隨機(jī)信號(hào)分析.doc

_Harbin Institute of Technology實(shí)驗(yàn)報(bào)告課程名稱： 隨機(jī)信號(hào)分析 院 系： 電信學(xué)院 班 級(jí)： 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 鄭 薇 實(shí)驗(yàn)時(shí)間： 2014年 11月 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 實(shí)驗(yàn)一 各種分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)?zāi)康脑诤芏嘞到y(tǒng)仿真的過程中，需要產(chǎn)生不同分布的隨機(jī)變量。利用計(jì)算機(jī)可以很方便地產(chǎn)生不同分布的隨機(jī)變量，各種分布的隨機(jī)變量的基礎(chǔ)是均勻分布的隨機(jī)變量。有了均勻分布的隨機(jī)變量，就可以用函數(shù)變換等方法得到其他分布的隨機(jī)變量。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)、高斯分布的隨機(jī)數(shù)和其它分布的隨機(jī)數(shù)。實(shí)驗(yàn)原理 均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生原理產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的一種實(shí)用方法是同余法，它利用同余運(yùn)算遞推產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)序列。最簡(jiǎn)單的方法是加同余法為了保證產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)能在0,1內(nèi)均勻分布，需要M為正整數(shù)，此外常數(shù)c和初值y0亦為正整數(shù)。加同余法雖然簡(jiǎn)單，但產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)效果不好。另一種同余法為乘同余法，它需要兩次乘法才能產(chǎn)生一個(gè)0,1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)式中，a為正整數(shù)。用加法和乘法完成遞推運(yùn)算的稱為混合同余法，即用混合同余法產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)具有較好的特性，一些程序庫中都有成熟的程序供選擇。常用的計(jì)算語言如Basic、C和Matlab都有產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)的函數(shù)可以調(diào)用，只是用各種編程語言對(duì)應(yīng)的函數(shù)產(chǎn)生的均勻分布隨機(jī)數(shù)的范圍不同，有的函數(shù)可能還需要提供種子或初始化。Matlab提供的函數(shù)rand()可以產(chǎn)生一個(gè)在0,1區(qū)間分布的隨機(jī)數(shù)，rand(2,4)則可以產(chǎn)生一個(gè)在0,1區(qū)間分布的隨機(jī)數(shù)矩陣，矩陣為2行4列。Matlab提供的另一個(gè)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)是random(unif,a,b,N,M)，unif 表示均勻分布，a和b是均勻分布區(qū)間的上下界，N和M分別是矩陣的行和列。 隨機(jī)變量的仿真根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)變換的原理，如果能將兩個(gè)分布之間的函數(shù)關(guān)系用顯式表達(dá)，那么就可以利用一種分布的隨機(jī)變量通過變換得到另一種分布的隨機(jī)變量。若X是分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)變量，且分布函數(shù)F(x)為嚴(yán)格單調(diào)升函數(shù)，令Y=F(X)，則Y必為在0,1上均勻分布的隨機(jī)變量。反之，若Y是在0,1上均勻分布的隨機(jī)變量，那么即是分布函數(shù)為FX(x)的隨機(jī)變量。式中為的反函數(shù)。這樣，欲求某個(gè)分布的隨機(jī)變量，先產(chǎn)生在0,1區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)數(shù)，再經(jīng)上式變換，便可求得所需分布的隨機(jī)數(shù)。 高斯分布隨機(jī)數(shù)的仿真廣泛應(yīng)用的有兩種產(chǎn)生高斯隨機(jī)數(shù)的方法，一種是變換法，一種是近似法。如果X1,X2是兩個(gè)互相獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)，那么下式給出的Y1,Y2便是數(shù)學(xué)期望為m，方差為s2的高斯分布隨機(jī)數(shù)，且互相獨(dú)立，這就是變換法。另外一種產(chǎn)生高斯隨機(jī)數(shù)的方法是近似法。在學(xué)習(xí)中心極限定理時(shí)，曾提到n個(gè)在0,1區(qū)間上均勻分布的互相獨(dú)立隨機(jī)變量Xi (i=1,2,n)，當(dāng)n足夠大時(shí)，其和的分布接近高斯分布。