物理競賽專題八：作圖法.doc

高中奧林匹克物理競賽解題方法八、作圖法方法簡介作圖法是根據(jù)題意把抽象復雜的物理過程有針對性的表示成物理圖像，將物理問題轉(zhuǎn)化成一個幾何問題，通過幾何知識求解，作圖法的優(yōu)點是直觀形象，便于定性分析，也可定性計算，靈活應用作圖法會給解題帶來很大方便。賽題精析例1 如圖81所示，細繩跨過定滑輪，系住一個質(zhì)量為m的球，球靠在光滑豎直墻上，當拉動細繩使球勻速上升時，球?qū)Φ膲毫ⅲ?）A增大B先增大后減小C減小D先減小后增大 圖81解析 球在三個力的作用下處于平衡，如圖81甲所示.當球上升時，角增大，可用動態(tài)的三角形定性分析，作出圓球的受力圖（如圖81甲）.從圖可見，當球上升時，角增大，墻對球的支持力增大，從而球?qū)Φ膲毫σ苍龃? 故選A正確. 圖81甲 圖82 圖82甲例2 用兩根繩子系住一重物，如圖82所示.繩OA與天花板間夾角不變，當用手拉住繩子OB，使繩OB由水平方向轉(zhuǎn)向豎直方向的過程中，OB繩所受的拉力將（ ）A始終減小B始終增大C先減小后增大D先增大后減小解析 因物體所受重力的大小、方向始終不變，繩OA拉力的方向始終不變，又因為物體始終處于平衡狀態(tài)，所受的力必然構成一個三角形，如圖82甲所示，由圖可知OB繩受的拉力是先減小后增大. 可知答案選C例3 如圖83所示，質(zhì)量為m的小球A用細繩拴在天花板上，懸點為O，小球靠在光滑的大球上，處于靜止狀態(tài).已知：大球的球心O在懸點的正下方，其中繩長為l，大球的半徑為R，懸點到大球最高點的距離為h.求對小球的拉力T和小球?qū)Υ笄虻膲毫?解析 力的三角形圖和幾何三角形有聯(lián)系，若兩個三角形相似， 則可以將力的三角形與幾何三角形聯(lián)系起來，通過邊邊對應成比例求解. 圖83以小球為研究對象，進行受力分析，如圖83甲所示，小球受重力mg、繩的拉力T、大球的支持力FN，其中重力mg與拉力T的合力與支持力FN平衡.觀察圖中的特點，可以看出力的矢量三角形ABC與幾何三角形AOO相似，即： 圖83甲所以繩的拉力：T=小球?qū)Υ笄虻膲毫? 如圖84所示，質(zhì)點自傾角為的斜面上方定點O沿光滑的斜槽從靜止開始下滑，為使質(zhì)點在最短時間內(nèi)從O點到達斜面，斜槽與豎直方向的夾角應等于多少？解析 如圖84甲所示，以經(jīng)過O點的豎直線上的一點O為圓心，OO為半徑作圓，并使該圓與斜面恰好相切于A點，與OO延長線交于B點.已知從O點由靜止出發(fā)沿傾角不同的光滑斜 圖84面下滑的質(zhì)點，到達圓周上不同點所需時間相等，顯然，質(zhì)點沿OA方向從靜止開始滑到斜面上所需時間比沿其他方向滑到斜面上所需時間短.連接OA，由幾何關系得：AOB=所以所用時間最短時，斜槽與豎直方向的夾角=/2所題也可用極限法求解，讀者可試試. 圖84甲例5 一條小河，河水以v1=5m./s的速度勻速流動，一條小船在靜水中的速度為v2=4m/s.欲使小船渡河的航程最短，小船的船頭應指向何方向？解析 若v1 v2，小船就不能垂直渡河.但欲使航程最短，則應使合速度方向與河岸夾角最大. 圖85根據(jù)矢量合成的三角形法，v1、v2、v合 ，構成封閉三角形，作圖如85所示，作有向線段OA表示河水流速v1，以表示 v2的有向長度為半徑，以A為圓心畫圓，過O該圓的切線，切點為B，作有向線段AB，有向線段AB的方向就是所求的方向.由直角三角形AOB，得：所以=37即小船的船頭應指向上游并沿與上游的河岸成37角的方向.例6 一木箱重為G，與地面動摩擦因數(shù)為，現(xiàn)用斜向上的力F拉木箱使之沿水平地面勻速前進，如圖86所示. 求拉力F與水平方向夾角為何值時拉力最?。