【強(qiáng)烈推薦】高一數(shù)學(xué)必修四(公式總結(jié)).doc

高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)復(fù)習(xí)指南1 注重基礎(chǔ)和通性通法在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)立足教材，學(xué)好用好教材，深入地鉆研教材，挖掘教材的潛力，注意避免眼高手低，偏重難題，搞題海戰(zhàn)術(shù)，輕視基礎(chǔ)知識和基本方法的不良傾向，當(dāng)然注重基礎(chǔ)和通性通法的同時(shí)，應(yīng)注重一題多解的探索，經(jīng)常利用變式訓(xùn)練和變式引申來提高自己的分析問題、解決問題的能力。2.注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性 平時(shí)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)避免只停留在“懂”上，因?yàn)槁牰瞬灰欢〞?huì)，會(huì)了不一定對，對了不一定美。即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種境界：聽懂會(huì)對美。我們今后要在第五種境界上下功夫，每年的高考結(jié)束，結(jié)果下來都可以發(fā)現(xiàn)我們宿遷市的考生與南方的差距較大，這就是其中的一個(gè)原因。 另外我們的學(xué)生的解題的素養(yǎng)不夠，比如僅僅一點(diǎn)“規(guī)范答題”問題，我們老師也強(qiáng)調(diào)很多遍，但作為學(xué)生的你們又有幾人能夠聽進(jìn)去！希望大家還是能夠做到我經(jīng)常所講的做題的“三觀” ：1. 審題觀 2. 思想方法觀 3. 步驟清晰、層次分明觀3. 注重應(yīng)用意識的培養(yǎng) 注重培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的目的。 4.培養(yǎng)學(xué)習(xí)與反思的整合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為知識并不是簡單的由教師或者其他人傳授給學(xué)生的，而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識、經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)地加以建構(gòu)。學(xué)習(xí)是一個(gè)創(chuàng)造的過程，一個(gè)批判、選擇、和存疑的過程，一個(gè)充滿想象、探索和體驗(yàn)的過程。你不想學(xué)，老師強(qiáng)行的逼迫是不容易的或者說是作用不大，俗話說“強(qiáng)扭的瓜不甜”嘛！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要對概念、結(jié)論和技能進(jìn)行記憶，積累和模仿，而且還要?jiǎng)邮謱?shí)踐，自主探索，并且在獲得知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思和修正。（這也就是我們經(jīng)常將讓大家一定要好好預(yù)習(xí)，養(yǎng)成自學(xué)的好習(xí)慣。）記得有一位中科院的教授曾經(jīng)給“科學(xué)”下了一個(gè)定義：科學(xué)就是以懷疑和接納新知識作為進(jìn)步的標(biāo)準(zhǔn)的一門學(xué)問，仔細(xì)想來確實(shí)很有道理！所以我們在平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意反思，只有這樣才能使內(nèi)容得到鞏固，知識的得到拓展，能力得到提高，思維得到優(yōu)化，創(chuàng)新能力得到真正的發(fā)展，希望大能夠讓數(shù)學(xué)反思成為我們的自然的習(xí)慣！5.注重平時(shí)的聽課效率聽課效率高不僅可以讓自己深刻的理解知識，而且事半功倍，可以省好多的時(shí)間。而有些同學(xué)則認(rèn)為上課時(shí)聽不到什么，索性就不聽，抓緊課堂上的每一點(diǎn)時(shí)間做題，多做幾道題心里就踏實(shí)。這種認(rèn)識是不科學(xué)的，想象如果上課沒有用的話，國家還開辦學(xué)校干嘛？只要印刷課本就足夠了，學(xué)生買了書就可以自己學(xué)習(xí)到時(shí)候參加考試就行了。想想好多東西還是在課堂上聆聽的，聽聽老師對問題的分析和解題技巧，老師是如何想到的，與自己預(yù)習(xí)時(shí)的想法比較。課堂上記下比較重要的東西，更重要的是跟著老師的思路，注重老師對題目的分析過程。課后寧愿花時(shí)間去整理筆記，因?yàn)檎砉P記實(shí)際上是一種知識的整合和再創(chuàng)造！回憶課堂上老師是怎樣講的，自己在整理時(shí)有比較好的想法，就記下來，抓住自己思維的火花，因?yàn)檩^為深刻的思維火花往往是稍縱即逝的。在這里我再一次強(qiáng)調(diào)聽課要做到“五得”u 聽得懂 v 想得通 w 記得住 x 說得出 y 用得上6. 注重思想方法的學(xué)習(xí) 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，它是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，也是歷年來高考數(shù)學(xué)命題的特點(diǎn)之一。不少學(xué)者認(rèn)為：“傳授知識”是數(shù)學(xué)的一種境界，加上“能力培養(yǎng)”是稍高的境界，再加上“方法滲透”是較高的境界，而再加上“提高修養(yǎng)（指數(shù)學(xué)文化和非智力引力的介入）”則是最高境界。作為學(xué)生一定要深刻理解數(shù)學(xué)的思想方法，它是數(shù)學(xué)的精髓，只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)的知識和技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，才能形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。即使在以后我們走上社會(huì)，在工作崗位上我們的這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會(huì)內(nèi)化為自身的較深的修養(yǎng)，從而使得自己的氣質(zhì)得以升華，它對于我們今后的做人和處事有很大的指導(dǎo)意義，再加上我們的人文素養(yǎng)就可以造就自己哲學(xué)修養(yǎng)。真心希望我的這些忠告能夠?qū)δ憬窈蟮膶W(xué)習(xí)有所幫助，果真如此，也就聊以欣慰了！