第12講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教案.doc

第12講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用()教案【2013年高考會這樣考】1考查利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)實際問題2考查利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的分布情況、兩曲線交點個數(shù)等3考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、解決有關(guān)不等式問題【復(fù)習(xí)目標(biāo)】本節(jié)復(fù)習(xí)時，要深入體會導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合思想，如通過從導(dǎo)函數(shù)圖象特征解讀函數(shù)圖象的特征，或求兩曲線交點個數(shù)等；等價轉(zhuǎn)化思想，如將證明的不等式問題等價轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)問題的最值等基礎(chǔ)梳理1利用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題(1)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)并確定定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0；(3)判斷使f(x)0的點是極大值點還是極小值點；(4)確定函數(shù)的最大值或最小值，還原到實際問題中作答2研究函數(shù)圖象的交點、方程的根、函數(shù)的零點，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題思路的，因此使用的知識還是函數(shù)的單調(diào)性和極值的知識兩個注意(1)注意實際問題中函數(shù)定義域的確定(2)在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較兩個轉(zhuǎn)化(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用(2)將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A13萬件 B11萬件 C9萬件 D7萬件解析因為yx281，所以當(dāng)x9時，y0；當(dāng)x(0,9)時，y0，所以函數(shù)yx381x234在(9，)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增，所以x9是函數(shù)的極大值點，又因為函數(shù)在(0，)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x9處取得最大值答案C2(2012青島質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)x33xa有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(2,2) B2,2C(，1) D(1，)解析由于函數(shù)f(x)是連續(xù)的，故只需要兩個極值異號即可f(x)3x23，令3x230，則x1，只需f(1)f(1)0.即(a2)(a2)0，故a(2,2)答案A3從邊長為10 cm16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為()A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm3解析設(shè)盒子容積為y cm3，盒子的高為x cm.則y(102x)(162x)x(0x5)4x352x2160 x，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6122144 (cm)3.答案C4若f(x)，0abe，則有()Af(a)f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)f(b) Df(a)f(b)1解析f(x)ln x(1ln x)在(0，e)上f(x)0.f(x)在(0，e)上是增函數(shù)答案C5若f(x)x33ax23(a2)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為_解析f(x)3x26ax3(a2)，由題意知f(x)0有兩個不等的實根，故(6a)2433(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.答案(，1)(2，)考向一運用導(dǎo)數(shù)解決恒成立及求參數(shù)范圍問題【例1】(2011鄭州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若a0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值；(3)若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范圍審題視點 (1)求導(dǎo)數(shù)f(x)判斷f(x)0或f(x)0確定單調(diào)性(2)根據(jù)單調(diào)性求f(x)在1，e上的最小值列方程求解(3)f(x)x2axln xx3求xln xx3的最大值解(1)由題意f(x)的定義域為(0，)，且f(x).a0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)由(1)可知，f(x).若a1，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時f(x)在1，e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時f(x)在1，e上為減函數(shù)，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，當(dāng)1xa時，f(x)0，f(x)在(1，a)上為減函數(shù)；當(dāng)axe時，f(x)0，f(x)在(a，e)上為增函數(shù)，f(x)minf(a)ln(a)1，a.綜上所述，a.(3)f(x)x2，ln xx2.