窟@個最小值多大？解析 木箱受重力G、彈力N、摩擦力f及拉力F四個力的作用，但此題也可以把木箱看做只受三個力作用，即重力G、 圖86拉力F和摩擦力f與支持力N的合力F，設F與N的夾角為，則，再應用矢量三角形求解 圖86甲 圖86乙木箱受力情況如圖86甲所示，已知G的大小和方向，F(xiàn)的方向，顯然，要使封閉的矢量三角形中F值最小，只有由G的端點作F的作用線的垂線時，F(xiàn)值最小，如圖86乙所示，此時F的最小值為Fmin=Gsin()其中，所以最小的拉力F與水平方向的夾角為.例7 如圖87所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度從軸上的點射入圖中第一象限所示的區(qū)域，為了使該質(zhì)點能從軸上的b點以垂直于Ox軸的速度射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于平面、磁感應強度為B的勻強磁場.若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑.重力忽略不計. 圖87解析 當帶電質(zhì)點以垂直于磁場方向的速度進入磁場，在磁場中將做勻速圓周運動，由此要從點進入從b點射出其圓軌道為圓弧，因而可用作圖法求解.過點作平行Ox軸的直線，過b作平行Oy的直線，兩直線相交于c點，如圖87甲所示，可見只要能保證帶電質(zhì)點的圓軌道處在勻強磁場中，即可使帶電質(zhì)點從b點射出，由此可知，磁場區(qū)域有一最小值，其最小半徑為圓形軌道兩個端點連線的一半，即： 圖87甲由可得粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑為所加磁場的最小半徑為例8 圖88中AB表示一橫放的平面鏡，P1P2是水平放置的米尺（有刻度的一面朝著平面鏡），MN是屏，三者互相平行，屏MN上的ab表示一條直縫（即a、b之間是透光的）.某 圖88人眼睛緊貼米尺上的小孔S（其位置見圖），可通過平面鏡看到米尺上的一部分刻度.試在本題的圖上用三角板作圖求出可看到的部分，并在P1P2上把這部分涂以標志 .解析 根據(jù)物像位置鏡面對稱可知：人眼通過平面鏡看到的米尺刻度范圍，好像人眼在平面鏡中的像直接去看刻度范圍，不過要受到擋板MN的像MN的阻擋，所以先將眼睛在平面 圖88甲鏡中成像點S作出，再作出擋板MN在平面鏡中的像MN，如圖88甲，其中是擋板上的縫在平面鏡中的像，連接并延長交AB、P1P2于、兩點，再作和的連線交AB于E點，并延長后交P1P2于F點，則即為人眼通過平面鏡和擋板后能看到的刻度范圍.例9 光線透過空氣中的平行平面厚玻璃板，問下圖99所示四種情形中哪一種是正確的？解析 根據(jù)光的折射定律，光由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)時，光線要向著法線的方向偏析，相反時，向遠離法線的方向偏折，且在傳播中光路是可逆的.由上分析可知，（2）圖是正確的. ir ir圖89 例10 某人通過焦距為10cm，直徑為4.0cm的薄凸透鏡觀看方格紙，每個方格的邊長為0.3cm. 他使透鏡的主軸與方格紙垂直AB，透鏡與紙面相距10cm，眼睛位于透鏡主軸上離透鏡5.0cm處. 問他至多能看到同一行上幾個完整的方可格？ 圖810解析 可以用光路的可逆性來做，若在S點放一點光源，則成像于S點，能照亮方格紙上一定面積，其直徑為，如圖810所示，根據(jù)光路的可逆性，來自面積上的方格的光經(jīng)透鏡折射后都能進入人眼，即能被人看到，由可得，由相似三角形對應邊成比例得，所以，即最多能看到同一行上26個完整的方格.