高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.4函數(shù)與方程2.4.2求函數(shù)零點近似解的一種計算方法_二分法課堂導(dǎo)學(xué)案.docx

2.4.2 求函數(shù)零點近似解的一種計算方法二分法課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一、函數(shù)零點的性質(zhì)【例1】函數(shù)f(x)=x3-2x2+3x-6在區(qū)間-2,4上的零點必定在( )A.-2,1內(nèi) B.,4內(nèi)C.1,內(nèi) D.,內(nèi)解析：由于f(-2)=-8-8-6-6=-280,且f()=f(1)=1-2+3-6=-40,零點在區(qū)間1,內(nèi).又f()=f()0,零點在區(qū)間,內(nèi).選D.答案：D二、求方程的近似解【例2】求方程2x3+3x-3=0的一個實數(shù)解,精確到0.01.思路分析：考查函數(shù)f(x)=2x3+3x-3,從一個兩端函數(shù)值反號的區(qū)間開始,應(yīng)用二分法逐步縮小方程實數(shù)解所在的區(qū)間.解:經(jīng)試算,f(0)=-30,所以函數(shù)f(x)=2x3+3x-3在0,2內(nèi)存在零點,即方程2x3+3x-3=0在0,2內(nèi)有解.取0,2的中點1,經(jīng)計算f(1)=20,又f(0)0,所以方程2x3+3x-3=0在0,1內(nèi)有解.如此下去,得到方程2x3+3x-3=0實數(shù)解所在區(qū)間如下表所示.左端點右端點第1次02第2次01第3次0.51第4次0.50.75第5次0.6250.75第6次0.68750.75第7次0.718750.75第8次0.7343750.75第9次0.7343750.74218750.742 187 5-0.734 375=0.007 812 5bc且f(1)=0,證明f(x)必有兩個零點;(2)若對x1、x2R且x1bc,a0,c0,即ac0.方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根.故函數(shù)f(x)有兩個零點.(2)令g(x)=f(x)f(x1)+f(x2),則g(x1)=f(x1)f(x1)+f(x2)=,g(x2)=f(x2)f(x1)+f(x2)=.g(x1)g(x2)=f(x1)-f(x2)2.f(x1)f(x2),g(x1)g(x2)0.g(x)=0在(x1,x2)內(nèi)必有一實根.故f(x)=f(x1)+f(x2)在(x1,x2)內(nèi)必有一實根.各個擊破類題演練1函數(shù)y=lgx的零點所在的大致區(qū)間是( )A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)解析：代入驗證,可知f(9)=lg9-10.f(9)f(10)0.答案：D變式提升1下列各圖中函數(shù)圖象與x軸均有公共點,但不能用二分法求公共點橫坐標(biāo)的是( )解析：用二分法只能求變號零點的近似值,而B中的零點是不變號零點,故選B.答案：B類題演練2求方程x3-4x+1=0的一個正數(shù)的零點.(精確到0.1)解析：設(shè)f(x)=x3-4x+1,由于f(1)=-20,故可取區(qū)間1,2作為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算，列表如下：端點(中點)坐標(biāo)計算中點的函數(shù)值取區(qū)間f(1)=-20f(1.5)=-1.6250f(1.75)=-0.6410f(1.875)=0.092f(1.813)=-0.296f(1.844)=-0.1071,21.5,21.75,21.75,1.8751.813,1.875 由上表計算可知區(qū)間1.813,1.875的長度小于0.1,這個區(qū)間的中點1.843 7為所求函數(shù)的一個正實數(shù)零點近似值.變式提升2先用求根公式求出方程2x2-3x-1=0的解，用二分法求出這個方程的近似解.(精確到0.1)解析：方程的兩個解分別為x1=,x2=.取區(qū)間(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275).令f(x)=2x2-3x-1在區(qū)間(1.775,1.8)內(nèi),用計算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)5f(1.8)0.方程在區(qū)間(1.775,1.8)內(nèi)有一個解.又|1.8-1.775|=0.0250.1,此時區(qū)間(1.775,1.8)的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.8，方程在區(qū)間(1.775,1.8)內(nèi)精確到0.1的近似解為1.8.同理,可得方程在區(qū)間(-0.3,-0.275)內(nèi)精確到0.1的近似解為-0.3.類題演練3x1與x2分別是實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一個根,且x1x2,x10,x20.求證:方程x2+bx+c=0有且僅有一根介于x1與x2之間.證明:令f(x)=x2+bx+c.x1、x2分別是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一個根,ax12+bx1+c=0,-ax22+bx2+c=0.故bx1+c=-ax12,bx2+c=ax22,f(x1)=x12+bx1+c=x12-ax12=ax12,f(x2)=x22+bx2+c=x22+ax22=ax22.f(x1)f(x2)=a2x12x22.a0,x1x20,f(x1)f(x2)0.故方程x2+bx+c=0有且僅有一根介于x1與x2之間.變式提升3一塊電路板的線路AB之間有64個串聯(lián)的焊接點(如圖所示),如果線路不通的原因是由于焊口脫落所致,要想檢驗出哪一處焊口脫落,問至多需要檢測的次數(shù)是多少?解析：對焊接點一一檢測很麻煩,當(dāng)然也是不需要的.只需選線路AB的中點C,然后判斷出焊口脫落的點所在的線路為AC,還是BC,然后依次循環(huán)上述過程即可很快檢驗出焊點的位置,最多次數(shù)是6次.根據(jù)“二分法”的思想,具體分析如下:第1次取中點把焊點數(shù)減半為=32(