當(dāng)然，只要n不是無窮大，這個(gè)高斯分布是近似的。由于近似法避免了開方和三角函數(shù)運(yùn)算，計(jì)算量大大降低。當(dāng)精度要求不太高時(shí)，近似法還是具有很大應(yīng)用價(jià)值的。各種分布隨機(jī)數(shù)的仿真有了高斯隨機(jī)變量的仿真方法，就可以構(gòu)成與高斯變量有關(guān)的其他分布隨機(jī)變量，如瑞利分布、指數(shù)分布和c2分布隨機(jī)變量。實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果分析1. 產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù) for n=1:1024 y=rand(); x(n)=y*(6-3)+3; end plot(x); 2.產(chǎn)生高斯分布的隨機(jī)數(shù) x=random(Normal,0,2,1,1024)； 3.產(chǎn)生瑞利分布和分布 N=30000; g=-6:0.1:6; G1=random(Normal,0,1,1,N); G2=random(Normal,0,1,1,N); G3=random(Normal,0,1,1,N); G4=random(Normal,0,1,1,N); R=sqrt(G1.*G1+G2.*G2); X2=G1.*G1+G2.*G2+G3.*G3+G4.*G4;實(shí)驗(yàn)結(jié)論使用Matlab產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)、高斯分布的隨機(jī)數(shù)、瑞利分布和分布的隨機(jī)數(shù)。 實(shí)驗(yàn)二 隨機(jī)變量檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)?zāi)康碾S機(jī)數(shù)產(chǎn)生之后，必須對(duì)它的統(tǒng)計(jì)特性做嚴(yán)格的檢驗(yàn)。一般來講，統(tǒng)計(jì)特性的檢驗(yàn)包括參數(shù)檢驗(yàn)、均勻性檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)等。事實(shí)上，我們?nèi)绻诙A矩范圍內(nèi)討論隨機(jī)信號(hào)，那么參數(shù)檢驗(yàn)只對(duì)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)一、二階矩進(jìn)行檢驗(yàn)。我們可以把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列作為一個(gè)隨機(jī)變量，也可以看成隨機(jī)過程中的一個(gè)樣本函數(shù)。不論是隨機(jī)變量還是隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，都會(huì)遇到求其數(shù)字特征的情況，有時(shí)需要計(jì)算隨機(jī)變量的概率密度直方圖等。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 對(duì)實(shí)驗(yàn)一產(chǎn)生的各種分布的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行均值和方差的檢驗(yàn)。2. 對(duì)實(shí)驗(yàn)一產(chǎn)生的各種分布的隨機(jī)數(shù)概率分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示實(shí)際統(tǒng)計(jì)的概率密度直方圖。實(shí)驗(yàn)原理1. 均值的計(jì)算在實(shí)際計(jì)算時(shí)，如果平穩(wěn)隨機(jī)序列滿足各態(tài)歷經(jīng)性，則統(tǒng)計(jì)均值可用時(shí)間均值代替。這樣，在計(jì)算統(tǒng)計(jì)均值時(shí)，并不需要大量樣本函數(shù)的集合，只需對(duì)一個(gè)樣本函數(shù)求時(shí)間平均即可。甚至有時(shí)也不需要計(jì)算時(shí)的極限，況且也不可能。通常的做法是取一個(gè)有限的、計(jì)算系統(tǒng)能夠承受的N求時(shí)間均值和時(shí)間方差。根據(jù)強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度或精度的不同，可選擇不同的算法。設(shè)隨機(jī)數(shù)序列，一種計(jì)算均值的方法是直接計(jì)算下式式中，xn為隨機(jī)數(shù)序列中的第n個(gè)隨機(jī)數(shù)。另一種方法是利用遞推算法，第n次迭代的均值也亦即前n個(gè)隨機(jī)數(shù)的均值為迭代結(jié)束后，便得到隨機(jī)數(shù)序列的均值遞推算法的優(yōu)點(diǎn)是可以實(shí)時(shí)計(jì)算均值，這種方法常用在實(shí)時(shí)獲取數(shù)據(jù)的場(chǎng)合。當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，為防止計(jì)算誤差的積累，也可采用式中，m1是取一小部分隨機(jī)數(shù)計(jì)算的均值。方差的計(jì)算計(jì)算方差也分為直接法和遞推法。