例11 凸透鏡L1與凹透鏡L2同軸放置，L1左側(cè)媒質(zhì)的折射率，L2右側(cè)媒質(zhì)的折射率也是，兩透鏡之間的價質(zhì)折射率為0，且0.F1是L1的物方焦點，F(xiàn)2是L2的物方焦點，是L2的像方焦點. 有一物點S位于L1的物方焦平面上，如圖811所示.（1）畫出成像光路圖，求出像點S1的位置.簡述作圖的依據(jù)；（2）若L1的物方焦距F1=20厘米，L2的物方 焦距F2=10厘米，物點S離光軸的距離為2厘米，問像點S1離光軸的距離為多少？解析 放于焦平面上的點光源發(fā)出的光經(jīng)凸透鏡折射后平行于副光軸，平行于副光軸的平行光經(jīng)凹透鏡發(fā)散后，反向延長線將交一凹透鏡的副焦點，光路圖如圖811甲所示.（1）作法：過S作過光心O點的光線，傳播方向不改變. 過O點作平行于SO的輔助線及過F2作垂直于主軸的直線（焦平面），兩線相交于S1（副焦點）.平行于副光軸的光線，經(jīng)凹透鏡折射后，折射線的反向延長線將通過S1點，即S1為所求的像點.（2）由圖可知： 可以 即S1離主光軸的距離為1cm.針對訓練1如圖813所示，一個重為G的勻質(zhì)球，放在光滑的斜面上，斜面傾角為，在斜面上有一光滑的斜木板擋住球處于靜止狀態(tài).如果擋板與斜面間的夾角緩慢增大到擋板呈水平狀態(tài)，此過程中擋板對球的彈力N1和斜面對球的彈力N2如何變化？2一重為G的物塊放在傾角為的斜面上，物塊與斜面間的 摩擦因數(shù)為，今在物塊上的作用力為F，F(xiàn)可與斜面成 任意夾角，如圖814所示，求拉動物塊沿斜面上升所需 力F的最小值及對應的角. 圖813 圖814 圖815 圖8163如圖815所示，小環(huán)m1、m2能沿著一輕繩光滑地滑動，繩的兩端固定于直桿AB的兩端，桿與水平線成角度，在此桿上又套一輕小環(huán)，繩穿過輕環(huán)，并使m1、m2在其兩邊，設環(huán)與直桿的接觸是光滑的，當系統(tǒng)平衡時，直桿與輕環(huán)兩邊的繩夾角為，試證：4一條在湖面上以恒定速度行駛的船上，有一與船固定的豎直光滑墻壁.有一個小球沿水平方向射到墻上. 相對于岸，小球的速度大小為，方向與墻的法線成60角，小球自墻反彈時的速度方向正好與小球入射到墻上時的速度方向垂直.問船的速度應滿足什么條件.設小球與墻壁的碰撞是完全彈性的.5F =400N的力拖著小船，使它沿著河中心線運動.現(xiàn)甲、乙兩人在河兩岸共同拖船，已知甲拉力的方向與河中心線的夾角為30，要使兩人共同產(chǎn)生的效果與F單獨作用的效果相同，乙拉力的最小值應為多少？方向如何？6如圖816所示，一儲油圓桶，底面直徑與桶高均為d.當桶內(nèi)無油時，從某點A恰能看到桶底邊緣上的某點B.當桶內(nèi)油的深度等于桶高一半時，在A點沿AB方向看去，看到桶底上的C點，C、B相距d/4.由此可得油的折射率 ；光在油中傳播的速度 m/s.（結(jié)果可用根式表示）7要在一張照片上同時拍攝物體正面和幾個不同側(cè)面的像，可以在物體的后面放兩個直立的大平面鏡AO和BO，使物體和它對兩個平面鏡所成的像都攝入照相機，如圖817.圖中帶箭頭的圓圈P代表一個人的頭部，白色半圓代表人的臉部，此人正面對著照相機的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發(fā)；箭頭表示頭頂上的帽子.圖817甲為俯視圖. 若兩平面鏡的夾角AOB=72，設人頭的中心恰好位于角平分線OC上，且照相機到人的距離遠大于人到平面鏡的距離.（1）試在圖817甲畫出P的所有的像的位置并用空白和斜線分別表示人臉和頭發(fā)，以表明各個像的方位.