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此文檔收集于網(wǎng)絡(luò),僅供學(xué)習(xí)與交流,如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除高一數(shù)學(xué)必修二圓與方程知識(shí)點(diǎn)整理一、標(biāo)準(zhǔn)方程1.求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法關(guān)鍵是求出圓心和半徑待定系數(shù):往往已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo),例如教材例2利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系,特別是:相切和相交相切:利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線相交:利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理2.特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法(無需記,關(guān)鍵能理解)條件 方程形式圓心在原點(diǎn) 過原點(diǎn) 圓心在軸上 圓心在軸上 圓心在軸上且過原點(diǎn) 圓心在軸上且過原點(diǎn) 與軸相切 與軸相切 與兩坐標(biāo)軸都相切 二、一般方程1.表示圓方程則2.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法:如教材例43.??捎脕砬笥嘘P(guān)參數(shù)的范圍三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.判斷方法:點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi);點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓外2.涉及最值:(1)圓外一點(diǎn),圓上一動(dòng)點(diǎn),討論的最值(2)圓內(nèi)一點(diǎn),圓上一動(dòng)點(diǎn),討論的最值 思考:過此點(diǎn)作最短的弦?(此弦垂直)四、直線與圓的位置關(guān)系1.判斷方法(為圓心到直線的距離)(1)相離沒有公共點(diǎn)(2)相切只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)相交有兩個(gè)公共點(diǎn)這一知識(shí)點(diǎn)可以出如此題型:告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.2.直線與圓相切(1)知識(shí)要點(diǎn)基本圖形主要元素:切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長等問題:直線與圓相切意味著什么?圓心到直線的距離恰好等于半徑(2)常見題型求過定點(diǎn)的切線方程切線條數(shù)點(diǎn)在圓外兩條;點(diǎn)在圓上一條;點(diǎn)在圓內(nèi)無求切線方程的方法及注意點(diǎn)i)點(diǎn)在圓外如定點(diǎn),圓:,第一步:設(shè)切線方程第二步:通過,從而得到切線方程特別注意:以上解題步驟僅對(duì)存在有效,當(dāng)不存在時(shí),應(yīng)補(bǔ)上千萬不要漏了!如:過點(diǎn)作圓的切線,求切線方程.答案:和ii)點(diǎn)在圓上1) 若點(diǎn)在圓上,則切線方程為會(huì)在選擇題及填空題中運(yùn)用,但一定要看清題目.2) 若點(diǎn)在圓上,則切線方程為碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化,然后運(yùn)用上述結(jié)果. 由上述分析,我們知道:過一定點(diǎn)求某圓的切線方程,非常重要的第一步就是判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,得出切線的條數(shù).求切線長:利用基本圖形,求切點(diǎn)坐標(biāo):利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程3.直線與圓相交(1)求弦長及弦長的應(yīng)用問題垂徑定理及勾股定理常用弦長公式:(暫作了解,無需掌握)(2)判斷直線與圓相交的一種特殊方法(一種巧合):直線過定點(diǎn),而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi).(3)關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題例:若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,則半徑的取值范圍是_. 答案:4.直線與圓相離會(huì)對(duì)直線與圓相離作出判斷(特別是涉及一些參數(shù)時(shí))五、對(duì)稱問題1.若圓,關(guān)于直線,則實(shí)數(shù)的值為_.答案:3(注意:時(shí),故舍去)變式:已知點(diǎn)是圓:上任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上,則實(shí)數(shù)_.2.圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程是_.變式:已知圓:與圓:關(guān)于直線對(duì)稱,則直線的方程為_.3.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程是_.4.已知直線:與圓:,問:是否存在實(shí)數(shù)使自發(fā)出的光線被直線反射后與圓相切于點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,試說明理由.六、最值問題方法主要有三種:(1)數(shù)形結(jié)合;(2)代換;(3)參數(shù)方程1.已知實(shí)數(shù),滿足方程,求:(1)的最大值和最小值;看作斜率(2)的最小值;截距(線性規(guī)劃)(3)的最大值和最小值.兩點(diǎn)間的距離的平方2.已知中,點(diǎn)是內(nèi)切圓上一點(diǎn),求以,為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可!3.設(shè)為圓上的任一點(diǎn),欲使不等式恒成立,則的取值范圍是_. 答案:(數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可?。┢?、圓的參數(shù)方程,為參數(shù),為參數(shù)八、相關(guān)應(yīng)用1.若直線(,),始終平分圓的周長,則的取值范圍是_.2.已知圓:,問:是否存在斜率為1的直線,使被圓截得的弦為,以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),若存在,寫出直線的方程,若不存在,說明理由. 提示:或弦長公式. 答案:或3.已知圓:,點(diǎn),設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),求的最值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).4.已知圓:,直線:()(1)證明:不論取什么值,直線與圓均有兩個(gè)交點(diǎn);(2)求其中弦長最短的直線方程.5.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn),則的取值范圍.6.已知圓與直線交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),問:是否存在實(shí)數(shù),使,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法:幾何法(為圓心距)(1)外離 (2)外切(3)相交 (4)內(nèi)切(5)內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程圓:,圓:,則為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說明:若與相切,則表示其中一條公切線方程;若與相離,則表示連心線的中垂線方程.3圓系問題(1)過兩圓:和:交點(diǎn)的圓系方程為()說明:1)上述圓系不包括;2)當(dāng)時(shí),表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程(公共弦)(2)過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為(3)有關(guān)圓系的簡(jiǎn)單應(yīng)用(4)兩圓公切線的條數(shù)問題相內(nèi)切時(shí),有一條公切線;相外切時(shí),有三條公切線;相交時(shí),有兩條公切線;相離時(shí),有四條公切線十、軌跡方程(1)定義法(圓的定義):略(2)直接法:通過已知條件直接得出某種等量關(guān)系,利用這種等量關(guān)系,建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式軌跡方程.例:過圓外一點(diǎn)作圓的割線,求割線被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.分析:(3)相關(guān)點(diǎn)法(平移轉(zhuǎn)換法):一點(diǎn)隨另一點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng) 動(dòng)點(diǎn) 主動(dòng)點(diǎn)特點(diǎn)為:主動(dòng)點(diǎn)一定在某一已知的方程所表示的(固定)軌跡上運(yùn)動(dòng).例1.如圖,已知定點(diǎn),點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),的平分線交于,當(dāng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.分析:角平分線定理和定比分點(diǎn)公式.例2.已知圓:,點(diǎn),、是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),、呈逆時(shí)針方向排列,且,求的重心的軌跡方程.法1:,為定長且等于設(shè),則取的中點(diǎn)為, (1),故由(1)得:法2:
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