仿照均值的做法方差的遞推算法需要同時(shí)遞推均值和方差迭代結(jié)束后，得到隨機(jī)數(shù)序列的方差為其它矩函數(shù)也可用類似的方法得到。統(tǒng)計(jì)隨機(jī)數(shù)的概率密度直方圖假定被統(tǒng)計(jì)的序列的最大值和最小值分別為a和b。將區(qū)間等分M（M應(yīng)與被統(tǒng)計(jì)的序列的個(gè)數(shù)N相適應(yīng)，否則統(tǒng)計(jì)效果不好。）份后的區(qū)間為， , ， , 。用，表示序列的值落在區(qū)間里的個(gè)數(shù)，統(tǒng)計(jì)序列的值在各個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)，則就粗略地反映了隨機(jī)序列的概率密度的情況。用圖形方式顯示出來就是隨機(jī)數(shù)的概率密度直方圖。實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果分析1. 均值和方差的檢驗(yàn) (1)均勻分布隨機(jī)數(shù) x=random(unif,3,6,1,1024) m=mean(x)m = 4.5064 d=var(x)d = 0.7523(2) 產(chǎn)生高斯分布,瑞利分布和分布的均值與方差 N=30000;g=-6:0.1:6;G1=random(Normal,0,1,1,N);G2=random(Normal,0,1,1,N);G3=random(Normal,0,1,1,N);G4=random(Normal,0,1,1,N);R=sqrt(G1.*G1+G2.*G2);X2=G1.*G1+G2.*G2+G3.*G3+G4.*G4; m1=mean(G1)m1 = 0.0055 d1=var(G1)d1 = 1.0101 m2=mean(R)m2 = 1.2576 d2=var(R)d2 = 0.4320 m3=mean(X2)m3 = 4.0194 d3=var(X2)d3 = 8.16842. 概率密度直方圖（1） 均勻分布隨機(jī)數(shù) x=random(unif,3,6,1,1024); subplot;hist(x,2:0.01:7);（2） 高斯分布,瑞利分布和分布 N=30000; g=-6:0.1:6; G1=random(Normal,0,1,1,N); G2=random(Normal,0,1,1,N); G3=random(Normal,0,1,1,N); G4=random(Normal,0,1,1,N); R=sqrt(G1.*G1+G2.*G2); X2=G1.*G1+G2.*G2+G3.*G3+G4.*G4; subplot(311);hist(G1,g); subplot(312);hist(R,0:0.05:6); subplot(313);hist(X2,0:0.02:30);實(shí)驗(yàn)結(jié)論1. 對(duì)實(shí)驗(yàn)一產(chǎn)生各種分布的均值和方差驗(yàn)證，結(jié)果如下（1）均勻分布m = 4.5064 d = 0.7523（2） 高斯分布,瑞利分布和分布的均值與方差m1 = 0.0055 d1 =1.0101m2 =1.2576 d2 = 0.4320m3 =4.0194 d3 =8.16842.概率密度直方圖如圖所示實(shí)驗(yàn)三 中心極限定理的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康?利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)。對(duì)相互獨(dú)立的均勻分布的隨機(jī)變量做和，可以很直觀看到均勻分布的隨機(jī)變量的和，隨著做和次數(shù)的增加分布情況的變化，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)中心極限定理的進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容產(chǎn)生多組0,1區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列，各序列的對(duì)應(yīng)元素做和，夠成的和序列再進(jìn)行隨機(jī)數(shù)的概率密度直方圖的統(tǒng)計(jì)，并作圖顯示。實(shí)驗(yàn)原理如果n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的分布是相同的，并且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，當(dāng)n無窮大時(shí)，它們之和的分布趨近于高斯分布。這就是中心極限定理中的一個(gè)定理。我們以均勻分布為例，來解釋這個(gè)定理。若n個(gè)隨機(jī)變量Xi (i=1,2,n)都為0,1區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)變量，且互相獨(dú)立，當(dāng)n足夠大時(shí)，其和的分布接近高斯分布。