高中數(shù)學(xué)必修二復(fù)習(xí)基本概念 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。 公理3： 過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論1: 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。 公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。 空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面 1、按是否共面可分為兩類： （1）共面： 平行、 相交 （2）異面： 異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。 異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。 兩異面直線所成的角：范圍為 ( 0，90 ) esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條) esp.空間向量法 2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類： （1）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線；（2）沒有公共點(diǎn) 平行或異面 直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。 esp.空間向量法(找平面的法向量) 規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0角 由此得直線和平面所成角的取值范圍為 0，90 最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角 三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直 esp.直線和平面垂直 直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。 直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。 直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 直線和平面平行沒有公共點(diǎn) 直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。 直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。 直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。 兩個(gè)平面的位置關(guān)系： （1）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn) （2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系： 兩個(gè)平面平行-沒有公共點(diǎn)； 兩個(gè)平面相交-有一條公共直線。 a、平行 兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。 b、相交 二面角 （1） 半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。 （2） 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 0，180 （3） 二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。 （4） 二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 （5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。 （6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 兩平面垂直 兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。記為 兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 Attention： 二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系） 多面體 棱柱 棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。 棱柱的性質(zhì) （1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形 （2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形 （3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對角面）是平行四邊形 棱錐 棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐 棱錐的性質(zhì)： （1） 側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形 （2） 平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方 正棱錐 正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 正棱錐的性質(zhì)： （1）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。 （3） 多個(gè)特殊的直角三角形 esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。 b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。 