4，則曲線C為橢圓；若曲線C為雙曲線，則k1或k4；若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1k.其中正確命題的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有正確的命題的序號(hào))【解析】當(dāng)4kk10時(shí)，即k時(shí)，曲線C是圓，命題是假命題對(duì)于，當(dāng)1k4且k時(shí)，曲線C是橢圓，則是假命題根據(jù)雙曲線定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，是真命題【答案】三、解答題9求與雙曲線1有相同焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線的方程【解】雙曲線1的焦點(diǎn)在x軸上依題意，設(shè)所求雙曲線為1(a0，b0)又兩曲線有相同的焦點(diǎn)，a2b2c2426.又點(diǎn)P(2,1)在雙曲線1上，1.由、聯(lián)立，得a2b23，故所求雙曲線方程為1.10已知方程kx2y24，其中k為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類(lèi)型【解】(1)當(dāng)k0時(shí)，y2，表示兩條與x軸平行的直線；(2)當(dāng)k1時(shí)，方程為x2y24，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；(3)當(dāng)k0時(shí)，方程為1，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；(4)當(dāng)0k1時(shí)，方程為1，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；(5)當(dāng)k1時(shí)，方程為1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓11某部隊(duì)進(jìn)行軍事演習(xí)，一方指揮中心接到其正西、正東、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B，C的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了炮彈的爆炸聲，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4 s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1 020 m，試確定該枚炮彈的襲擊位置(聲音的傳播速度為340 m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面內(nèi))【解】如圖，以指揮中心為原點(diǎn)，正東、正北方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1 020,0