實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果分析 x1=random(unif,0,1,1,1024); x2=random(unif,0,1,1,1024); x3=random(unif,0,1,1,1024); x4=random(unif,0,1,1,1024); x5=random(unif,0,1,1,1024); x6=random(unif,0,1,1,1024); x7=random(unif,0,1,1,1024); x8=random(unif,0,1,1,1024); x=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8; subplot;hist(x,0:0.05:8);實(shí)驗(yàn)結(jié)論若n個(gè)隨機(jī)變量Xi (i=1,2,n)都為0,1區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)變量，且互相獨(dú)立，當(dāng)n足夠大時(shí)，其和的分布接近高斯分布。實(shí)驗(yàn)四 自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算實(shí)驗(yàn)?zāi)康脑陔S機(jī)信號(hào)理論中，自相關(guān)函數(shù)是非常重要的概念。在實(shí)際系統(tǒng)仿真中也會(huì)經(jīng)常計(jì)算自相關(guān)函數(shù)。通過本試驗(yàn)學(xué)生可以親自動(dòng)手計(jì)算自相關(guān)函數(shù)，加深對(duì)概念的理解，并增強(qiáng)實(shí)際動(dòng)手能力。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用一個(gè)數(shù)學(xué)期望為零和非零，方差為某值的高斯分布隨機(jī)數(shù)，作為樣本序列求自相關(guān)函數(shù)的估值，并用圖形顯示。實(shí)驗(yàn)原理在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列看成隨機(jī)過程中的一個(gè)樣本函數(shù)。如果平穩(wěn)隨機(jī)序列滿足各態(tài)歷經(jīng)性，則統(tǒng)計(jì)自相關(guān)序列可用時(shí)間自相關(guān)序列代替。當(dāng)數(shù)據(jù)的樣本數(shù)有限時(shí)，也只能用有限個(gè)數(shù)據(jù)來估計(jì)時(shí)間自相關(guān)序列，統(tǒng)計(jì)自相關(guān)序列的估值。若各態(tài)歷經(jīng)序列X(n)的一個(gè)樣本有N個(gè)數(shù)據(jù)，由于實(shí)序列自相關(guān)序列是對(duì)稱的，自相關(guān)函數(shù)的估值為實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果分析 N=1024; xn1=random(norm,0,1,1,N); xn2=random(norm,1,1,1,N); Xk1=fft(xn1,2*N); Xk2=fft(xn2,2*N); Rx1=ifft(abs(Xk1).2)/N); Rx2=ifft(abs(Xk2).2)/N); m=-N:N-1; axis(-N N-1 -0.5 1.5); subplot(211); plot(m,fftshift(Rx1); subplot(212); plot(m,fftshift(Rx2); 實(shí)驗(yàn)結(jié)論用一個(gè)數(shù)學(xué)期望為零和非零，方差為某值的高斯分布隨機(jī)數(shù)，作為樣本序列求自相關(guān)函數(shù)的估值如上圖所示。 實(shí)驗(yàn)五 功率譜密度實(shí)驗(yàn)?zāi)康脑陔S機(jī)信號(hào)理論中，功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)一樣都是非常重要的概念。在實(shí)際系統(tǒng)仿真中也會(huì)經(jīng)常計(jì)算。通過本試驗(yàn)學(xué)生可以親自動(dòng)手，加深對(duì)概念的理解，并增強(qiáng)實(shí)際動(dòng)手能力。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用實(shí)驗(yàn)四計(jì)算出的自相關(guān)函數(shù)的估值，作為樣本序列求功率譜密度的估值，并用圖形顯示。實(shí)驗(yàn)原理一般把平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜定義為自相關(guān)序列的傅里葉變換。如果自相關(guān)序列是周期序列，可仿照隨機(jī)過程的情況，引人適當(dāng)?shù)膁函數(shù)。平穩(wěn)序列X(n)的功率譜與自相關(guān)序列的關(guān)系為與實(shí)平穩(wěn)過程一樣，實(shí)平穩(wěn)序列的功率譜也是非負(fù)偶函數(shù)，即可以證明，功率譜還可表示為當(dāng)X(n)為各態(tài)歷經(jīng)序列時(shí)，可去掉上式中的統(tǒng)計(jì)均值計(jì)算，將隨機(jī)序列X(n)用它的一個(gè)樣本序列x(n)代替。在實(shí)際應(yīng)用中，由于一個(gè)樣本序列的可用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)N有限，功率譜密度也只能是估計(jì)值式中，X(w)是x(n)的傅里葉變換。這是比較簡(jiǎn)單的一種估計(jì)方法，這種功率譜密度的估計(jì)方法稱為周期圖方法。如果直接利用數(shù)據(jù)樣本做離散傅里葉變換，可得到X(w)的離散值。由于這種方法可借助FFT算法實(shí)現(xiàn)，所以得到了廣泛的應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果分析1.