直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）垂直直線系垂直于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（三）過定點(diǎn)的直線系 斜率為k的直線系：，直線過定點(diǎn)； 過兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（5）兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（6）兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合（7）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 （8）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（9）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；（2）過圓外一點(diǎn)的切線：k不存在，驗(yàn)證是否成立k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 圓與圓的位置關(guān)系通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)數(shù)學(xué)必修4公式總結(jié)基本三角函數(shù)、 u 終邊落在x軸上的角的集合： v 終邊落在y軸上的角的集合：w 終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合：z 基本三角函數(shù)符號記憶：“一全，二正弦，三切，四余弦” 或者“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”x 倒數(shù)關(guān)系： 正六邊形對角線上對應(yīng)的三角函數(shù)之積為1三個(gè)倒立三角形上底邊對應(yīng)三角函數(shù)的平方何等與對邊對應(yīng)的三角函數(shù)的平方平方關(guān)系： 乘積關(guān)系： ， 頂點(diǎn)的三角函數(shù)等于相鄰的點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)乘積u 誘導(dǎo)公式u 終邊相同的角的三角函數(shù)值相等 v w x y z 上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限” 周期問題u v 三角函數(shù)的性質(zhì)性 質(zhì)定義域RR值 域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性對稱中心對稱軸圖像性 質(zhì)定義域值 域RR周期性奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性對稱中心對稱軸無無圖像xy0w ？ 振幅變化： 左右伸縮變化： 左右平移變化 上下平移變化 平面向量共線定理：一般地，對于兩個(gè)向量 線段的定比分點(diǎn) 點(diǎn)分有向線段 線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式線段定比分點(diǎn)向量公式. 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式線段中點(diǎn)向量公式. 向量的一個(gè)定理的類似推廣向量共線定理： 推廣 平面向量基本定理： 推廣 空間向量基本定理： 一般地，設(shè)向量反過來，如果. 一般地，對于兩個(gè)非零向量 有 ，其中為兩向量的夾角。 特別的， 三角形中的三角問題 u v 正弦定理：余弦定理： 變形：w 三角公式以及恒等變換u 兩角的和與差公式： 變形： v 二倍角公式： w 半角公式： x 降冪擴(kuò)角公式：y 積化和差公式：z 和差化積公式：（ ） 萬能公式: ( ) | 三倍角公式： “三四立，四立三，中間橫個(gè)小扁擔(dān)” 補(bǔ)充： 1. 由公式 可以推導(dǎo) ： 在有些題目中應(yīng)用廣泛。2. 3. 柯西不等式補(bǔ)充1常見三角不等式：（1）若，則.(2) 若，則. (3) .2. (平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ).3. 三倍角公式 ：.4.三角形面積定理：（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）. (3).5.三角形內(nèi)角和定理 在ABC中，有.6. 正弦型函數(shù)的對稱軸為；對稱中心為；類似可得余弦函數(shù)型的對稱軸和對稱中心；三易錯(cuò)點(diǎn)提示：1.在解三角問題時(shí)，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？2.在三角中，你知道1等于什么嗎？（ 這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用3.你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次）4.你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？()高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題1 算法初步u 秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對于一個(gè)n次多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式 答案： 6 ， 6 v 理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的算法 (algorithm) 1. 描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言（本書指偽代碼）. 2. 算法的特征：有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個(gè)或多個(gè)。沒有輸出的算法是無意義的。可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在一定時(shí)間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度3. 算法含有兩大要素：操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)w 流程圖：（flow chart）: 是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。 注意：1. 畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣2. 拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書寫方法了。 N YAp Y N NpA3. 在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。 Y N ABpABx 算法結(jié)構(gòu)： 順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán) 當(dāng)型循環(huán).