三年高考2015_2017高考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)版解析專題6導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)等綜合問題文.docx

專題06 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)等綜合問題1.【2014全國1，文12】已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是( ) （B） （C） （D）【答案】C，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：和時函數(shù)單調(diào)遞減;時函數(shù)單調(diào)遞增，欲要使得函數(shù)有唯一的零點(diǎn)且為正，則滿足：，即得：，可解得：，則考點(diǎn)：1.函數(shù)的零點(diǎn);2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用;3.分類討論的運(yùn)用【名師點(diǎn)睛】本題主要是考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用和分類討論思想的運(yùn)用，在研究函數(shù)的性質(zhì)時要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)、以及極值等函數(shù)的特征去研究，本題考查了考生的數(shù)形結(jié)合能力.2.【2014高考廣東卷.文21】(本小題滿分14分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時,試討論是否存在,使得.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【解析】(1),方程的判別式為,當(dāng)時,則,此時在上是增函數(shù)；當(dāng)時,方程的兩根分別為,解不等式,解得或,解不等式,解得,此時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為；(2),若存在,使得,必須在上有解,方程的兩根為,依題意,即,即,又由得,故欲使?jié)M足題意的存在,則,所以,當(dāng)時,存在唯一滿足,當(dāng)時,不存在滿足.【考點(diǎn)定位】本題以三次函數(shù)為考查形式,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從中滲透了利用分類討論的思想處理含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題,并考查了利用作差法求解不等式的問題,綜合性強(qiáng),屬于難題.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)與方程，屬于難題解題時一定要抓住重要字眼“單調(diào)區(qū)間”，否則很容易出現(xiàn)錯誤利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：確定函數(shù)的定義域；對求導(dǎo)；令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間，令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間3.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】（本小題滿分12分）已知函數(shù) (I)討論的單調(diào)性；(II)若有兩個零點(diǎn),求的取值范圍.【答案】見解析(II)【解析】試題分析：(I)先求得再根據(jù)1,0,2a的大小進(jìn)行分類確定的單調(diào)性；(II)借助第一問的結(jié)論,通過分類討論函數(shù)單調(diào)性,確定零點(diǎn)個數(shù),從而可得a的取值范圍為.試題解析： (I)(i)設(shè),則當(dāng)時,；當(dāng)時,.所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.若,則,故當(dāng)時,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(II)(i)設(shè),則由(I)知,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.又,取b滿足b0且,則,所以有兩個零點(diǎn).(ii)設(shè)a=0,則所以有一個零點(diǎn).(iii)設(shè)a0,若,則由(I)知,在單調(diào)遞增.又當(dāng)時,0,故不存在兩個零點(diǎn)；若,則由(I)知,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.又當(dāng)時0或f(x)0.()設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；()證明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解.當(dāng)x(1，)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增()由f (x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx則(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)當(dāng)aa0時，有f (x0)0，f(x0)(x0)0再由()知，f (x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)x(1，x0)時，f (x)0，從而f(x)f(x0)0當(dāng)x(x0，)時，f (x)0，從而f(x)f(x0)0又當(dāng)x(0，1時，f(x)(xa0)22xlnx0故x(0，)時，f(x)0綜上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解.【考點(diǎn)定位】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】本題第()問隱藏二階導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)，由于連續(xù)兩次求導(dǎo)后，參數(shù)a消失，故函數(shù)的單調(diào)性是確定的，討論也相對簡單.第()問需要證明的是：對于某個a(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，)上只有一個最小值.因此，本題仍然要先討論f(x)的單調(diào)性，進(jìn)一步說明對于找到的a，f(x)在(1，)上有且只有一個等于0的點(diǎn)，也就是在(1，)上有且只有一個最小值點(diǎn).屬于難題.8. 【2014全國1，文21】設(shè)函數(shù)，曲線處的切線斜率為0（1） 求b;（2） 若存在使得，求a的取值范圍。（）若，則，故當(dāng)時，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，即，所以.（）若，則，故當(dāng)時，；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意.（）若，則.綜上，a的取值范圍是.考點(diǎn)：1.曲線的切線方程;2.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用;3.分類討論的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了分類討論的思想方法，本題發(fā)現(xiàn)討論點(diǎn)即、和是解決本題的關(guān)鍵，本題考查了考生的推理能力和計算能力,屬于難題.9.【2015高考新課標(biāo)1，文21】（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（I）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；（II）證明：當(dāng)時.【答案】（I）當(dāng)時，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時，存在唯一零點(diǎn).（II）見解析試題解析：（I）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時,，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時，,故當(dāng)時，存在唯一零點(diǎn).（II）由（I），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時，;當(dāng)時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時，.考點(diǎn)：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，解決此類問題，要熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、掌握通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).對函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，畫出函數(shù)圖像草圖，結(jié)合圖像處理；對恒成立或能處理成立問題，常用參變分離或分類討論來處理.10.【2015高考浙江，文20】（本題滿分15分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)分別確定參數(shù)的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)的取值范圍.