又x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)時，h(x)0，h(x)在(1，)上是減函數(shù)h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是減函數(shù)g(x)g(1)1，當(dāng)a1時，f(x)x2在(1，)上恒成立【方法總結(jié)】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，直接求導(dǎo)，然后解不等式即可，注意函數(shù)的定義域；(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的最小值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)x2exxex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x2,2時，不等式f(x)m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域為( ，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若x0，則1ex0，所以f(x)0；若x0，則1ex0，所以f(x)0；f(x)在(，)上為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上單調(diào)遞減f(x)minf(2)2e2，m2e2時，不等式f(x)m恒成立考向二運用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題【例2】設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln 21且x0時，exx22ax1.審題視點 第(2)問構(gòu)造函數(shù)h(x)exx22ax1，利用函數(shù)的單調(diào)性解決(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln 2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2，單調(diào)遞增區(qū)間是ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)aln 21時，g(x)的最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0，其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)x2ln x.(1)求函數(shù)f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求證：當(dāng)x(1，)時，函數(shù)f(x)的圖象在g(x)x3x2的下方(1)解f(x)x2ln x，f(x)2x.x1時，f(x)0，故f(x)在1，e上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)證明令F(x)f(x)g(x)x2x3ln x，則F(x)x2x2.x1，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在(1，)上是減函數(shù)F(x)F(1)0，即f(x)g(x)當(dāng)x(1，)時，函數(shù)f(x)的圖象總在g(x)的圖象的下方考向三運用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題【例3】現(xiàn)需要對泰山景點進(jìn)一步改造升級，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：yxax2ln，t，)，其中t為大于的常數(shù)當(dāng)x10時，y9.2.(1)求yf(x)的解析式和投入x的取值范圍；(2)求旅游增加值y取得最大值時對應(yīng)的x值審題視點 第(1)問把x10，y9.2代入函數(shù)式，即可求出a的值，得到y(tǒng)f(x)；第(2)問求f(x)的最大值，需要先討論yf(x)的單調(diào)性，確定取得最大值的區(qū)間和對應(yīng)的x值解(1)當(dāng)x10時，y9.2，即10a102ln 19.2，解得a.f(x)xln.t且t，6x，即投入x的取值范圍是.(2)對f(x)求導(dǎo)，得f(x).令f(x)0，得x50或x1(舍去)當(dāng)x(6,50)時，f(x)0，且f(x)在(6,50上連續(xù)，因此，f(x)在(6,50上是增函數(shù)；當(dāng)x(50，)時，f(x)0，且f(x)在50，)上連續(xù)，因此，f(x)在50，)上是減函數(shù)x50為極大值點當(dāng)50，即t時，投入50萬元改造時取得最大增加值；當(dāng)650，即t時，投入萬元改造時取得最大增加值【方法總結(jié)】函數(shù)是具體的，其單調(diào)性和最值都很明確，定義域是變化的，這類問題分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是看最值點是否在定義域內(nèi)【訓(xùn)練3】 (2011蘇北四市二調(diào))據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為k(k0)現(xiàn)已知相距18 km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和設(shè)ACx km.(1)試將y表示為x的函數(shù)；(2)若a1，x6時，y取得最小值，試求b的值解(1)由題意知點C受A污染源污染指數(shù)為，點C受B污染源污染指數(shù)為，其中k為比例系數(shù)，且k0.從而點C處的污染指數(shù)y(0x18)(2)因為a1，所以y，yk，令y0，得x，又此時x6，解得b8，經(jīng)驗證符合題意，所以，污染源B的污染強(qiáng)度b的值為8.難點突破8有關(guān)導(dǎo)數(shù)熱點問題的求解策略 導(dǎo)數(shù)的工具性使得導(dǎo)數(shù)在高考中的應(yīng)用有得天獨厚的優(yōu)勢，特別是在研究函數(shù)的性質(zhì)、相切問題以及實際優(yōu)化的問題方面近年，各地高考都從不同的方面對導(dǎo)數(shù)內(nèi)容進(jìn)行考查，既有考查導(dǎo)數(shù)的小題，又有考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的大題這些問題構(gòu)成了高考試卷中一道亮麗的風(fēng)景線一、研究函數(shù)性質(zhì)的導(dǎo)數(shù)問題導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的有力工具，常常用來解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題【示例】 (2011陜西)設(shè)f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g的大小關(guān)系；(3)求a的取值范圍，使得g(a)g(x)對任意x0成立二、研究曲線的切線的導(dǎo)數(shù)問題導(dǎo)數(shù)的幾何意義是我們解決有關(guān)直線與曲線相切的問題以及切線的斜率問題的有力武器，它使得復(fù)雜的圖象關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)問題、因而常常與導(dǎo)函數(shù)在切點的函數(shù)值一起作為列出方程的重要依據(jù)【示例】 (2011遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)xax2bln x，曲線yf(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.(1)求a、b的值；(2)證明：f(x)2x2.三、解決實際問題的導(dǎo)數(shù)問題對于實際問題中的一些優(yōu)化問題，如成本最低、利潤最大、用料最省等問題，常常需要將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，然后化為函數(shù)的