順序結(jié)構(gòu)（sequence structure ）：是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。.選擇結(jié)構(gòu)（selection structure ）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要是注意臨界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cycle structure）：它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問題，分直到型（until）和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)（即不知道循環(huán)次數(shù)時(shí)）用當(dāng)型循環(huán)。y 基本算法語句：本書中指的是偽代碼（pseudo code），且是使用 BASIC語言編寫的,是介于自然語言和機(jī)器語言之間的文字和符號，是表達(dá)算法的簡單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用 ，也可以用 ; 表示兩變量相乘時(shí)可以用“*”，也可以用“”. 賦值語句（assignment statement）：用 表示， 如： ，表示將y的值賦給x，其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.一般格式：“” ，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用 “”，但此時(shí)的 “ = ”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號。注： 1. 賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式?！?= ”具有計(jì)算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是錯(cuò)誤的，而a = 3*5 1 , a = 2a + 3 都是正確的。2.一個(gè)賦值語句一次只能給一個(gè)變量賦值。 如：a = b = c = 2 , a , b ,c =2 都是錯(cuò)誤的，而 a = 3 是正確的.例題：將x和y的值交換 , 同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值 : . 輸入語句（input statement）: Read a ,b 表示輸入的數(shù)一次送給 a ,b輸出語句（out statement） ：Print x ,y 表示一次輸出 運(yùn)算結(jié)果x ,y注：1.支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2. Read 語句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式 3. Print 語句不能起賦值語句，意旨不能在Print 語句中用 “ = ”4. Print語句可以輸出常量和表達(dá)式的值.5.有多個(gè)語句在一行書寫時(shí)用 “ ； ”隔開.例題：當(dāng)x等于5時(shí)，Print “x = ”; x 在屏幕上輸出的結(jié)果是 x = 5.條件語句（conditional statement）：1. 行If語句: If A Then B 注：沒有 End If 2. 塊If語句： 注：不要忘記結(jié)束語句End If ，當(dāng)有If語句嵌套使用時(shí)，有幾個(gè)If ，就必須要有幾個(gè)End If . Else If 是對上一個(gè)條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外Else If 后面也要有End If 注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里，還是屬于下一個(gè)條件。 為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下：If A ThenBElseCEnd IfIf A ThenBElse If C Then DEnd If例題: 用條件語句寫出求三個(gè)數(shù)種最大數(shù)的一個(gè)算法.Read a , b , cIf ab Then If ac Then Print a Else Print c End If Else If bc ThenPrint bElse Print cEnd If End If Read a , b , cIf ab and ac ThenPrint aElse If bc ThenPrint bElsePrint cEnd If 或者 注：1. 同樣的你可以寫出求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)。 2. 也可以類似的求出四個(gè)數(shù)中最小、大的數(shù) .循環(huán)語句（ cycle statement）： u 當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時(shí)用 For 循環(huán) ，即使是 N次也是已知次數(shù)的循環(huán) v 當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While循環(huán) w Do 循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對應(yīng).While A End While While循環(huán)For I From 初值 to 終值 Step 步長 End For For 循環(huán)Do Loop Until p 直到型Do循環(huán)Do While p Loop 當(dāng)型Do循環(huán)說明：1. While循環(huán)是前測試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問題時(shí)，可以寫成While循環(huán)，較為簡單，因?yàn)樗臈l件相對好判斷. 2. 凡是能用While循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For 循環(huán)書寫 3. While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化 4. Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化 5. 