試題解析：(1)當(dāng)時，故其對稱軸為.當(dāng)時，.當(dāng)時，.當(dāng)時，.綜上，由于和，所以.當(dāng)時，由于和，所以.綜上可知，的取值范圍是.【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.分段函數(shù)；3.不等式性質(zhì)；4.分類討論思想.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點(diǎn)問題.利用函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，利用分類討論思想確定在各種情況下函數(shù)的最小值情況，最后用分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示；利用函數(shù)與方程思想，確定零點(diǎn)與系數(shù)之間的關(guān)系，利用其范圍，通過分類討論確定參數(shù)b 的取值范圍.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決有關(guān)函數(shù)應(yīng)用的能力，考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)、分類討論思想以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用能力，考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力.11.【2015高考湖北，文21】設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù). （）求，的解析式，并證明：當(dāng)時，；（）設(shè)，證明：當(dāng)時，.【答案】（），.證明：當(dāng)時，故又由基本不等式，有，即（）由（）得當(dāng)時，等價于等價于于是設(shè)函數(shù)，由，有當(dāng)時，（1）若，由，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故成立.綜合，得.（）由（）得，當(dāng)時，等價于，等價于設(shè)函數(shù)，由，有當(dāng)時，（1）若，由，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故成立.綜合，得.【考點(diǎn)定位】本題考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用，屬高檔題.【名師點(diǎn)睛】將函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用聯(lián)系在一起，重點(diǎn)考查函數(shù)的綜合性，體現(xiàn)了函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的重要地位，其解題的關(guān)鍵是第一問需運(yùn)用奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義及性質(zhì)建立方程組進(jìn)行求解；第二問屬于函數(shù)的恒成立問題，需借助導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值來解決.12. 【2014福建,文22】（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.（1） 求的值及函數(shù)的極值；（2） 證明：當(dāng)時，（3）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)時，恒有【答案】（1）當(dāng)時，有極小值，無極大值.（2）見解析.（3）見解析.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.當(dāng)時，有極小值，無極大值.（2）令，則.根據(jù)，知在R上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，由，即得.（3）思路一：對任意給定的正數(shù)c，取，根據(jù).得到當(dāng)時，.思路二：令，轉(zhuǎn)化得到只需成立.分，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性.思路三：就，加以討論.試題解析：解法一：（1）由，得.又，得.所以，.令，得.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，有極小值，且極小值為，無極大值.（2）令，則.由（1）得，即.所以在R上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，即.（3）對任意給定的正數(shù)c，取，由（2）知，當(dāng)時，.所以當(dāng)時，即.因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當(dāng)時，恒有.解法二：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）令，要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只需，即成立.若，則，易知當(dāng)時，成立.即對任意，取，當(dāng)時，恒有.若，令，則，所以當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增.取，易知，所以.因此對任意，取，當(dāng)時，恒有.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當(dāng)時，恒有.解法三：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）若，取，由（2）的證明過程知，所以當(dāng)時，有，即.若，令，則，令得.當(dāng)時，單調(diào)遞增.取，易知，又在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，恒有，即.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當(dāng)時，恒有.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，全稱量詞與存在量詞，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.【名師點(diǎn)睛】本題第一問是先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求值，然后再用單調(diào)性探討極值,第二問、第三問是不等式證明問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考的一個熱點(diǎn),解決此類問題的基本思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值破解.13. (2014課標(biāo)全國，文21)設(shè)函數(shù)f(x)aln xx2bx(a1)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為0.(1)求b；(2)若存在x01，使得，求a的取值范圍分析：在第(1)問中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為f(1)0，即可求出b的值；在第(2)問中，將條件“存在x01，使得”轉(zhuǎn)化為“在1，)上，恒成立”，因此關(guān)鍵是求出f(x)在1，)上的最小值而f(x)解析式中含有參數(shù)a，故在求出f(x)后，應(yīng)對a的取值進(jìn)行分類討論，分別針對每一種情況求出f(x)的最小值，從而建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍由(1)知，f(x)aln xx2x，f(x)(1a)x1(x1)若，則，故當(dāng)x(1，)時，f(x)0，f(x)在(1，)單調(diào)遞增所以，存在x01，使得的充要條件為，即，解得.若，則，故當(dāng)時，f(x)0；當(dāng)時，f(x)0.f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以，存在x01，使得的充要條件為.而，所以不合題意若a1，則.綜上，a的取值范圍是名師點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查分析轉(zhuǎn)化能力，分類討論思想，較難題. 注意選準(zhǔn)分類的對象，分類不重不漏.14.【2014遼寧文21】（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.證明：（）存在唯一，使；（）存在唯一，使，且對（1）中的.【答案】（）詳見解析；（）詳見解析故在上為增函數(shù)，再說明端點(diǎn)函數(shù)值異號；（）與（）類似，只需證明函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)但是不易利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)大致圖象，考慮到結(jié)論中，故需考慮第二問與第一問的關(guān)系，利用（）的結(jié)論，設(shè)，則，根據(jù)第一問中的符號，從而可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)大致圖象，確定函數(shù)的零點(diǎn)，尋求函數(shù)的零點(diǎn)與零點(diǎn)的關(guān)系，從而證明不等式試題解析：證明：（）當(dāng)時，所以在上為增函數(shù)又所以存在唯一，使（）當(dāng)時，化簡得令記則由（）得，當(dāng)時，；當(dāng)時，從而在上為