高斯分布樣本序列求功率譜密度 N=1024; fs=1000; xn1=random(norm,0,1,1,N); xn2=random(norm,1,1,1,N); Sx1=abs(fft(xn1).2/N; Sx2=abs(fft(xn2).2/N; f=(-N/4+1:N/4)*fs/N; subplot(211);plot(f,10*log10( Sx1(1:N/2); subplot(212);plot(f,10*log10( Sx2(1:N/2);2. f1=-50HZ;f2=60HZ. N=1024; fs=1000; t=(-N/2+1:N/2)/fs; fai=random(unif,0,1,1,2)*2*pi; xn=cos(2*pi*-50*t+fai(1)+3*cos(1*pi*60*t+fai(2)+randn(1,N); Sx=abs(fft(xn).2/N; f=(-N/4+1:N/4)*fs/N; plot(f,10*log10( Sx(1:N/2);實(shí)驗(yàn)結(jié)論實(shí)驗(yàn)六 隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過線性系統(tǒng)前后信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)康南到y(tǒng)仿真是信號(hào)仿真處理的一個(gè)重要部分，通過該實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生掌握系統(tǒng)仿真的基本概念，并學(xué)會(huì)系統(tǒng)的仿真方法。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容仿真信號(hào)和加性噪聲經(jīng)過各種系統(tǒng)前后的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度并圖示。實(shí)驗(yàn)原理需要先仿真一個(gè)指定系統(tǒng)，再根據(jù)需要仿真輸入的隨機(jī)信號(hào)，然后使這個(gè)隨機(jī)信號(hào)通過指定的系統(tǒng)。通過對(duì)實(shí)際系統(tǒng)建模, 計(jì)算機(jī)可以對(duì)很多系統(tǒng)進(jìn)行仿真。在信號(hào)處理中，一般將線性系統(tǒng)分解為一個(gè)全通放大器（或衰減器）和一個(gè)特定頻率響應(yīng)的濾波器。由于全通放大器可以用一個(gè)常數(shù)代替，因此線性系統(tǒng)的仿真往往只需設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器。濾波器設(shè)計(jì)可采用MATLAB提供的函數(shù)，也可利用相應(yīng)的方法自行設(shè)計(jì)。MATLAB提供了多個(gè)設(shè)計(jì)濾波器的函數(shù)，可以很方便地設(shè)計(jì)低通、帶通、高通、多帶通、帶阻濾波器。實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果分析根據(jù)自己的仿真思路簡(jiǎn)要闡述，重點(diǎn)給出相應(yīng)仿真圖（結(jié)果），并進(jìn)行分析！注：使用例：2.6-4中的隨機(jī)信號(hào)作為輸入信號(hào)：頻率分量可以根據(jù)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)任意選取。將輸入信號(hào)分別通過設(shè)計(jì)的各種系統(tǒng)低通、帶通、高通、多帶通、帶阻濾波器（要求做3種情況，多做可酌情加分?。?. 低通：N=1024;fs=1000;f1=30;f2=200;t=(0:N-1)/fs;fai=random(unif,0,1,1,2)*4*pi; %產(chǎn)生兩個(gè)（0，4pi）的隨機(jī)數(shù)xn=cos(2*pi*f1*t+fai(1)+3*cos(2*pi*f2*t+fai(2)+randn(1,N);Sx=abs(fft(xn).2)/N;h=fir1(50,0.2);H1=fft(h,N);Sxx=Sx.*(abs(H1).2);Rxx=fftshift(ifft(Sxx);w=(1:N)/N;t=(0:N-1)/N*(N/500);subplot(4,1,1);plot(w,10*log10(Sx(1:N);subplot(4,1,2);plot(w,abs(H1(1:N);subplot(4,1,3);plot(w,abs(Sxx(1:N);subplot(4,1,4);plot(t,Rxx);2.帶通：N=1024;fs=1000;f1=30;f2=200;t=(0:N-1)/fs;fai=random(unif,0,1,1,2)*4*pi; %產(chǎn)生兩個(gè)（0，4pi）的隨機(jī)數(shù)xn=cos(2*pi*f1*t+fai(1)+3*cos(2*pi*f2*t+fai(2)+randn(1,N);Sx=abs(fft(xn,2*N).2)/N;h=fir1(101,0.2,0.6);H1=fft(h,2*N);Sxx=Sx.*(abs(H1).2)/(2*N);Rxx=fftshift(ifft(Sxx);w=(1:N)/N;t=(-N:N-1)/N*(N/500);subplot(4,1,1);plot(w,10*log10(Sx(1:N);subplot(4,1,2);plot(w,abs