注意臨界條件的判定.例題： （見課本） u v w x y z 顏老師友情提醒：1. 一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。2. 在具體做題時(shí)，可能好多的同學(xué)感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。3. 書寫程序時(shí)一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒有見過的語言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！Ex: 1. 2. 3. 答案：1 2. 3.開始輸出SNY流程圖： 偽代碼： 或者 3. 與下列為代碼對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是 Read n e!0S!1For I from 1To n S= S*I e!e+1/S End for Print e z 典型例題：2. 下面的偽代碼的目的是 10 Read m , n 20 If m/n = Int(m/n) Then Go to 7030 c ! m -Int(m/n)*n40 m ! n 50 n ! c 60 Go to 20 70 Print n 1. 下面的偽代碼輸出的結(jié)果是： I ! 2 For n from 2 To 10 Step 2 I ! 2 I + 1 If I 20 Then I ! I - 20 End If End for Print I 4. 下面的程序輸出的是Read nI ! 1While I nIf n / I = Int( n / I ) Then S ! I I=I+1 End if Print S End while 5. I !0For n From 1 to 100If Int ( n / 7 ) = n / 7 thenI !I+1End If End For Print I 上面一段為代碼的目的是： 6 a!1 b!2c!3a!bb !cc! aPrint a ,b ,ca= b= c= 7. 市話話費(fèi)計(jì)算方式為：自接通起。3分鐘內(nèi)（含3分鐘）0.2元，超過3分鐘的部分每分鐘0.1元（不足1分鐘按1分鐘計(jì)），輸入一個(gè)證書作為通話時(shí)長，用條件語句描述通話話費(fèi)。8. 某電視機(jī)廠2002年全年生產(chǎn)電視機(jī)60萬臺，計(jì)劃從2003年開始每年的產(chǎn)量比上一年增長15%，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，計(jì)算從哪一年開始，該廠的電視機(jī)產(chǎn)量超過300萬臺，只寫出偽代碼. 9. （斐波那契數(shù)列） 假定一對大兔子沒一個(gè)月可以生一對小兔子，而小兔子出生后兩個(gè)月就有生育能力，問從一對小兔子開始，一年后能繁殖多少兔子？這就是著名的斐波那契數(shù)列問題，其規(guī)律是從第三個(gè)月開始，每個(gè)月的兔子數(shù)量都是前兩個(gè)月的兔子數(shù)量的和。用循環(huán)語句描述這一算法。 10. 一個(gè)三位數(shù)的十位和個(gè)位上的數(shù)字交換，得到一個(gè)新的三位數(shù)，新舊兩個(gè)三位時(shí)都能被4整除，設(shè)計(jì)一個(gè)算法求滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，并寫出偽代碼.11.若是兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)，則一定存在整數(shù)，使得答案：1. 15 2. 求m , n 的最大公約數(shù) 3. 4. n的所有約數(shù)5 . 計(jì)算1100能被7整除的數(shù)的個(gè)數(shù) 6. a= 2 b= 3 c= 2 7. 解： 8. 解： 9.解： 或者 10.解：11.解： 算法案例這一節(jié)要求較低，但要掌握幾個(gè)重要的算法，對于今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有著重要的意義。（要求掌握的用矩形框框起來）1求最大公約數(shù)(greatest common factor) 輾轉(zhuǎn)相除法-Euclid algorithm Read a , bWhile Mod (a , b ) 0 r = a Mod b a = b b = r End While Print bExcel宏程序Sub 求最大公約() a = InputBox(輸入第一個(gè)自然數(shù)) b = InputBox(輸入第二個(gè)自然數(shù)) While a Mod b 0 r = a Mod b a = b b = r Wend MsgBox (最大公約數(shù)為： & b)End Sub 輾轉(zhuǎn)相除法-VB程序Private Sub Command1_Click() Dim M As Long, N As Long, r As Long M = Val(Text1.Text) 取數(shù)據(jù) M N = Val(Text2.Text) 取數(shù)據(jù) N If M Int(M) Or M 1 Or N Int(N) Or N 1 Then 檢驗(yàn)數(shù)據(jù)合法性！ Text3.Text = 數(shù)據(jù)錯(cuò)誤！ Else Do r = M Mod N M = N 求出最大公約數(shù) N = r Loop Until r = 0 Text3.Text = CStr(M) End IfEnd SubPrivate Sub Command2_Click() If Text1.Text Then Text1.Text = 清除文本框1 If Text2.Text Then Text2.Text = 清除文本框2 If Text3.Text Then Text3.Text = 清除文本框3End SubPrivate Sub Command3_Click() EndEnd SubPrivate Sub Command1_Click() a = InputBox(輸入第一個(gè)自然數(shù)) b = InputBox(輸入第二個(gè)自然數(shù)) While a Mod b 0 r = a Mod b a = b b = r Wend MsgBox (最大公約數(shù)為： & b)End SubPrivate Sub Command2_Click() EndEnd Sub2孫子定理-VB程序Private Sub Command1_Click() m = 2 While m Mod 3 2 Or m Mod 5 3 Or m Mod 7 2 m = m + 1 Wend MsgBox 不定方程的一個(gè)解為 & m End SubPrivate Sub Command2_Click() EndEnd SubPrivate Sub Command3_Click()m = 2Do While m 10000Dom = m + 1 Loop Until m Mod 3 = 2 And m Mod 5 = 3 And m Mod 7 = 2 Print m Loop End Sub孫子問題-Excel宏程序Sub 孫子問題() m = 2 While m Mod 3 2 Or m Mod 5 3 Or m Mod 7 2 m = m + 1 Wend MsgBox 不定方程的一個(gè)解為 & m End Sub說明：孫子問題被稱為“孫生剩余定理”，或“中國剩余定理”，出自孫子算經(jīng)，后來我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶作出比較完整的闡述，并發(fā)明“大衍求一術(shù)”，是解決一次同余式的關(guān)鍵。