圖817 圖817甲 圖817乙（2）在圖817乙的方框中畫出照片上得到所有的像（分別用空白和斜線表示人臉和頭發(fā)，用箭頭表示頭頂上的帽子）.8圖818中所示是一潛望鏡殼體的示意圖.MN為光線的入口. 在上方AB處已放置一塊與紙面垂直的平面鏡，它和與紙面垂 直的豎直面之間的夾角為45.眼睛在觀察孔S處觀察，在CD（與垂直面的夾角也是45）處放置一塊平面鏡. 今要使觀察到的視場不受CD處的平面鏡的限制，則平面鏡CD至少要有多大的線度才行？要求直接在圖上用作圖法畫出即可，但要說明作圖的步驟. 圖8189圖819中MN是薄透鏡的主軸，S是發(fā)光點，S是它的像點.（1）用作圖法求出薄透鏡的位置，標在圖上；（2）分別作光路圖求出兩個焦點的位置，標在圖上. 再標明透鏡的類別.10如圖820所示，某人的眼睛在E處通過放大鏡L觀察標尺M，F(xiàn)1和F2為L的焦點.他既能通過L看到M上的一部分刻度，又能直接從鏡外看到一部分刻度值的范圍.在作圖進用、標明你畫的光線，并寫出作圖步驟.11如圖821所示，凸透鏡L的主軸與軸重合，光心O就是坐標原點，凸透鏡的焦距為10厘米.有一平面鏡M放在厘米、的位置，眼睛從平面鏡反射的光中看到光點A的像位于A2處，A2的坐標見圖.（1）求出此發(fā)光點A的位置；（2）寫出用作圖法確定A的位置的步驟并作圖.12一平凸透鏡焦距為，其平面上鍍了銀，現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它2處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上，如圖822所示.（1）用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像， 并標明該像是虛、是實；（2）用計算法求出此像的位置和大小.13焦距均為的兩個凸透鏡L1、L2與兩個平面鏡M1、M2放置在如圖823所示的位置.兩透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過兩平面鏡的中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點光源O. （1）畫出由光源向右的一條光線OA，在此光學系統(tǒng)中的光路；（2）分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置（O點除外）？形成光源O的能看到的像，哪些是實像？哪些是虛像？14已知兩透鏡組合系統(tǒng)如圖824所示，物經(jīng)整個系統(tǒng)成像，像的位置大小如圖所示.試用作圖法求物經(jīng)L1所成的像的位置與大小，作出L1的焦點及系統(tǒng)的焦點位置. 說明L1和L2是什么透鏡？ 圖82415有兩個焦距分別為1和2的凸透鏡，如果把這兩個透鏡做適當?shù)呐渲?，則可使一垂直于光軸的小物體在原位置成一等大、倒立的像，如圖825所示，試求出滿足上述要求的配置方案中各透鏡的位置. 圖825參考答案1N1先減小后增大，N2減小 23證明過程略 4船的行駛速度必須有沿y方向的分速度，亦即具有沿墻壁平面法線方向的分速度，其大小為，而沿x方向的分速度不受限制，可取包括零在內(nèi)的任意值。5200N，方向與河中心線夾角60 678先作出MN在AB鏡中的虛像MN；再作出眼睛在CD處鏡中的虛像S；將S與MN相連，與CD面交于CD處。 CD即為所求的結(jié)果。 910（1）作放大鏡L端點和E點的連線并交M于A點。（2）過L中心點作LE線的平行線OO。（3）過F1作垂直于主光軸的直線（焦平面）交OO直線于B點。（4）連接BL交M于C點。（5）作A、B、C三點關于主光軸對稱點，可通過作圖得A、B、C。可見AA以外的刻度可直接看到，C