1592年明朝程大位的算法統(tǒng)宗里有一首“數(shù)學(xué)詩”暗示了孫子問題的解法:三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七字團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。m!2While Mod( m , 3 ) 2 或Mod (m , 5 ) 3或 Mod （m ，7 ） 2 m = m + 1End WhilePrint m 它的運(yùn)算涉及到數(shù)輪的知識，如數(shù)輪倒數(shù)，同余式等，這在以后的高校中會(huì)有更深入地介紹。其表述有如下幾種方式m 2 （Mod 3 ）m 3 （Mod 5 ）m 2 （Mod 7 ）m Mod 3 = 2 m Mod 5 = 3 m Mod 7 = 2Mod( m , 3 ) =2 Mod (m , 5 ) = 3Mod （m ，7 ）= 2意義為： 3. 二分法問題不作要求，有興趣的同學(xué)可以自行閱讀，它是一種很重的數(shù)學(xué)思想，我們以后在高校里會(huì)再學(xué)習(xí)。（見課本） 說明：里面出現(xiàn)了跳轉(zhuǎn)語句的表達(dá)方法：也就是在各語句的前面標(biāo)上標(biāo)號，在需要運(yùn)行跳轉(zhuǎn)時(shí)就可用 “ Go to X ” ,其中X表示某行語句的標(biāo)號。這種表達(dá)方式比較自由，在不知用何種語句才能實(shí)現(xiàn)想到達(dá)的地方時(shí)，就可以以Go to直接跳轉(zhuǎn)，方便易行，但在以后的編程終究要盡量少用這種跳轉(zhuǎn)，因?yàn)樘貏e是對于大型的程序設(shè)計(jì)，Go to語句用多了，就不易于檢查，而且它破壞了語言結(jié)構(gòu)的規(guī)范性，容易出錯(cuò)。由于我們高一階段的要求比較低，所以也就不要有這種擔(dān)心。，| 一些常用的函數(shù)1. Int(x) ：求小于等于x的最大整數(shù)2. Fix(x) ：返回x的整數(shù)部分3. Cint(x) ：將x的小數(shù)部分四舍五入取整4. Exp(x) ：求e的x次方5. Sqr(x) ：求x的平方根6. Sgn(x) ：符號函數(shù)，即當(dāng)x0時(shí)，返回1；0；當(dāng)x0時(shí)，返回-17. RND(x) ： 產(chǎn)生一個(gè)（0 ，1）之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，返回隨機(jī)系列的下一個(gè)隨機(jī)數(shù)； 當(dāng)x0時(shí)，返回上一次生成的隨機(jī)數(shù)8. Int(Rand(上界-下界)+1)+1 產(chǎn)生上界下界之間的隨機(jī)數(shù)顏老師說明：不要求大家都記憶，以后在計(jì)算機(jī)語言的學(xué)習(xí)中還會(huì)再學(xué)習(xí)2 統(tǒng)計(jì)u 基本定義：（1）總體：在統(tǒng)計(jì)中,所有考查對象的全體叫做全體.(2) 個(gè)體：在所有考查對象中的每一個(gè)考查對象都叫做個(gè)體.(3) 樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的樣本.(4) 樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.v 抽樣方法：（1）簡單隨機(jī)抽樣（simple random sampling）：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N.如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本,且每次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單的隨機(jī)抽樣,簡單隨機(jī)抽樣常用的方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法. （關(guān)于制簽和隨機(jī)數(shù)表的制作，請參照課本第41頁）(2)系統(tǒng)抽樣(systematic sampling):將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本。先用隨機(jī)的方法將總體進(jìn)行編號，如果就從中用隨機(jī)數(shù)表法剔除幾個(gè)個(gè)體，使得能整除，然后分組，一般是樣本容量是多少，就分幾組，間隔，然后從第一組中用簡單實(shí)際抽樣的方法抽取一個(gè)個(gè)體，假設(shè)編號為 ，然后就可以將編號為 的個(gè)體抽出作為樣本，實(shí)際就是從每一組抽取與第一組相同編號的個(gè)體。(3)分層抽樣（stratifed sampling）：當(dāng)已知總體是由有差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層.樣本容量越大，估計(jì)越精確！顏老師友情提醒：1. 把每一種抽樣的具體步驟看清楚，要求會(huì)寫過程2. 個(gè)體數(shù)N的總體中抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，那么在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，且等于.其實(shí)三種抽樣的每一個(gè)個(gè)體都是等幾率的被抽到的3. 三種抽樣都是不放回的抽樣4. 在具體問題中對于樣本，總體，個(gè)體應(yīng)該時(shí)代單位的,如考察一個(gè)班級的學(xué)生的視力狀況，從中抽取20個(gè)同學(xué)，則個(gè)體應(yīng)該是20名同學(xué)的視力，而不是20名同學(xué)，樣本容量則為20，同樣的